يكي از مباحث اساسي در رياضيات ، بررسي نقطه هاي پيوستگي وناپيوستگي توابع مي باشد. به عنوان مثال مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي تابع [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عبارت است از مجموعه ي اعداد صحيح ( Z ) . و يا تابع f كه با ضابطه ي زير تعريف مي شود :
در هيچ نقطه اي پيوسته نيست و لذا مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي آن ، R است . اين تابع به تابع ديريكله مشهور است .
مطلبي كه در اين مقاله در پي آن هستيم ، معرفي تابعي است كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي آن به ترتيب : اعداد گويا و گنگ بازه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشند .
تابع f را بر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با ضابطه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در نظر بگيريد . ادعا مي كنيم كه اين ، همان تابع مطلوب است.
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد گوياي دلخواهي در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد ،عدد حقيقي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را طوري مي گيريم كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد . اكنون براي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دلخواه ، اگر y عدد گنگ دلخواهي در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد ، آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اما [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، پس اين تابع در هيچ نقطه ي گويائي از [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پيوسته نيست .
با روشي مشابه اين تابع در 0=x ناپيوسته است . پس در تمام نقطه هاي گوياي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ناپيوسته است .
حال اگر x عدد گنگ دلخواهي در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و عدد حقيقي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دلخواه باشد ، چون مجموعه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متناهي است [چرا؟]پس براي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مجموعه ي m هاي طبيعي كه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] متناهي است .اكنون قرار مي دهيم :
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ،به دليل گنگ بودن x داريم : [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
حال اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد گوياي دلخواهي باشد ، آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [به تعريف اخير توجه كنيد]. و لذا [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
اگر [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] گنگ باشد آن گاه [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
اين بحث نشان مي دهد كه مجموعه ي نقطه هاي ناپيوستگي و پيوستگي تابع مورد نظر به ترتيب عبارت اند از : اعداد گويا و اعداد گنگ بازه ي [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .
اكنون نمودار اين تابع را در زير مي آوريم :
به دليل شباهت نمودار اين تابع به شكل درخت كريسمس ، اين تابع را تابع درخت كريسمس گويند .
