معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای

**skyzare** · 10-05-2013, 14:32

با سلام .

اساتید این رابطه زیر چه جوری به دست میآید ؟

معادله لاپلاس $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ با تغییر متغیر های $x=r\, cos\theta \: \: \: \: \: y=r\, sin\theta$ در دستگاه مختصات استوانه ای

به صورت زیر در خواهد آمد :

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta ^2}=0$

**kvhsade** · 10-05-2013, 18:56

سلام بنظرم بهتر است بگیم (در مختصات قطبی) بعدش رابطه ای که شما برای معادله لاپلاس نوشتید فکر کنم یک جمله ناقص دارد چیزی که من دیدم به صورت $\frac{\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}=0$

است قبلش بهتره بگم در درس توابع مختلط رشته ریاضی به هر تابعی که در معادله لاپلاس صدق کند تابع همساز یا هارمونیک میگند برای اثبات معادله لاپلاس هم فکر کنم از معادلات کوشی-ریمان در مختصات قطبی و قاعده زنجیره ای استفاده میکنند

معادلات کوشی ریمان در مختصات قطبی:

$\\\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }\\\\\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$
که در آن u وv قسمتهای حقیقی و موهومی یک تابع مختلط است همانطور که گفنم در درس توابع مختلط رشته ریاضی اینجور اومده و البته بستگی داره در رشته های فنی چی باشه بهرحال امیدوارم مطلبی که بیان کردم برای شما دوست گرامی مفید باشد

**baby_1** · 10-05-2013, 19:00

سلام
تبدیل کردن مستقیما با روش تغییر متغییرهای شما طولانی هست که البته می تونید از شرط دیورژانس گرادیان یک بردار راحتر حساب کنید (نمونه این سوال رو قبلا که پرسیده بودم و راه حلش رو طی کردم در آدرس زیر هست

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
)
برای این بتدیل چندین تبدیل متغییر خواهیم داشت
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
حالا باید از روش زنجیره ای برای این منظور استفاده کنیم می دونیم که

و

(هر کاری کردم متاسفانه سایت آدرس تبدیل سایت [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو به عنوان عکس برای دو عبارت بالا نمی گرفت
عبارت ها

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\partial%20u}{\partial%20y}=\frac{ \partial%20u}{\partial%20r}*\frac{\partial%20r}{\p artial%20y}+\frac{\partial%20u}{\partial%20\phi}*\ frac{\partial%20\phi}{\partial%20y}

)

و حالا سعی می کنیم که تمامی عبارات مشتق جزیی رو تک به تک حساب کنیم
$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial \sqrt{x^2+y^2}}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=Cos\phi$
و برای مقدارهای دیگر هم همین طور و برای y هم به همین صورت ادامه می دهیم و در آخر با جایگزین کردنشون در عبارت اولیه بر حسب مختصات استوانه ای به دست می آید
طولانی هست روشش ، بزارین بگردم سایت یا منبع پی دی افی که کامل حل کرده باشه رو براتون پیدا کنم بهتره که اینجا قرار بدم ، اما شیوه کلیش به همین صورت هست

**soosmar_asl** · 05-11-2013, 19:09

نوشته شده توسط kvhsade [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بنظرم بهتر است بگیم (در مختصات قطبی) بعدش رابطه ای که شما برای معادله لاپلاس نوشتید فکر کنم یک جمله ناقص دارد چیزی که من دیدم به صورت $\frac{\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}=0$

است قبلش بهتره بگم در درس توابع مختلط رشته ریاضی به هر تابعی که در معادله لاپلاس صدق کند تابع همساز یا هارمونیک میگند برای اثبات معادله لاپلاس هم فکر کنم از معادلات کوشی-ریمان در مختصات قطبی و قاعده زنجیره ای استفاده میکنند

معادلات کوشی ریمان در مختصات قطبی:

$\\\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }\\\\\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$
که در آن u وv قسمتهای حقیقی و موهومی یک تابع مختلط است همانطور که گفنم در درس توابع مختلط رشته ریاضی اینجور اومده و البته بستگی داره در رشته های فنی چی باشه بهرحال امیدوارم مطلبی که بیان کردم برای شما دوست گرامی مفید باشد

ناقص نیست بست باز کن همون میشه!

نام تاپيک: معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای

اختيارات تاپيک

معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای

این کاربر از kvhsade بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از baby_1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از soosmar_asl بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن