یه سوال ریاضی توپ

[Dokhtar_Bache]

بچه ها نمیدونم کسی میتونه جواب بده یانه
ببینید من دوتا مسئله میگم میخواستم اگر کسی اثبات حالت کلی این دومثال رودیده یا میدونه یاکتابی میشناسه معرفی کنه ...ضایع نکنید تاپیک بره پایین مرسی
ببینید از مبحث لانه کبوتر حل میشه

1-- 10 عدد صحیح 1،2،3،،،10 به طورتصادفی برروی محیط یک دایره قرارداده شده اند نشان دهیدکه دست کم مجموع سه عدد متوالی قرار داده شده,دست کم مساوی 17 است.

2--مساحت یک دایره به36 قطاع تقسیم شده واعداد 1 الی 36 به طور تصادفی درقطاع های مختلف قرار گرفته اند.نشان دهید سه قطاع متوالی وجود دارد که مجموع اعداد قرار داده شده در آنهادست کم ،56 است.

بچه ها حل اینارو نمیخوام فقط اثبات حالت کلی اینارو
thank u so much

[lebesgue]

خب شما که حالت کلی رو نگفتین ما بدونیم منظورتون از حالت کلی چیه!
من فرض می کنم حالت زیر مد نظر شما بوده (در ضمن دو تا مسئله تون یکی هستن با اعداد مختلف):
N عدد صحیح 1،2،3،،،N به طورتصادفی برروی محیط یک دایره قرارداده شده اند نشان دهیدکه دست کم مجموع M عدد متوالی قرار داده شده,دست کم مساوی است. ( M < N )

اثباتش خیلی سادست، فکر میکنم دوم ابتدایی که بودم از این سوالها حل میکردم!

[Dokhtar_Bache]

اثباتش خیلی سادست، فکر میکنم دوم ابتدایی که بودم از این سوالها حل میکردم!

مرسی ازین که اینقدر موقرانه جواب دادی ...ببخشید که من نمیدونستم تواینقدر نبوغ داشتی که دوم ابتدایی سوال در حد کتاب ساختمان گسسته رشته IT دانشگاه شریف حل می کردید
حالت کلی هم منظورم الگوریتمی هست که این مدل مسائل از روش طرح میشه
خودم هم میتونم این مسائل رو بابرهان خلف اینا حل کنم
بی زحمت این اثبات ساده رو هم بنویسید ...

[lebesgue]

شوخی کردم دوست من.
من خیلی به حل مسئله علاقه دارم و مسئله زیاد حل می کنم. قبلا مشابه این سوال رو دیده بودم وگرنه نبوغ من کجا بود!

هنوز مطمئن نیستم منظورتون رو درست متوجه شده باشم.
فرض کنید قصد داریم یک سوال به این فرم طراحی کنیم:
N عدد صحیح 1،2،3،،،N به طورتصادفی برروی محیط یک دایره قرارداده شده اند نشان دهیدکه دست کم مجموع سه عدد متوالی قرار داده شده,دست کم مساوی K+1 است.
حالا باید ببینیم به ازای چه مقادیری از K، این مسئله با روش مورد نظر (لانه کبوتر) قابل حله.

تعداد کل سه تایی های متوالی، برابر با N است. همچنین مجموع همه سه تایی ها (این مجموع را S بنامیم)، سه برابر مجموع اعداد 1،2،3،،،N است، چون هر عدد 3 بار حساب میشه. اگر سه تایی ها رو لانه ها فرض کنید و S رو تعداد کبوترها، بنا به تعمیم اصل لانه کبوتر، به ازای هر K ای که در رابطه زیر صدق کنه، لانه ای با دستکم K+1 کبوتر وجود خواهد داشت:
S سه برابر مجموع اعداد 1،2،3،،،N بود، در نتیجه:

پس رابطه مذکور بدین صورت خواهد بود:

در نتیجه ماکزیمم K به عنوان یک عدد صحیح، برابر خواهد بود با:

مسئله ما به ازای تمام K های کوچکتر از این هم برقراره، اما در مسائل شما، ماکزیمم K مورد نظر بوده.

برای حالتی که به جای 3، بذاریم M هم استدلال دقیقاً به همین شکل خواهد بود.

در ضمن، با روشی کاملا مشابه میشه این مسئله رو با برهان خلف هم حل کرد.
اصل لانه کبوتر هم در حقیقت یک قضیه (نه یک اصل) است که با برهان خلف به سادگی اثبات میشه.

[Dokhtar_Bache]

ممنون ازاینکه وقت گذاشتی..فقط یه مشکلی هست:

در نتیجه ماکزیمم K به عنوان یک عدد صحیح، برابر خواهد بود با:

تو اینجا اگر جزء صحیح رو به اضافه 1 بذاریم اونوقت اون 2 تا مسئله که گفتم توش صدق میکنه (منظورم همون 17 و 56 هست) نه؟
تو پست 2 گذاشته بودید ولی باتابع سقف جابه جا کردیدش گویا
یه سوال دیگه که دارم ببینید تو اون نامساوی اول که نوشتید من درست متوجه شدم؟ :
S : تعداد کل کبوترها
N : تعداد لانه ها
K : تعداد کبوترهای موجود در یک لانه

اثبات خوبیه یه زحمت دیگه اینکه با برهان خلف هم توجیهش کنید
بازم تشکر

[lebesgue]

تو اینجا اگر جزء صحیح رو به اضافه 1 بذاریم اونوقت اون 2 تا مسئله که گفتم توش صدق میکنه (منظورم همون 17 و 56

بله، برای این دو تا مسئله صدق می کنه، اما برای حالتی که N فرد باشه خیر، چون رابطه به ازای X های صحیح برقرار نیست.

یه سوال دیگه که دارم ببینید تو اون نامساوی اول که نوشتید من درست متوجه شدم؟ :
S : تعداد کل کبوترها
N : تعداد لانه ها
K : تعداد کبوترهای موجود در یک لانه

بله. فقط این توضیح رو بدم که در اینجا کبوترها، 1 ها هستن.
یعنی ما S تا 1 داریم که میخوایم اینها رو بین لانه ها توزیع کنیم.
K هم عددی هست که حداقل یکی از لانه ها بیش از K کبوتر (دستکم K+1 کبوتر) داره.

یه زحمت دیگه اینکه با برهان خلف هم توجیهش کنید

فرض کنید همین مسئله ای که طرح کردیم رو میخوایم حل کنیم:
N عدد صحیح 1،2،3،،،N به طورتصادفی برروی محیط یک دایره قرارداده شده اند نشان دهیدکه دست کم مجموع سه عدد متوالی قرار داده شده,دست کم مساوی است.

حل:
فرض کنیم هیچ سه تایی متوالی، مقدارش دست کم مساوی نباشه، در نتیجه تمام سه تایی های متوالی مقدارشون کمتر از این خواهد بود، یعنی حداکثر:



چون N تا سه تایی داریم، در نتیجه مجموع همه سه تایی ها (یعنی S) حداکثر برابر است با:



در نتیجه فرض ما منجر به تناقض می شود و نادرست است.

راه حل اصلی مورد نظر من هم از همین برهان خلف بود، اما چون در پست اول فرموده بودین لانه کبوتر، من از اون روش حل کردم.