جواب آخر یک انتگرال ناسره زوج

**baby_1** · 23-06-2013, 16:31

سلام
می دونیم که حل انتگرال زیر به قرار زیر هست
$\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{(x^2+u^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{x}{(x^2+u^2)^{\frac{1}{2}}}$
و از جهتی چون تابع نسبت به x زوج هست می توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم
$\int_{0}^{+\infty}\frac{2}{(x^2+u^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{2x}{(x^2+u^2)^{\frac{1}{2}}}$
حالا مشکل من در عدد گذاری آخر هست در انتگرال اول همانطور که می دونیم برای میل دادن x به بی نهایت بزرگترین درجه صورت را به بزرگترین درجه مخرج تقسیم کرده و در انتها باز را قرار می دهیم برای انتگرال اول خواهیم داشت
$\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{(x^2+u^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{x}{(x^2+u^2)^{\frac{1}{2}}}=(\frac{x}{x}-\frac{x}{x})=1-1=0$
و برای انتگرال دوم نیز(صفر از انجا ناشی شده است که بازه پایین صفر هست)
$\int_{0}^{+\infty}\frac{2}{(x^2+u^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{2x}{(x^2+u^2)^{\frac{1}{2}}}=2(\frac{x}{x}-0)=2$

سپاسگذار خواهم شد که مشکلم را در مقدار دهی گوشزد فرمایید
متشکرم

**kvhsade** · 23-06-2013, 17:41

نوشته شده توسط baby_1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{(x^2+u^2)^{\frac{3}{2}}}dx=\frac{x}{(x^2+u^2)^{\frac{1}{2}}}=(\frac{x}{x}-\frac{x}{x})=1-1=0$

سلام بنظرم شما یک علامت منفی را فراموش کردید که با در نظر گرفتن این علامت جواب درست میشه

$...=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+u^{2 }}}\mid _{-\infty }^{+\infty }=1+1=2$ البته من خیلی مختصر نوشتم

**baby_1** · 23-06-2013, 18:01

سلام و ممنونم از پاسختون جناب kvhsade
اما سوال من همین جا هست در کسر دوم که باید منفی بی نهایت قرار بگیرد مگه در ابتدا ساده نمی کنید که یعنی
$\frac{x}{x}=1$
در نظر می گیریم و سپس اگر متغییر دیگری از همین جنس باقی موند مقدار بی نهایت را قرار می دهیم؟
حال به فرض اگر در ابتدا مقدار منفی بی نهایت را قرار بدهیم مگه نخواهیم داشت
$\frac{-\infty }{-\infty}=1$
که مجددا یکی و مثبت هستن پس چرا به جای -1 دومی نوشتین +1 که جواب بر خلاف 0 شد 2؟
پیشاپیش متشکرم از پاسختون

**Kesel** · 23-06-2013, 18:36

سلام

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گرامی ؛

لطفا در انتگرال گیری دقت بفرمایید :

$\int \frac{dx}{(x^{2}+u^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{x}{u^{2}\sqrt{x^{2}+u^{2}}}$

ضمن این که وقتی x² رو از زیر رادیکال در میارید ، حتما قدر مطلق رو یادتون نره بزارید.

موفق باشید

**baby_1** · 23-06-2013, 19:35

از لطفتون ممنونم جناب kesel
بله حق با شماست هنگام تایپ کردن این متغییر را فراموش کردم تایپ کنم که از یادآوریتون متشکرم
جناب kesel با در نظر گرفتن قدر مطلق |-بینهایت| باز همان + بی نهایت می شود که در نظر بگیریم باز خواهیم داشت
$\frac{x}{x}=1$
می بخشید اگر سوالم برای بسیاری از شما بزرگان ساده است اما من همچنان مشکل دارم
متشکرم

**Kesel** · 23-06-2013, 21:21

خواهش می کنم.

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x}{u^{2}\sqrt{x^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{u^{2}}$
$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{u^{2}\sqrt{x^{2}+u^{2}}}=-\frac{1}{u^{2}}$

که اولی منهای دومی می شه $\frac{2}{u^{2}}$ .

احتمالا توی محاسبه ی حد دوم مشکل دارید :

$\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x}{u^{2}\sqrt{x^{2}+u^{2}}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{u^{2}\sqrt{x^{2}(1+\frac{u^{2}}{x^{2}})}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{u^{2}|x|\sqrt{1+0}}=\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x}{u^{2}(-x)}=-\frac{1}{u^{2}}$

موفق باشید

نام تاپيک: جواب آخر یک انتگرال ناسره زوج

اختيارات تاپيک

جواب آخر یک انتگرال ناسره زوج

این کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن