درخواست یک اثبات هندسه

سلام دوستان.من خیلی رو این کار کردم ولی فقط قسمت اولش رو با استفاده از قضیه حمار اثبات کردم ولی دومیشو نتونستم حل کنم.لطفا کمک کنید!

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینم لینک عکس شکل :

کد:

---

http://hosting11.imagecross.com/image-hosting-18/8297Mosalas---Copy.jpg

---

حکم 1 (اینو اثبات کردم): AB+BC+AC < 2AP+2BP+2PC
حکم2 (اینو گیر کردم!!!) : AP+PB+PC < AB+BC+AC

مسئله هیچ فرضی جز مثلث بودن ABC نداده است.
لطفا کمک کنید حکم دوم رو اثبات کنم.

با تشکر

نقل قول:

---

نوشته شده توسط surpriser [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوستان.من خیلی رو این کار کردم ولی فقط قسمت اولش رو با استفاده از قضیه حمار اثبات کردم ولی دومیشو نتونستم حل کنم.لطفا کمک کنید!

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینم لینک عکس شکل :

کد:

---

http://hosting11.imagecross.com/image-hosting-18/8297Mosalas---Copy.jpg

---

حکم 1 (اینو اثبات کردم): AB+BC+AC < 2AP+2BP+2PC
حکم2 (اینو گیر کردم!!!) : AP+PB+PC < AB+BC+AC

مسئله هیچ فرضی جز مثلث بودن ABC نداده است.
لطفا کمک کنید حکم دوم رو اثبات کنم.

با تشکر

---

سلام
بعضی وقتها ضعیف بودن حکم یک مساله باعث سختیه اون میشه!
AP وBP و CP را امتداد دهید تا اضلاع را در M و N وK قطع کنند،حال ثابت می کنیم :
AM+BN+CK<AB+BC+AC
حال AM را به اندازه خودش تا نقطه X ادامه دهید،دقت کنید که دو مثلث AMC و BXM همنهشتند و BX=AC .
حال از قضیه حمار در مثلث ABX نتیجه می شود:
2AM<AB+XB=AB+AC
و به طریق مشابه داریم:
2BN<AB+BC
2CK<AC+BC
که باجمع زدن این سه نامساوی حکمی قویتر از حکم 2 ثابت می شود!
البته با رسم یک خط به موازات BC از نقطه P و استفاده از قضیه حمار نیز می توان این مساله را حل کرد.

ببخشید!دو بار فرستاده شد!

آقا دمت گرم.خیلی جالب بود.توضیحات هم خیلی کامل بود.فقط یه سوال کوچولو واسم پیش اومد.دو مثلث AMC و BXM چطور متشابه میشند؟

با تشکر

نقل قول:

---

نوشته شده توسط surpriser [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آقا دمت گرم.خیلی جالب بود.توضیحات هم خیلی کامل بود.فقط یه سوال کوچولو واسم پیش اومد.دو مثلث AMC و BXM چطور متشابه میشند؟

با تشکر

---

آقا راه حل اشتباهه!لزوما همنهشت نیستند،نامساویهایی هم که ثابت کردم لزوما درست نیستند!
راه حل درست:
از نقطه M خطی به موازات BC رسم کنید تا AB و AC را به ترتیب در M و N قطع کند!
دقت کنید که AP از یکی از دو ضلع AM و AN کوچکتر است!(چون حداقل یکی از زاویه های APM یا APN منفرجه است!)همچنین به وضوح MN از BC کوچکتر است.پس داریم:
AP<MAX{AM,AN}<AM+AN
BP<PM+BM
CP<PN+CN
با جمع زدن نامساویهای بالا بدست می آید:
AP+BP+CP<AB+AC+MN<AB+AC+BC

تشکر.نفهمیدم AP<MAX{AM,AN}<AM+AN چطور اثباتش کنم؟

نقل قول:

---

نوشته شده توسط surpriser [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تشکر.نفهمیدم AP<MAX{AM,AN}<AM+AN چطور اثباتش کنم؟

---

در هر مثلث ضلع روبرو به زاویه منفرجه از بقیه اضلاع بزرگتر است.در اینجا مجموع دو زاویه APM و APN برابر 180 است،پس حداقل یکی از آنها منفرجه(یا قائمه) است.مثلا اگر APM منفرجه(یا قائمه) باشد،نتیجه می شود که AP<AM پس به وضوح AP<AM+AN .