چرا { } تهي زيرمجموعه يك مجموعه است ؟!

سلام دوستان
استاد رياضي يه سوال داده
كه هر كس جواب رو آورد
1 نمره به پايان ترم اضافه ميكنه
ميگه هر كسي هم تا حالا جواب رو آورده ترم هاي قبل و اينا اشتباه بوده !!! حتي اساتيد رياضي !
يه سوال سادست ولي اين دليل ميخواد ...

سوال اينه : چرا تهي زير موجموعه است ؟!

مربوط ميشه به دوران دبيرستان فك كنم ...
مثلا فرض كنيد
A = (a,b,c)o

حالا ما بايد زيرمجموعه هاي A رو بنويسيم
كه ميشه
a
b
c
a,b
a,c
b,c
a,b,c
و
تهي { }

ميگه چرا اين تهي زيرمجموعه يك مجموعه حساب ميشه ؟ مگه نبايد يه مجموعه خالي نباشه ؟ پس چرا تهي زير مجموعه هست ؟!!!

ميگه اگه جواب رو هم خواستين ميگم ولي يك نمره از پايان ترم كم ميكنم :13:

hi..

there are probably many ways of convincing yourself (or students) that this is the case.

1. The set A is a subset of the set B if and only if every element of A is also an element of B. If A is the empty set then A has no elements and so all of its elements (there are none) belong to B no matter what set B we are dealing with. That is, the empty set is a subset of every set.

2. Another way of understanding it is to look at intersections. The intersection of two sets is a subset of each of the original sets. So if {} is the empty set and A is any set then {} intersect A is {} which means {} is a subset of A and {} is a subset of {}.

3. You can prove it by contradiction. Let's say that you have the empty set {} and a set A. Based on the definition, {} is a subset of A unless there is some element in {} that is not in A. So if {} is not a subset of A then there is an element in {}. But {} has no elements and hence this is a contradiction, so the set {} must be a subset of A.

An example with an empty set and a non-empty set might be this: the (set of all women who have walked on the moon) and the (set of all astronauts). Examine the three arguments above with this example in mind

شما فرض کنید تهی زیر مجموعه ای از یک مجموعه (مثلا A) نباشد پس باید لااقل عضوی در تهی باشد که آن عضو در مجموعه A نباشد که چون تهی عضوی ندارد پس این فرض باطل است و تهی زیر مجموعه ی هر مجموعه ای است . ( برهان خلف )

جناب آرش فارسيش رو قرار ميدين ؟

far2009 ممنونم از شما ...

همه ی دلایلی که دوستان آورند درست هست، و قضیه رو ثابت میکنه
من قصدم این هست که به این نکته توجه بشه که توی بعضی از اصول تعریف نظریه ی مجموعه ها خود این مسئله آکسیوم هست، بهرحال من فکر میکنم استادتون بین این آکسیوم ها و بحثهاش گیج شده.... و به همین خاطر همه ی اثباتهای این مسئله رو به خاطر بحثهای عموما فلسفی راجع به نظریه ی مجموعه ها رد میکنه :دی

بد نیست از استادتون هم بیشتر بگین (چون مسئله تون حل شده هست) و اینکه چه دانشگاهی تدریس میکنن

دقیقا با برهان خلف اثبات میشه !

Sent from my GT-I9000 using Tapatalk

اصلشو اینجا میتونین پیدا کنین:

کد:

---

http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.06/narayana1.html

---

ترجمه به طور خلاصه:
1. مجموعه ی A زیرمجموعه ای از B است اگر و تنها اگر هر عضو A عضوی از B باشد. اگر A تهی باشد آنگاه A عضوی ندارد پس تمام اعضایش (که ندارد) عضو B هستند {بدون اینکه اهمیتی داشته باشد که مجموعه ی B چه باشد}. و این یعنی مجموعه ی تهی زیر مجموعه ی هر مجموعه ای هست

2. اشتراک دو مجموعه، زیرمجموعه ای از هردو مجموعه هست. اشتراک تهی با هر مجموعه ای تهی میشود پس تهی زیرمجموعه ی هر مجموعه ای هست (به این شکل دوم میشه با بازی با آکسیوم ها (اصول بنیادی) ایراد گرفت)

3. سومی رو far2009 عملا گفتن

زیرا برای اینکه !:18: