حل معادله درجه 3!

[Iᄃ乇 乃Ծﾘ]

آقا اومدم تمرینای دینامیک حل کنم دیدم نمیتونم معادلشو رسم کنم
جالبه تو سایر مباحث اینقدر مشکل ندارم!
بچه ها این معادله چجوری حل میشه؟
دینامیک مریام ویرایش 5 مسله 2-2
موقعیت ذره ای با رابطه
s=2t³-40t²+200t+50
داده شده که در آن ، s بر حسب فوت و t بر حسب ثانیه است. موقعیت ، سرعت و شتباب را به صورت تابعی از زمان در طول 12ثانیه اول حرکت ترسیم کنید.زمانی را تعیین نمایید که به ازای آن ، سرعت صفر میشود.
------
با سوال کاری ندارم فقط من نمیتونم معادله درجه 3 حل کنم!
اگه ریشه هارو(زمان t) بدست بیاریم یکیش منفیه که هیچ ولی دوتای دیگه مختلط بدست میاد اینارو باید چیکار کنیم؟
---------------
ویرایش شد :
اول خواستم معادله رو حل کنم الان به این نتیجه رسیدم یکی کمکم کنه سوال حل بشه بهتره
بچه برای رسم نمودار اول s=0 قرار میدیم ریشه هارو بدست میاریم بعد v تعیین علامت میکنیم تا نزولی صعودی منحنی معلوم بشه
در آخرم که a تعیین علامت میکنیم تا جهت تقعر منحنی بدست بیاریم!
حالا مشکل اینجاست من نمیتونم ریشه های s بدست بیارم!
کسی میتونه این مساله پیش پا افتادرو حل کنه؟! شرمنده سوال آبکیه پایم افتضاحه اینم استاد با کلی مساله دیگه چهارشنبه میخواد!
ممنون

[Kesel]

با توجه به سوال لازم نیست معادله رو حل کنید . سرعت و شتابو که کاری نداریم باید مشتق بگیرین . ولی برای رسم نمودار موقعیت باید عدد بزارید به جای t تا نقاط به دست بیان بعد اینا رو به هم وصل کنید :



اما در کل یخواین معادله ی درجه ی سه رو حل کنید باید از روشایی مث دستور کاردانو استفاده کنید

[Iᄃ乇 乃Ծﾘ]

خوب بدبختی اینجاست باید سوال تحویل استاد بدیم!
باید t بدست بیارم ببینم تو چه زمانی s صفر میشه ! کسی نمیدونه چجوری t بدست بیارم؟ اصلا نکنه روشم اشتباست؟

[davy jones]

بعد از مدتها دوری، سلام

صرفا برای راهنمایی شما دوست عزیز و بنا به درخواست خودتون عرض کنم که:

برای پیدا کردن ریشه معادلات درجه ی 3 به روشهای تحلیلی، راه های خیلی پیچیده ای وجود داره که ریشه های حقیقی رو به صورت دقیق به دست میده. اما اون مباحث رو یادمه که تو کلاس المپیاد ریاضی برای آمادگی جهت مرحله ی دوم المپیاد بهمون میگفتن! (که الان دیگه جزئیاتش یادم نیست و فقط یادمه که با تغییر متغیر ضریب جمله x^2 رو صفر میکردن و بعد باز مجددا از تغییر متغیر های مثلثاتی استفاده میشد و مساله در حالت کلی حل میشد) ولی روشهای تقریب عددی همیشه و همواره در اینگونه مسائل جواب میده و احتمالا منظور استادتون هم همین بوده که از همون روشها برید. در درس محاسبات عددی (که نمیدونم گذروندین یا نه) میاد و 2 روش کلی و پایه ای رو برای تقریب زدن ریشه های چندجمله ای ها آموزش میده (روشهای دیگه ای هم هست که یادگرفتنش سخت تره) اون دو روش یکی روش نصف کردن بازه هاست و دیگری روش تقریب نیوتون هستش.

در روش نصف کردن بازه ها، شما میاین و حدس (!) میزنین که یک ریشه ی چند جمله ای شما در اون بازه قرار داره. شرطش اینه که مقدار تابع در دو سر بازه هم علامت نباشه و تابع در اون بازه پیوسته باشه. در این صورت طبق قضیه ی مقدار میانی، حتما حداقل یک ریشه در این بازه وجود داره. بعد میایم و بازه رو نصف میکنیم و میبینیم که شرط مختلف العلامه بودن حاصلضرب y های بازه های جدید در کدوم تکه از 2 قسمت جدید وجود داره و ... و همین طور با استفاده از همین روش، مدام بازه ها رو کوچک و کوچکتر میکنیم تا به حدی برسه که از اون کوچکتر کردن بازه برامون مهم نباشه و به دقت مطلوب خودمون (مثلا تا 3 رقم اعشار) رسیده باشیم. در اون صورت مقدار وسط بازه ی نهایی رو میتونیم ریشه ی مورد نظر خودمون فرض کنیم. این روش ممکنه که خیلی وقتگیر و طولانی باشه ولی مطمئنا به جواب میرسه.

در روش نیوتون، میایم و مجددا حدس میزنیم که ریشه ی مورد نظر ما در کدام بازه میتونه قرار بگیره (همون شرایط اولیه ی قضیه ی مقدار میانگین: مختلف العلامه بودن y در دو سر بازه + پیوستگی تابع در کل بازه) بعد میایم و از نقطه ی انتهای بازه، خطی رو مماس به تابع میکنیم. یعنی خطی که از نقطه ی انتهایی بازه میگذره و شیب اون خط هم برابر با مشتق تابع در نقطه ی انتهایی بازه است. معادله ی اون خط رو مینویسیم و ریشه ی اون معادله ی خط رو به دست میاریم. سپس بازه ی جدیدمون رو از نقطه ی ابتدای بازه ی اولیه تا نقطه ی ریشه معادله ی خط به دست اومده قرار میدیم و مجددا همین کار رو تکرار میکنیم.

برای درک بهتر از این روش به عکس زیر دقت کنین:

  محتوای مخفی: روش نیوتون 

مزیت این روش در اینه که بسیار سریعتر از روش نصف کردن به مقدار ریشه ی حقیقی میل میکنه. اما یک بدی هم داره و اینه که اصلا ممکنه از اول به ریشه ی مورد نظر میل نکنه و مدام دور و دورتر بشه (که احتمال این حالت در چند جمله ای ها خیلی کمه چرا که در صورتی این اتفاق میفته که ریشه ی تابع مورد نظر ما، ریشه مشتق دوم تابع هم باشه ولی مشتق اول و سایر مشتقات دیگه ی تابع، ریشه نداشته باشن) یا اینکه دور نشه ولی یک دور باطل رو طی کنه و بازه ی اولیه مدام خودش رو تولید کنه که این به دلیل انتخاب بد در بازه ی اولیه است. مثل شکل زیر:

  محتوای مخفی: حالت اسیلاتوری تقریب نیوتون 

برای مطالعه ی بیشتر در مورد تقریب عددی نیوتون، به لینک های زیر مراجعه کنید:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


و اما یک سایت بسیار مفید و ارزشمند در این زمینه که شما هر تابعی را در آن میتونین در اون وارد کنین و اون سایت میاد و ریشه هاش رو به روش نیوتون در میاره (توصیه میکنم که حتما ببینین):
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


موفق باشین.
91/7/28

[Kesel]

خوب بدبختی اینجاست باید سوال تحویل استاد بدیم!
باید t بدست بیارم ببینم تو چه زمانی s صفر میشه ! کسی نمیدونه چجوری t بدست بیارم؟ اصلا نکنه روشم اشتباست؟

نمودار که داره نشون می ده که ! شما خیلی راحت می تونید ببینید که s وقتی صفر می شه که t منفی باشه . که پارامتر t متعلق به زمانه و اصلا منفی نمی شه .
توی صورت سوال هم دوازده ثانیه ی اول رو خواسته نه قبل از شروع حرکت . خیالتون راحت ، توی دوازده ثانیه ی اول صفر نمی شه ! که هیچ ، تازه تابع صعودیه و می ره بالا.

شما اگه مشتق عبارت بالا رو بگیرید متوجه می شید که تابع همواره صعودی هست (دلتای عبارت مشتق منفی می شه و عبارت همواره مثبت است) . حالا تو معادلتون به جای t صفر بزارید می بینید مثبت شد (50+) بنابراین شما هر t بزرگتر از صفر بدید (تو این سوال تا عدد 12) مقدار s مثبت خواهد بود و با رشد t شاهد رشد s هستیم.

ویرایش : با پست آقا حمید همزمان شد ، سلام ، خیلی خیلی خوش اومدید

[Iᄃ乇 乃Ծﾘ]

حمیدجان ممنون بابت سایت ها و جوابت تشکر

شما اگه مشتق عبارت بالا رو بگیرید متوجه می شید که تابع همواره صعودی هست (دلتای عبارت مشتق منفی می شه و عبارت همواره مثبت است) . حالا تو معادلتون به جای t صفر بزارید می بینید مثبت شد (50+) بنابراین شما هر t بزرگتر از صفر بدید (تو این سوال تا عدد 12) مقدار s مثبت خواهد بود و با رشد t شاهد رشد s هستیم.

داداش دمت گرم حال دادی اساسی من اصن حواسم نبود میخواستم هرجور شده نمودارم محور t قطع کنه!!!!! خدایی حالم خوب نبودا
دست جفتتون درد نکنه