سوال فوری حد

**hamed29** · 11-03-2012, 13:24

سلام این حد رو میخوام

بدون استفاده از هم ارزی و هوپیتال

حل کنم.

Lim x--> 0

(a^x - a^sin x) /(x^3)

جوابش 6/(Ln a)

ولی باید بدون هوپیتال و هم ارزی حل بشه
لطفا کمک!

**hamed29** · 28-03-2012, 00:23

جان من کسی نیست اینو حل کنه؟ یعنی اینقدر سخته!

**davy jones** · 28-03-2012, 18:11

سلام.

سوال واقعا سختی بود. ولی بالاخره حل شد.

در حل این حد بدون استفاده از هوپیتال، باید به بسط مک لورن سینوس و همچنین بسط مک لورن $a^{x}$ دقت کنیم و از اونها استفاده کنیم.

محتوای مخفی: یاد آوری:

اینم راه حل که امیدوارم جاییش رو اشتباه نکرده باشم. البته من برای اینکه خیالم از رفع ابهام راحت بشه، از هر کدوم از بسطها، جملات بیشتری رو استفاده کردم. برای همین یکمی راه حل طولانی شده:

$\lim_{x \to 0}\frac{a^{x}-a^{\sin (x)}}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{a^{x}-a^{(x-\frac{x^{3}}{6})}}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{a^{x}(1-a^{-\frac{x^{3}}{6}})}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{(1+x\ln (a)+\frac{(x\ln (a))^{2}}{2})(1-(1-\frac{x^{3}}{6}\ln (a)+\frac{(-\frac{x^{3}}{6}\ln (a))^{2}}{2}))}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{(1+x\ln (a)+\frac{x^{2}}{2}\ln ^{2}(a))(\frac{x^{3}}{6}\ln (a)-\frac{x^{6}}{72}\ln ^{2}(a))}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{3}}{6}\ln (a)-\frac{x^{6}}{72}\ln ^{2}(a)+\frac{x^{4}}{6}\ln^{2}(a)-\frac{x^{7}}{72}\ln ^{3}(a)+\frac{x^{5}}{12}\ln ^{3}(a)-\frac{x^{8}}{144}\ln ^{4}(a)}{x^{3}}={\color{DarkBlue} \lim_{x \to 0}\frac{x^{3}}{x^{3}}(\frac{1}{6}\ln (a)-\frac{x^{3}}{72}\ln ^{2}(a)+\frac{x}{6}\ln^{2}(a)-\frac{x^{4}}{72}\ln ^{3}(a)+\frac{x^{2}}{12}\ln ^{3}(a)-\frac{x^{5}}{144}\ln ^{4}(a))}{\color{Red} =\frac{1}{6}\ln (a)}$

موفق باشین.
91/1/9

**hamed29** · 30-03-2012, 13:21

با سلام و تشکر فراوان.
این سوال استادمون بود که یه کلاسو اسیر خودش کرده بود.فکر میکردم بشه یه طورایی با ‏log‏ حلش کرد.حالا نمیدونم میشه یا نه
هنوز نخوندم.ببخشید که میپرسم،یه وقت حمل بر بیسوادی نشه،ولی بسط مک لورن یجور ارزیه نیست؟
موفق باشید

**Rhodes** · 30-03-2012, 13:28

ولی بسط مک لورن یجور ارزیه نیست؟

فکر کنم هست ...
هم ازی ها یع جورایی از اینا استخراج شده دیگه ...

نام تاپيک: سوال فوری حد

اختيارات تاپيک

سوال فوری حد

این کاربر از hamed29 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

بالاخره حل شد!

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از Rhodes بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن