آشنايي با پارادوكس

[khaiyam]

سلام من در اين انجمن براي دوستان آنواع پادوكس به همراهتوضيح آن را بري شما قرار ميدم ايدوارم كه دوستان لذت ببرند و تاپيك ديگه اي در اين باره نباشه
================================================== =========
پارادوكس ( باطلنما ) چيست؟
آنچه كه تناقض آميز، باورنکردني يا خلاف انتظار (و شهود) ماست.
(آنچه به نظر درست مي رسد ولي غلط است، به نظر غلط مي رسد ولي درست است، يا به نظر غلط می رسد و واقعا” غلط است. )
فايده پارادوکسها
ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش
تعميق بينش
تعميم شيوه هاي استدلال
افزايش دقت
وضع قوانين زبان شناختي جديد
 تكامل حسابان در قرنهاي 17 تا 19
 تدقيق نظريه مجموعه هاي كانتور
 طرح برهان قضية ناتماميت گودل
 رفع نارسائيهاي زبان
 طرح مشكلات مفاهيم نظري در فيزيک
 پارادوكسهاي زنون
 پارادوكس راسل
 پارادوكس دروغگو
 پارادوكس بوچفسکي
 پارادوكس لامپ تامسون
بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم!
در منطق پيراسازگار paraconsistent) (مي توان تناقض داشت و بر خلاف رياضيات کلاسيک، چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود.

[khaiyam]

پارادوكس باناخ ـ تارسكي
(banach-tarski paradox)
باناخ و تارسكي در 1924 به كمك اصل انتخاب ثابت كردند كه مي توان با برش يك گوي (پرتغال) به شش قطعه، ايجاد حركات صلب ( يعني دوران و انتقال ) و دوبار چساندن آنها دو گوي ( پرتغال ) هم اندازة اولي به دست آورد. در 1944 ر. م. رابينسون تعداد قطعات را از شش به پنچ تقليل داد
پارادوکس روز تولد
اگر 23 نفر در این سخنرانی شرکت کرده باشند، احتمال این که حداقل 2 نفر روز تولدشان یکی باشد حدود 50% است،
اگر 22 نفر شرکت کرده باشند این احتمال حدود 5 0/0% و
اگر بیش از 60 نفر حضور داشته باشند این عدد بزرگتر از 99% است.

[khaiyam]

پاردوكسهاي زنون
Paradoxes ) ( Zeno’s
 در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد، حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه A بپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم. براي اين كه ACپيموده شود، بايد به نقطة وسط آن D برسيم و قس عليهذا. پس نمي توان حتي از نقطة A حركت كرد. A---D---C-------B
 در مسابقه ” دو“ بين آشيل تندرو و لاك پشت كندرو، آشيل كه كمي عقب تر از لاك پشت است، هيچگاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك پشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند، گرچه آشيل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد.
A------------T------

[khaiyam]

پارادوكس لامپ تامسون
(Tompson Lamp Paradox )
لامپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود، سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود، به مدت يک هشتم دقيقه روشن مي شود و قس عليهذا. درست بعد از يك دقيقه لامپ روشن خواهد بود يا خاموش؟
پارادوكس دار غيرمنتظره
( Unexpected Hanging Paradox )
به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد، اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود.
او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود، زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته شده است كه وي از روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست. او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به اين كه بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمي شود، مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود.
اما در روزي غير از پنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند.

[khaiyam]

پارادوكس توده
( Sorites Paradox )
يك دانة گندم يك تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم، به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر، سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تكرار كنيم، هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم.
اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود، توده ناميده مي شود.

[khaiyam]

پارادوكس ريچارد
(Jules Richard`s paradox)
آيا ” كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد“ وجود دارد؟
چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد. بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي، كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد. اما عبارت بالا كه بين دو نماد ” و “ قرار دارد كمتر ار صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد، يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد!

[khaiyam]

پارادوكس اژدها
چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم
” اژدهاي هفت سر وجود ندارد.“

[khaiyam]

پارادوكس تخته سياه
تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن علاوه بر اعداد 1، 2، 3، جملة ” كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است. “ نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد 4 روي تخته سياه نمايش داده نشده است، ولي عبارت مذكور روي تخته سياه، مبين 4 است

[khaiyam]

سـفسـطه در جبر :
1 ) می خواهـیم اثبات کنیم 2 = 1 .
برای این کار دو عدد متوالی آ و ب را در نظر می گیریم و به صورت زیر عمل می کنیم .

1- فرض می کنیم x = y .

2- طرفین را در x ضرب می کنیم . xy = x2

3- از طرفین y به توان ۲ را کم می کنیم . xy - y2 = x2 - y2

4- آن را تجزیه می کنیم : y(x-y)=(x+y)(x-y) .

5- طرفین را به x-y تقسیم می کنیم : y = x + y .

6- طبق رابطه 1 داریم : y = 2y .

7- طرفین را به y تقسیم می کنیم : 2 = 1 .

2 ) نمونه ای دیگر :

معادله را در نظر می گیریمX - 1 = 2 .

دو طرف تساوی را در X - 5 ضرب می کنیم .

X2 – 6X + 5 = 2X – 10

عـبارت X – 7 را از دو طف تساوی کم می کنیم .

X2 – 7X + 12 = X – 3

دو طرف را بر X – 3 تقـسیم می کنیم .

X – 4 = 1

یعـنی X = 5 که نادرستی آن واضع است .

3 ) حالا نشان می دهیم بعضی قوانین ریاضی غـلط است .

از همان معـادله X – 1 = 2 شـروع می کنیم .

فـقـط به طرف چپ تساوی عدد 10 را می افزاییم . آن گاه داریم :

X + 9 = 2

دو طرف تساوی را در X – 3 ضرب می کنیم .

X2 + 6X – 27 = 2X – 6

از دو طف تساوی 2X – 6 را کم می کنیم .

X2 + 4X – 21 = 0

دو طرف را بر X + 7 تقـسیم می کنیم که از آن X – 3 = 0 یا X = 3 که همان جواب معادله X – 1 = 2 اسـت .

جواب ها :
1 ) سـفـسـطه های جبر :
در هر سه نمونه اشتباه آن جا اتفاق می افتد که ما دو طرف تسـاوی بر صفـر تقـسیم کردیم .
برای نمونه در تساوی یکم مقـدار x – y برابر صفر است وما نمی توانیم دو طرف تساوی را بر صفر تقـسیم کنیم .

[khaiyam]

پارادوكس شيپور گابريل:
در اين مقاله اين تناقض و جود دارد كه : يك بار ثابت مي شود ،تمام رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن يك سطح كافي نيست و از طرف ديگر ثابت مي شود با مختصر رنگي ، مي توان همان سطح را رنگ كرد .طرح اين مسئله بصورت زير است :

را در نظر مي گيريم Y=1/x (x>0) تابع حقيقي به صورت، نمودار تابع را در صفحه محور هاي مختصات رسم مي كنيم .

مي خواهيم ثابت كنيم سطح زير منحني به معادله

Y= 1/x x>=1

را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .Xو محور را با پي واحد مكعب رنگ مي توان كرد .(كه در اين صورت سطح جانبي حاصل هم رنگ x2. جسم نامتناهي حاصل از دوران اين سطح حول محور

خواهد بود )

3 .سطح جانبي اين جسم حاصل از دوران اين سطح را نمي توان با همه رنگ هاي دنيا رنگ كرد .

( حل 1 ) در حقيقت سؤال اينست که آيا سطح A در شکل 1 متناهی است ؟

حال به محاسبه اندازه سطح A می پردازيم .

= lim b+ln (X) { } { } { } { } 1b = lim b{ } { } { } +{ } { } { } ln (b-ln 1)=+{ } { } { }

نامتناهي است و نمي توان آن را با تمام رنگ هاي دنيا رنگ كرد .A پس مقدار

ها محاسبه مي كنيم x راحول محور A(حل 2) حال حجم جسم حاصل ار دوران سطح نامتناهي

Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (-{ } { } { } )1b = { } { } { } { }

واحد مكعب رنگ ، پر از رنگ كرد .{ } { } { } پس مي توان آنرا با

باشد نمي توان رنگ كرد .A در اين صورت سطح جانبي جسم هم رنگي خواهد شد. در حالي كه نصف مقطع عرضي آنرا كه همان سطح نامتناهي

(بنا به حل 1)

در رياضي اين جسم به شيپور گابريل معروف است .

(حل 3) سطح جانبي جسم نامتناهي را محاسبه ميكنيم.

S = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } { } { } { } (ds = { } { } { }

S = = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { } = Lim b{ } { } { } +{ } { } { } 2{ } { } { } { } { } { }

محاسبه انتگرال اخير مشكل است ، ولي توجه داشته باشيم كه :

s>+{ } { } { } پس مي توان گفت كه { } { } { } >{ } { } { } = { } { } { }

پس سطح جانبي جسم ، نامتناهي است و همه ي رنگ هاي دنيا براي رنگ كردن آن كافي نيست ، در حاليكه در حل 2 نتيجه گرفتيم كه سطح جانبي به همراه حجم جسم با{ } { } { } واحد مكعب رنگ ، رنگي خواهد شد.
جواب ها :
2 ) پارادکس شاپور گابریل :
من جواب این تناقص را به درستی نمی دانم اگر شما می دانید به من بگویید . این پارادکس از وبلاگ کوچه ریاضی در پرشین بلاگ برداشته شده است .