کمک در حل سوال هندسه

[Farzam.s]

به نام خدا
با سلام
من مدتی است که برای المپیاد می خونم. از شما دوستان می خواستم که به من در حل این سوال هندسه کمک کنید.
در ذوزنقه (ABCD (AB||CD ، نیمسازهای خارجی دو زاویه B و C در نقطه P و نیمسازهای خارجی دو زاویه A و D در نقطه Q متقاطع اند. ثابت کنید طول پاره خط PQ برابر با نصف محیط ذوزنقه است.
با تشکر

[davy jones]

به نام خدا
با سلام
من مدتی است که برای المپیاد می خونم. از شما دوستان می خواستم که به من در حل این سوال هندسه کمک کنید.
در ذوزنقه (ABCD (AB||CD ، نیمسازهای خارجی دو زاویه B و C در نقطه P و نیمسازهای خارجی دو زاویه A و D در نقطه Q متقاطع اند. ثابت کنید طول پاره خط PQ برابر با نصف محیط ذوزنقه است.
با تشکر

سلام.

سوال جالبی به نظر میرسه.

در این مساله کافیه که بتونیم ثابت کنیم که پاره خط PQ موازی قاعده های ذوزنقه است:

اونوقت به راحتی میشه نتیجه گرفت که پاره خط PQ دقیقا در وسط دو قاعده هم قرار داره و اون قسمتی از PQ که داخل ذوزنقه هستش، طبق قضیه ی تالس برابر با میانگین حسابی دو قاعده میشه و هر کدام از 2 تکه ی پاره خط PQ که خارج از ذوزنقه می افتند هر کدام برابر نصف ضلع نزدیک به خود هستند.

ولی نمیدونم چطوری باید ثابت کرد که PQ موازی AB و CD میشه.
فکر کنم اگه پاره خط AQ رو از سمت A امتداد بدیم، بتونیم از خاصیت زاویه ی خارجی مثلث ها (که برابر مجموع دو زاویه ی داخلی دیگر مثلث میشه) استفاده کنیم و نشون بدیم که زاویه ی AQP با زاویه ی QAD برابر اند. همین طور برای سمت دیگر ذوزنقه هم میتونیم همین کار رو بکنیم. البته مطمئن نیستم که این روش جواب بده. انصافا سوال سختیه.

امیدوارم در المپیاد موفق باشین.
90/12/23

[ali_hp]

سلام وسط ضلع BC را R بنامید. دقت کنید که مثلث BPC قائم الزاویه است. پس میانه PR برابر نصف وتر BC است و PR=RB پس مثلث BRP متساوی الساقین است و زاویه RPB با زاویه RBP برابر است .پس با توجه به اینکه BP نیمساز است نتیجه می شود که PR موازی AB است. به طور مشابه Q را به وسط AD وصل می کنیم.و نتیجه میشود QT موازی AD است.از طرفی می دانیم خطی که وسط دو ساق ذوذنقه را به هم وصل می کند موازی دو قاعده است.از اینجا نتیجه می شود که P و Q روی خطی که وسط دو ساق ذوذنقه را به هم وصل می کند قرار دارند و طبق توضیحات davy jones عزیز مساله حل میشه.