گر مبحث سري ها را مطالعه كرده باشيم ، مي دانيم اولين موضوعي كه بلافاصله مطرح مي شود مساله ي همگرائي وواگرائي سري ها است .
يكي از مشهورترين سري هاي واگرا سري
مي باشد كه به سري همساز معروف است . سوال : اگر به جاي n ها اعداد اول
را قرار دهيم ، رفتار سري
چگونه است؟
اولين بار اويلر در سال 1737 ثابت كرد كه اين سري واگرا مي باشد .
در اين جا اثباتي از اين موضوع كه از آن كلاركسون (Clarkson) است را مي آوريم .
پيش از اثبات ،يكي از آزمون هاي مشهور همگرائي سري ها كه به آزمون انتگرال معروف است را مي آوريم :
آزمون انتگرال : اگر تابع 
نزولي و
باشد آن گاه 
همگرا است اگر
متناهي باشد و واگرا است اگر 
باشد .
اكنون به اثبات واگرائي سري مي پردازيم :
اگر اين سري همگرا باشد پس عددي طبيعي چون k موجود است كه
.
فرض كنيد
. براي عدد طبيعي دلخواه n،عدد 1+nQ را در نظر بگيريد . اين عدد برهيچ يك ازاعداد 
بخش پذير نيست .[چرا؟] بنابراين همه ي عامل هاي اول 1+nQ در ميان اعداد اول 
قرار دارند . بنابراين به ازاي هر 
داريم :
[ چرا؟] اما طرف راست اين نامساوي تحت تسلط سري هندسي همگراي
مي باشد . پس سري
داراي مجموع هاي جزئي كراندار بوده ولذا همگرا است .[چرا؟]
اما :
واين يعني طبق آزمون انتگرال ، سري واگرا است واين با موضوع فوق در تناقض است .
بنابراين سري واگرا مي باشد .
منبع :كتاب نظريه تحليلي اعداد ، نوشته تام .م.آپوست
يك سري جالب
جواب بصورت نقل قول
