بهشت کانتور

[shape]

*هیچ کس ما را از بهشتی که کانتور برای ما ساخته نمیتواند خارج کند.* "دیو ید هیلبرت"(اواتار من <------)
از انجایی که نظریه مجموعه ها نقش زیادی در ریاضیات عصر حاضر دارد فقدان تاپیکی درباره ی این مبحث رو حس کردم و این تاپیک رو درست کردم . کمکم کنید که کاملش کنیم.با هم

[shape]

سلام

بحث رو با قضیه کانتور شروع می کنیم.فرض کنید هتلی دارای بی نهایت اتاق است که به صورت 1و2و3و... شماره گذاری شده اند

و در هر اتاق شخصی حضور دارد.یکی به این هتله میاد و اتاق می خواد.صاحب هتل چیکار باید بکنه؟

خوشبختانه صاحب هتل باهوشه و کار باحالی میکنه.(اسمایلی که می خندد)صاحب هتل میگه همه راس ساعت مشخصی از اتاق

خود بیرون بیان و هر کی بره به اتاقی با شماره ی یکی بیشتر از شماره اتاقش .یعنی مثلا کسی که در اتاق شماره چهار هست به

اتاق شماره پنج بره.حالا اتاق شماره یک خالی میشه و اون یه نفر میره اتاق شماره یک.

جالب بود نه؟ این اولین مثالیه که وقتی وارد مبحث مجموعه های نا متناهی میشید مطرح میشه و دید تازه ای به ادم میده چون

میبینیم بی نهایت با اعدادی مثل 1و2و3و50و100و... فرق داره.مشخصه یه همچین کاریو نمیشه با این جور عدد ها کرد

در اینجا مجبوریم مفهوم تساوی رو کمی تعمیم بدیم:

فرض کنید سوار یه اتوبوس شدید.کی میگید تعداد صندلی ها و مسافر ها برابر است؟ وقتی که دو شرط برقرار باشه:

1.روی هر صندلی یکی نشسته باشه.

2.کسی سر پا نباشه

بیاید دو شرط بالا رو بیشتر و بهتر توضیح بدیم.فرض کنید مجموعه ی صندلی ها و مجموعه ی مسافر ها باشد.هنگامی

میگوییم کاردینال یا اندازه این دو مجموعه برابر است که تابعی مثل وجود داشته باشه که

هم یک به یک باشه هم پوشا.

با همین تعریف یعنی وجود چنین تابعی مفهوم تساوی رو تعمیم دادیم.دیگه بسه فعلا سعی کنید ثابت کنید

* *

یعنی بین هر دو تا یه تابع پوشا و یک به یک پیدا کنید.

منتظر نظرها و سوالات و جواب سوال بالا هستم.

[shape]

سلام

امیدوارم از پست قبلیه خوشتون اومده با شه .

بحث رو درباره ی مجموعه های نامتناهی ادامه میدیم.قبل از هر چیزی لازمه بدونید جواب سوالی که تو پست قبل مطرح شد رو تو

پست بعدی میدم.

حالا به یه جایی رسیدیم که باید مفهوم شمارا و ناشمارا بودن رو شرح بدیم.دیدیم یا حداقل خواهیم دید که مجموعه اعداد گویا و

صحیح با مجموعه ی اعداد طبیعی هم کاردینال هستن.به هر مجموعه ی هم کاردینال با مجموعه ی اعداد طبیعی,مجمو عه ی

شمارا میگن.

دیگه تعریف نا شمارایی مشخصه.به هر مجموعه ی نا متناهی که هم کاردینال با اعداد طبیعی نباشه ,مجموعه ی نا شمارا میگن

*به عنوان سوال این پست ثابت کنید که ناشماراست.

تعریف مجموعه ی توانی یادتونه؟ مجموعه ی همه ی زیر مجموعه های یه مجموعه ...حالا به نظرتون کاردینال مجمو عه ی توانی
اعداد طبیعی چیه؟

در ادامه خواهیم دید که این مجموعه هم کاردینال با است و در نتیجه ناشماراست.قبل از هر چیز به نتیجه ی مسئله ی هتل

کانتور توجه کنید.

این نتیجه اینه:اضافه کردن تعداد متناهی عدد به یک مجموعه ی نا متناهی کاردینال اون مجموعه رو عوض نمیکنه.خودتون هم

میتونید اینو اثبات کنید.اسونه...

با توجه به چیزی که گفتم داریم:



یه عبارت جالب دیگه:


اینگونه ثابت میکنیم که به هر نقطه ی بازه ی یه نقطه از نسبت میدیم به صورت یک به یک و پوشا.بیاید بازه ی رو خم

کنید و باهاش یه نیم دایره بسازید.

حالا طوری روی محور قرارش بدید که محور در وسط کمان بر کمان مماس باشه.مرکز نیم دایره و یه نقطه ی دلخواه روی کمان

درنظر بگیرید . حالا خط گذرنده از مرکز نیم دایره و رو بکشید تا محور رو در یه نقطه قطع کنه.اسم این نقطه رو هم بذارید

.این تابع هم یک به یکه هم پوشا.پس حکم اثبات شد.

هم کاردینالی و هم بمونه بعدا میگم.خودتون هم روش فکر کنید.

تا پست بعدی خدا حافظ.

[shape]

اونقدر ننوشتید تا پست خوابید,واقعا که...
خوب خودم مینویسم
میخوایم اینو حل کنیم


ببینیم تناظر 1-1 با یعنی چی.یعنی اینکه ما میتونیم اعضای مجموعه رو روی اعداد طبیعی محور بذاریم و اونارو رو یه نیم خط

بچینیم.پس کافیه با نظم اعداد صحیح و گویا رو بچینیم روی یه نیم خط.


:

برای این کار صفر و اعداد طبیعی رو روی نیم خط به ترتیب صعودی میذاریم.حالا منفی هر عددو سمت راستش مینویسیم.

مشخصه که همه ی اعداد صحیح نوشتو شده پس

:

واسه این یکی مساله رو اینطوری حل میکنیم:اول صفر رو روی سر پاره خط مینویسیم.حالا تو مرحله ی ام تمام کسر های ساده
شده رو که جمع صورت و مخرجشون میشه رو به ترتیب صعودی اعداد صورت مینویسیم.بعد منفی هر عدد رو سمت راستش

میذاریم.به همین راحتی همه ی اعداد گویا رو رو یه پاره خط چیدیم .یعنی

[shape]

هاسدورف یکی از کتاب هایش را که درباره توپولوژی بود, با این مضمون به کانتور اهدا می کند:"تقدیم به خالق نظریه مجموعه ها,گئورگ کانتور,با تحسین توآم با سپاس."

سلام

خداییش نشستید پشت کامپیوتر فقط مطلب میخونید؟ یه ذره هم بنویسید.
تو 12 روز فقط یه پست تشکر نوشتید(که البته خلاف مقرراته)
چیم از شماها کمتره؟خودم مینویسم:

دوتا سوال مونده بود.اونارو حل میکنیم:

یکی این بود که ناشماراست:

یادتونه ثابت کردم ؟اگه نیست برید پست 3 رو بخونید.

پس ثابت میکنیم که ناشماراست.فرض کنید شمارا باشه یعنی بشه با یه ترتیب مرتبشون کرد:



حالا این عدد باحال رو در نظر بگیرید



به نظرتون تابلو نیست که این عدد تو لیست ما نیومده؟

اگه نیست دقت کنید که این عدد با همه ی عددها فرق داره ,یعنی به ازای هر ,عدد در امین رقم با فرق میکنه

پس به تناقض میرسیم که نشون میده ناشماراست

هنوز یه سوال مونده,اونم شماها حل کنید

[m1367m2006]

shape جون این اخریه عشق من تو ریاضیه که نبوغ کانتور را نشون میده و روش قطریه کانتوره
که من معمولا اول جزوهام می نویسمش
این نوشتن جملات بزرگان نظریه مجموعه ها هم ادامه بده
ممنون خیلی زیاد

[m1367m2006]

فک کنم اخرین سوالی که مونده اینه که مجموعه اعداد گنگ ناشماراست
می دانیم مجموعه اعداد گنگ بنابر تعریف برابراست با مجموعه اعداد حقیقی (R) منهای مجموعه اعداد گویا (Q) که این مجموعه نامتناهی است حال باید نشان دهیم که R_Qیا همان مجموعه اعداد گنگ ناشماراست
اثبات برهان خلف:
فرض کنیم R_Q شمارای نا متناهی است
[طبق پست شماره 4 می دانیم مجموعه اعداد گویا شماراست]
قضیه: اجتماع دو مجموعه شمارا شماراست
اجتماع دومجموعه R_Q و Qبرابراست با Rکه طبق قضیه باید مجموعه ای شمارا باشد اما این نتیجه با جواب بدست امده در پست 6 در تناقض است پس فرض خلف باطل وحکم برقرار است

[shape]

مرسی بابت پستتون
ولی سوالی که مونده بود این بود"هم کاردینالی و "

اینم با یه ایده ی باحال حل میشه. تعریف کنید:



اگه یه کمی دقت کنید می فهمید که این تابع یک به یکه و ضمنا:



خب دیگه مسئله ی دیگه ای نمونده واز پست بعد میریم سراغ درس!

[m1367m2006]

سلام
ممنون از اینکه اخرین سوال را جواب دادید
یه پیشنهاد وانتقاد
اول اینکه فک میکنم از بد جایی شروع به نوشتن نظریه مجموعه ها کردی
اول بخش باید مفهوم مجموعه واصوله موضوعه را بگی که اساس بهشت کانتورند
دوم درسته که مجموعه های شمارا ونا شمارا با اعداد اصلی در ارتباطند ولی در بیشتر کتابها در مورد این موضوع ها
در دو بخش توضیح داده شده
اون بالا بنویس در مورد کدوم بخش حرف میزنی تا بتونم کمک کنم
یزدان جان حالا خودت بگو کدوم پیشنهاده و کدوم انتقاد
ممنون

[shape]

به قول سنایی:
"به حرص ار شربتی خوردم,مگیر از من که بد کردم بیابان بود و تابستان و اب سرد و استسقا"

همه ی چیزهایی که من نوشتم مطالبی هستن که از این ور اون ور گیر اوردم و خوندم و متاسفانه تا حالا یه کتاب هم درباره ی اینجور چیزا نخوندم و احتمالا بعدا هم نخواهم خواند چون قراره برم برق.
شما که این همه طالب کمک کردنی,شروع کن درسارو با ترتیب بنویس,ما هم اگه کمکی از دستمون بر بیاد,دریغ نمیکنیم
قبوله؟(من کاملا جدی ام)

یزدان جان حالا خودت بگو کدوم پیشنهاده و کدوم انتقاد

گیر نده, نمیدونم