چرا { } تهي زيرمجموعه يك مجموعه است ؟!

[manya-atashin]

سلام دوستان
استاد رياضي يه سوال داده
كه هر كس جواب رو آورد
1 نمره به پايان ترم اضافه ميكنه
ميگه هر كسي هم تا حالا جواب رو آورده ترم هاي قبل و اينا اشتباه بوده !!! حتي اساتيد رياضي !
يه سوال سادست ولي اين دليل ميخواد ...

سوال اينه : چرا تهي زير موجموعه است ؟!

مربوط ميشه به دوران دبيرستان فك كنم ...
مثلا فرض كنيد
A = (a,b,c)o

حالا ما بايد زيرمجموعه هاي A رو بنويسيم
كه ميشه
a
b
c
a,b
a,c
b,c
a,b,c
و
تهي { }

ميگه چرا اين تهي زيرمجموعه يك مجموعه حساب ميشه ؟ مگه نبايد يه مجموعه خالي نباشه ؟ پس چرا تهي زير مجموعه هست ؟!!!

ميگه اگه جواب رو هم خواستين ميگم ولي يك نمره از پايان ترم كم ميكنم

[ARASH BAYAT]

hi..

there are probably many ways of convincing yourself (or students) that this is the case.

1. The set A is a subset of the set B if and only if every element of A is also an element of B. If A is the empty set then A has no elements and so all of its elements (there are none) belong to B no matter what set B we are dealing with. That is, the empty set is a subset of every set.

2. Another way of understanding it is to look at intersections. The intersection of two sets is a subset of each of the original sets. So if {} is the empty set and A is any set then {} intersect A is {} which means {} is a subset of A and {} is a subset of {}.

3. You can prove it by contradiction. Let's say that you have the empty set {} and a set A. Based on the definition, {} is a subset of A unless there is some element in {} that is not in A. So if {} is not a subset of A then there is an element in {}. But {} has no elements and hence this is a contradiction, so the set {} must be a subset of A.

An example with an empty set and a non-empty set might be this: the (set of all women who have walked on the moon) and the (set of all astronauts). Examine the three arguments above with this example in mind

[far2009]

شما فرض کنید تهی زیر مجموعه ای از یک مجموعه (مثلا A) نباشد پس باید لااقل عضوی در تهی باشد که آن عضو در مجموعه A نباشد که چون تهی عضوی ندارد پس این فرض باطل است و تهی زیر مجموعه ی هر مجموعه ای است . ( برهان خلف )

[manya-atashin]

جناب آرش فارسيش رو قرار ميدين ؟

far2009 ممنونم از شما ...

[MasterGeek]

همه ی دلایلی که دوستان آورند درست هست، و قضیه رو ثابت میکنه
من قصدم این هست که به این نکته توجه بشه که توی بعضی از اصول تعریف نظریه ی مجموعه ها خود این مسئله آکسیوم هست، بهرحال من فکر میکنم استادتون بین این آکسیوم ها و بحثهاش گیج شده.... و به همین خاطر همه ی اثباتهای این مسئله رو به خاطر بحثهای عموما فلسفی راجع به نظریه ی مجموعه ها رد میکنه

بد نیست از استادتون هم بیشتر بگین (چون مسئله تون حل شده هست) و اینکه چه دانشگاهی تدریس میکنن

[biostar]

دقیقا با برهان خلف اثبات میشه !

Sent from my GT-I9000 using Tapatalk

[MasterGeek]

اصلشو اینجا میتونین پیدا کنین:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

ترجمه به طور خلاصه:
1. مجموعه ی A زیرمجموعه ای از B است اگر و تنها اگر هر عضو A عضوی از B باشد. اگر A تهی باشد آنگاه A عضوی ندارد پس تمام اعضایش (که ندارد) عضو B هستند {بدون اینکه اهمیتی داشته باشد که مجموعه ی B چه باشد}. و این یعنی مجموعه ی تهی زیر مجموعه ی هر مجموعه ای هست

2. اشتراک دو مجموعه، زیرمجموعه ای از هردو مجموعه هست. اشتراک تهی با هر مجموعه ای تهی میشود پس تهی زیرمجموعه ی هر مجموعه ای هست (به این شکل دوم میشه با بازی با آکسیوم ها (اصول بنیادی) ایراد گرفت)

3. سومی رو far2009 عملا گفتن

[M-I-L-A-D]

زیرا برای اینکه !