گر مبحث سري ها را مطالعه كرده باشيم ، مي دانيم اولين موضوعي كه بلافاصله مطرح مي شود مساله ي همگرائي وواگرائي سري ها است .
يكي از مشهورترين سري هاي واگرا سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مي باشد كه به سري همساز معروف است . سوال : اگر به جاي n ها اعداد اول [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را قرار دهيم ، رفتار سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چگونه است؟
اولين بار اويلر در سال 1737 ثابت كرد كه اين سري واگرا مي باشد .
در اين جا اثباتي از اين موضوع كه از آن كلاركسون (Clarkson) است را مي آوريم .
پيش از اثبات ،يكي از آزمون هاي مشهور همگرائي سري ها كه به آزمون انتگرال معروف است را مي آوريم :
آزمون انتگرال : اگر تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نزولي و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] همگرا است اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متناهي باشد و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واگرا است اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد .
اكنون به اثبات واگرائي سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مي پردازيم :
اگر اين سري همگرا باشد پس عددي طبيعي چون k موجود است كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] . براي عدد طبيعي دلخواه n،عدد 1+nQ را در نظر بگيريد . اين عدد برهيچ يك ازاعداد [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش پذير نيست .[چرا؟] بنابراين همه ي عامل هاي اول 1+nQ در ميان اعداد اول [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] قرار دارند . بنابراين به ازاي هر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داريم :
اما طرف راست اين نامساوي تحت تسلط سري هندسي همگراي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مي باشد . پس سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داراي مجموع هاي جزئي كراندار بوده ولذا همگرا است .[چرا؟]
اما :
واين يعني طبق آزمون انتگرال ، سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واگرا است واين با موضوع فوق در تناقض است .
بنابراين سري [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واگرا مي باشد .
منبع :كتاب نظريه تحليلي اعداد ، نوشته تام .م.آپوست
