اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم [آرشيو] - Page 3 - P30World Forums

davy jones

06-10-2010, 08:32

سلام
آیا می توان صد کره (نه لزوما هم اندازه) را طوری در فضا قرار داد که هیچ دوتایی متقاطع نباشند،و هر کره بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس باشد؟

سلام.

ببخشید، اگه فرض کنیم دایره های شکل زیر هر کدوم کره باشند، اینطوری مماس بشن هم قبوله؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
89/7/14

ali_hp

06-10-2010, 12:55

سلام.

ببخشید، اگه فرض کنیم دایره های شکل زیر هر کدوم کره باشند، اینطوری مماس بشن هم قبوله؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
89/7/14

سلام،شما بايد ببخشين!من صورت مساله رو خيلي بد نوشتم.منظورم از غير متقاطع اينه كه كره هاي تو پر هيچ حجم مشتركي نداشته باشن!
پس اينطوري مماس باشن قبول نيست.

davy jones

06-10-2010, 14:29

سلام،شما بايد ببخشين!من صورت مساله رو خيلي بد نوشتم.منظورم از غير متقاطع اينه كه كره هاي تو پر هيچ حجم مشتركي نداشته باشن!
پس اينطوري مماس باشن قبول نيست.

خب اینطوری که معلومه نمیشه. چون فرض میکنیم که کره اول رو در فضای سه بعدی قرار دادیم و 33 تا کره دیگه رو هم دورتادورش باهاش مماس کردیم. همین طور کره های باقی مونده رو برای 33 کره ای که به کره ی اول مماس کردیم مماس میکنیم و کل شکل به صورت لایه لایه بزرگتر میشه. واضحه که در لایه ی آخر دیگه نمیشه 33 تا کره ی مماس داشت. یعنی منظورم اینه که بالاخره یه لایه ی آخری وجود داره.

ali_hp

07-10-2010, 19:42

خب اینطوری که معلومه نمیشه. چون فرض میکنیم که کره اول رو در فضای سه بعدی قرار دادیم و 33 تا کره دیگه رو هم دورتادورش باهاش مماس کردیم. همین طور کره های باقی مونده رو برای 33 کره ای که به کره ی اول مماس کردیم مماس میکنیم و کل شکل به صورت لایه لایه بزرگتر میشه. واضحه که در لایه ی آخر دیگه نمیشه 33 تا کره ی مماس داشت. یعنی منظورم اینه که بالاخره یه لایه ی آخری وجود داره.
سلام
ما مجبور نیستیم کره ها را لزوما لایه لایه قراربدیم،مثلا ممکنه اول بیایم 33 کره به کره مرکزی مماس کنیم،و بعد کره های بعدی می تونن طوری مماس بشن که هم به بعضی ازین 33 تا کره مماس باشن،هم به کره اولی...

mir@

09-10-2010, 17:13

مجموع زیر را محاسبه کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{%5Cinfty%20}%5 Cfrac{k^2}{(1+i)^{k}}}

دوست عزیز 1233445566 دراینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) مسئله را به درستی حل کرده اند. آفرین

mir@

09-10-2010, 17:19

برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][%20\frac{n}{1}\bigg]+\bigg[%20\frac{n}{2}\bigg]+\cdots+\bigg[%20\frac{n}{n}\bigg]

ali_hp

10-10-2010, 11:14

آیا می توان صد کره (نه لزوما هم اندازه) را طوری در فضا قرار داد که هیچ دوتایی متقاطع نباشند،و هر کره بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس باشد؟
سلام
از دوست عزیز davy jones که به حل مساله پرداختند تشکر می کنیم.
حل مساله:
فرض کنید صد کره را طوری در فضا قرار داده ایم که هیچ دوتایی متقاطع نیستند(هیچ حجم مشترکی ندارند)و هریک بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس است.حال کوچکترین کره را در نظر بگیرید،پس حداقل 34 کره به آن مماس است که شعاعشان بزرگتر مساوی این کره هست.اما ثابت می کنیم چنین چیزی غیر ممکن است.
فرض کنید به یک کره به شعاع R بتوان n کره با شعاع بزرگتر مساوی R مماس کردکه هر دوتایی غیر متغاطع باشند،پس به وضوح به این کره می توان nکره به شعاع R نیز مماس کرد کردکه هر دوتایی غیر متغاطع باشند.
حال یک کره به شعاع سه برابر R به مرکز کره اولیه در نظر بگیرید،به وضوح هر n+1 کره ما داخل این کره قرار دارند و هیچ حجم مشترکی ندارند پس داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n+1)\frac{4}{3}\pi{R}^{3}<\frac{4}{3}\pi(3R)^{3}\Rightarrow{n<26}
پس نمی توان چنین کاری کرد.البته صد را در صورت مساله می توان با اعداد بهتری نیز جایگزین کرد،مثلا با همین راه حل نتیجه میشه که 76 تا کره هم نمیشه.ویا طبق یک مساله معروف می دانیم (این مساله به مساله سیزده کره معروفه،و در "کتاب اثبات " با راه حلش اومده)که به یک کره حداکثر سیزده کره می توان مماس کرد،پس میشه صدو با چهل نیز جایگزین کرد!
البته ما در اینجا فقط از یک عامل محدود کننده استفاده کردیم،یعنی تعداد کره هایی که به کوچکترین کره مماس میشن و اگه با روشی بتونیم از اینکه همه کره ها باید به یک سوم کره ها مماس باشن استفاده کنیم(مثل ایده دوستمون davy jones ) احتمالا چهلو هم بشه کوچکتر کرد.

ali_hp

10-10-2010, 11:20

همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

pianist1362

12-10-2010, 11:09

سلام بر مهندسين عزيز من يك سوال در مورد مجموعه ها داشتم
مجموعه هائي كه نامتناهي ولي شمارش پذير هستند آيا مجموعه تواني آنه هم شمارش پذير است يا نه ؟ با تشكر

davy jones

13-10-2010, 15:10

سلام بر مهندسين عزيز من يك سوال در مورد مجموعه ها داشتم
مجموعه هائي كه نامتناهي ولي شمارش پذير هستند آيا مجموعه تواني آنه هم شمارش پذير است يا نه ؟ با تشكر

سلام.

سوالتون رو در اینجا مطرح بفرمایید:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

همکاران محترم زحمت انتقالش رو بکشند.

موفق باشین.
89/7/21

eh_mn

13-10-2010, 20:18

فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R} تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} داشته باشيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)
نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

جناب 1233445566 به زيبايي اين مسأله رو در

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
حل كردن. از راه حل زيباي ايشان تشكر مي‌كنم.

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

eh_mn

13-10-2010, 20:30

دو دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x_n\} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{y_n\} به صورت زير تعريف شده‌اند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_n^2},\\\\&space;y_{n+1 }=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_n^2}},\\\\&space;x_1=y_1=\sqrt{ 3}

نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>1.

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

lebesgue

13-10-2010, 20:46

برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][%20\frac{n}{1}\bigg]+\bigg[%20\frac{n}{2}\bigg]+\cdots+\bigg[%20\frac{n}{n}\bigg]

دنباله [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i}(j) را برای اعداد طبیعی i و j چنین تعریف می کنیم:
مقدارش برابر با 1 است اگر i بر j بخش پذیر باشد و 0 است اگر نباشد.

در اینصورت دو نتیجه بدست می آید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{j=1}^{i}m_{i}(j)=t_{i}%5C% 5C%5C%5C%20%5Csum_{i=1}^{n}m_{i}(j)=%5Cleft%20%5Cl floor%20%5Cfrac{n}{j}%20%5Cright%20%5Crfloor

دومی، تعداد مضارب j در میان اعداد نابزرگتر از n می باشد.
همچنین چون [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i}(j) به ازای j > i برابر با صفر است، برای اولی می توان نوشت:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i}=%5Csum_{j=1}^{n}m_{i}(j)

از طرف چپ تساوی شروع می کنیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}+t_{2}+...+t_{n}=%5Csum_{i=1}^{n}t_ {i}=%5Csum_{i=1}^{n}%5Csum_{j=1}^{n}m_{i}(j)

که بنا به خواص [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می توان نوشت:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{j=1}^{n}%5Csum_{i=1}^{n}m_{i}(j )=%5Csum_{j=1}^{n}%5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{n} {j}%20%5Cright%20%5Crfloor=%5Cleft%20%5Clfloor%20% 5Cfrac{n}{1}%20%5Cright%20%5Crfloor+%5Cleft%20%5Cl floor%20%5Cfrac{n}{2}%20%5Cright%20%5Crfloor+...+% 5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{n}{n}%20%5Cright%20%5 Crfloor

که این، طرف راست تساوی می باشد.

lebesgue

13-10-2010, 21:42

همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یک معادله درجه 3 در حالت کلی، دارای 3 ریشه (مختلط) می باشد. یک معادله درجه 3 با ریشه های r1 و r2 و r3 را در نظر بگیرید، در اینصورت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](t-r_{1})(t-r_{2})(t-r_{3})=0%20%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20(t^{2}-(r_{1}+r_{2})t+r_{1}r_{2})(t-r_{3})=0%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20t^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})t^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_ {2}r_{3})t-r_{1}r_{2}r_{3}=0

بنابراین، ریشه های معادله زیر، در دستگاه مورد نظر صدق می کنند و برعکس:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{3}-2t^{2}+t-p=0%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20t^{3}-2t^{2}+t=p

جواب مسئله برابر است با مقادیر حقیقی p که به ازای آن، هر سه ریشه معادله بالا حقیقی باشند.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای این منظور، p باید بین ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{3}-2t^{2}+t باشد، یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %20%5Cfrac{4}{27} .

lebesgue

14-10-2010, 19:11

دو دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x_n\} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{y_n\} به صورت زير تعريف شده‌اند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_n^2},\\\\&space;y_{n+1 }=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_n^2}},\\\\&space;x_1=y_1=\sqrt{ 3}

نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>1.

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

از اتحادهای مثلثاتی می دانیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{sin(a)}{1+cos(a)}=tan(%5Cfrac{a} {2})%5C:%20%5C:%20%5C:%20,%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C frac{1+cos(a)}{sin(a)}=cot(%5Cfrac{a}{2})

قرار می دهیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}=cot(a)%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20 %5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%200%3Ca%3C 90%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20x_{n+1}=cot(a)+%5 Csqrt{1+cot^{2}(a)}%5C%5C%5C%5C%20=cot(a)+%5Cfrac{ 1}{sin(a)}=%5Cfrac{1+cos(a)}{sin(a)}=cot(%5Cfrac{a }{2})%5C%5C%5C%5C%20x_{1}=%5Csqrt{3}=cot(30)%5Crig htarrow%20x_{n}=cot(%5Cfrac{30}{2^{n-1}})

بطور مشابه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}=tan(a)%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20 %5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%200%3Ca%3C 90%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20y_{n+1}=%5Cfrac{t an(a)}{1+%5Csqrt{1+tan^{2}(a)}}%5C%5C%5C%5C%5C%5C% 5C%20=%5Cfrac{tan(a)}{1+%5Cfrac{1}{cos(a)}}=%5Cfra c{sin(a)}{1+cos(a)}=tan(%5Cfrac{a}{2})%5C%5C%5C%5C %20y_{1}=%5Csqrt{3}=tan(60)%5Crightarrow%20y_{n}=t an(%5Cfrac{60}{2^{n-1}})

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}y_{n}=cot(%5Cfrac{30}{2^{n-1}})tan(%5Cfrac{60}{2^{n-1}})%5C%5C%5C%5C%20=cot(b)tan(2b)=cot(b)(%5Cfrac{2 tan(b)}{1-tan^{2}(b)})=%5Cfrac{2}{1-tan^{2}(b)}%5C%5C%5C%5C%20n%3E1%5Crightarrow%200%3 Cb%3C30%5Crightarrow%202%3C%5Cfrac{2}{1-tan^{2}(b)}%3C3%5Crightarrow%202%3Cx_{n}y_{n}%3C3

mofidy1

15-10-2010, 15:42

با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] tan^{-1}(x)+tan^{-1}(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}.

موفق باشید.

26 شهریور 1389

با سلام و عذر تقصیر به علت تأخیر زیاد

از 1233445566 که در پست 479 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) مساله را حل کردند، تشکر می کنم. البته استدلال ساده تر از این هم وجود دارد: یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع غیر وتر x و 1 در نظر بگیرید؛ x و معکوس x را بر حسب تانژانت دو زاویه ی غیر قائم بنویسید. حال اگر این دو زاویه را بر حسب تانژانت معکوس x و معکوس x دوباره نویسی کنید، مطلب با جمع طرفین به دست می آید.

آموزش حل مساله:

«استدلالات» هندسی برای قضایای مثلثاتی.

موفق باشید.

23 مهر 1389

mofidy1

15-10-2010, 15:58

با سلام

سه مرد گرسنه در حالی که کیسه ای سیب به همراه داشتند، در جایی به خواب رفتند. در نیمه های شب یکی از مردها بیدار شد و یک سوم سیب ها را خورد و خوابید. کمی بعد دومی بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد و خوابید. بالاخره مرد سوم بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد. وقتی خوردن او تمام شد، 8 سیب در کیسه باقی مانده بود. در ابتدا چند سیب در کیسه بوده است؟

توضیح:

مساله را فقط به روش جبری حل نکنید؛ راه حل های زیبا و خوش ساخت نیز وجود دارند.

موفق باشید.

23 مهر 1389

ali_hp

18-10-2010, 20:42

همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلام
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که مساله رو به زیبایی حل کردند.
راه حلشونو دراینجا می ببنید:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

ali_hp

18-10-2010, 20:47

مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.

lebesgue

22-10-2010, 19:21

مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_{1}=0}^{%5Ci nfty%20}%5Csum_{a_{2}=0}^{%5Cinfty%20}%5Csum_{a_{3 }=0}^{%5Cinfty%20}%5Csum_{a_{4}=0}^{%5Cinfty%20}%5 Cfrac{1}{2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}7^{a_{4}}}=(%5 Csum_{a_{1}=0}^{%5Cinfty%20}%5Cfrac{1}{2^{a_{1}}}) (%5Csum_{a_{2}=0}^{%5Cinfty%20}%5Cfrac{1}{3^{a_{2} }})(%5Csum_{a_{3}=0}^{%5Cinfty%20}%5Cfrac{1}{5^{a_ {3}}})(%5Csum_{a_{4}=0}^{%5Cinfty%20}%5Cfrac{1}{7^ {a_{4}}})%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=(%5Cfrac{1}{1-%5Cfrac{1}{2}})(%5Cfrac{1}{1-%5Cfrac{1}{3}})(%5Cfrac{1}{1-%5Cfrac{1}{5}})(%5Cfrac{1}{1-%5Cfrac{1}{7}})=%5Cfrac{35}{8}

ali_hp

24-10-2010, 09:50

مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.
تشكر مي كنم از دوست عزيز 1233445566 كه در پست قبل به درستي مساله رو حل كردن.

ali_hp

24-10-2010, 09:59

عد حقيقي a ريشه معادله زير است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][a%5E%7B14%7D]=3

eh_mn

27-10-2010, 22:31

دو دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x_n\} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{y_n\} به صورت زير تعريف شده‌اند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_n^2},\\\\&space;y_{n+1 }=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_n^2}},\\\\&space;x_1=y_1=\sqrt{ 3}

نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>1.

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

ضمن سپاسگزاري از جناب 1233445566 كه با تغيير متغيرهاي بسيار مناسب! اين مسأله رو حل كردن.

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

ـــــــــــــــــــــ
5 آبان‌ماه 1389

eh_mn

27-10-2010, 22:41

دنباله‌ي فيبوناچي به صورت زير تعريف مي‌شود

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n-1}+f_{n-2},\quad&space;n\geq&space;3
قرار دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}1&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&0&space;\end{pmatrix}.
نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&space;&&space;f_n&space;\cr&space;f_n&space;&&space;f_{n-1}&space;\end{pmatrix},\quad&space;n=2,3,4,\dots.
با استفاده از اين مطلب نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^2,\quad&space;n=1,2,3,\dots

ـــــــــــــــــــــــ
5 آبان‌ماه 1389

mofidy1

28-10-2010, 19:31

با سلام

سه مرد گرسنه در حالی که کیسه ای سیب به همراه داشتند، در جایی به خواب رفتند. در نیمه های شب یکی از مردها بیدار شد و یک سوم سیب ها را خورد و خوابید. کمی بعد دومی بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد و خوابید. بالاخره مرد سوم بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد. وقتی خوردن او تمام شد، 8 سیب در کیسه باقی مانده بود. در ابتدا چند سیب در کیسه بوده است؟

توضیح:

مساله را فقط به روش جبری حل نکنید؛ راه حل های زیبا و خوش ساخت نیز وجود دارند.

موفق باشید.

23 مهر 1389

با سلام

کاربران عزیز، این مساله یکی از مقالات شماره ی 100 رشد آموزش ریاضی - ص 24 - است که می توانید آن را ذیلاً دانلود و راه حل های زیبای آن را مطالعه فرمایید.

آموزش حل مساله:

یک مساله چند روش

موفق باشید.

6 آبان 1389

mofidy1

28-10-2010, 19:39

با سلام

n- امین عدد اول را p_n بنامید و ثابت کنید که p_n<2^n. (فرض کنید که n از 1 بزرگ تر است.)

موفق باشید.

6 آبان 1389

lebesgue

31-10-2010, 19:59

عد حقيقي a ريشه معادله زير است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][a%5E%7B14%7D]=3

[IMG][ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=1+x+x^ {2}+%5Ccdots%20x^{n}%5Crightarrow%20xS(x)=x+x^{2}+ %5Ccdots%20x^{n}+x^{n+1}%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarr ow%20xS(x)=S(x)-1+x^{n+1}%5Crightarrow%20S(x)=%5Cfrac{x^{n+1}-1}{x-1}%5C%5C%5C%5C%20x=-t%5Crightarrow%201-t+t^{2}-t^{3}+%5Ccdots%20+(-1)^{n}t^{n}=%5Cfrac{(-1)^{n+1}t^{n+1}-1}{-t-1}=%5Cfrac{(-1)^{n}t^{n+1}+1}{t+1}%5C%5C%5C%5C%20t=q^{2}%5Crigh tarrow%201-q^{2}+q^{4}-q^{6}+%5Ccdots%20(-1)^{n}q^{2n}=%5Cfrac{(-1)^{n}(q^{2})^{n+1}+1}{q^{2}+1}%5C%5C%5C%5C%20%5Cr ightarrow%20q-q^{3}+q^{5}-q^{7}+%5Ccdots%20(-1)^{n}q^{2n+1}=%5Cfrac{q((-1)^{n}(q^{2})^{n+1}+1)}{q^{2}+1}%5C%5C%5C%5C%20%5C rightarrow%20x-x^{3}+x^{5}-x^7+x^9-x^{11}+x^{13}=%5Cfrac{x(x^{14}+1)}{x^{2}+1}

پس معادله مورد نظر، معادل است با معادله روبرو:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x(x^{14}+ 1)}{x^{2}+1}-2=0%5Crightarrow%20x^{14}=2(x+%5Cfrac{1}{x})-1

به ازای x < 0 ، طرف چپ معادله مثبت و طرف راست منفیست، پس ریشه معادله منفی نیست.
مینیمم طرف راست به ازای x های مثبت، برابر با 3 است. پس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{14}%5Cgeq%203 .
همچنین به ازای x ≥ 2، طرف چپ همواره بزرگتر از طرف راست است، پس:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{14}%3C2(2+%5Cf rac{1}{2})-1=4
در نتیجه:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{14}%3C4%20%5Cri ghtarrow%20%5Cleft%20%5Clfloor%20a^{14}%20%5Cright %20%5Crfloor=3

----------------------------------
برخی از روابط بالا به ازای 0≠x یا 1≠x یا -1≠x برقرارند، اما از آنجا که هیچکدام ریشه معادله مورد نظر نیست،
مشکلی ایجاد نمی شود.

می دانم راه حل چندان جالبی نیست و با نوشتن جزئیات به طور کامل، مقداری طولانی است، اما راه حل بهتری
پیدا نکردم، گفتم نوشتنش ضرری ندارد!

199069

01-11-2010, 21:28

سلام یه سوال داشتم که گفتم اگه بشه توی بخش حل مسایل بگم شاید کسی کمک کرد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
روش حل این دو تا انتگرال رو می خواست.به طور کامل با جزئیات مثلا" از چه نوه تغییر متغیری استفاده شده و ...
ام و ان می تونه هر عددی بزرگتر تر از 1 باشه.

davy jones

02-11-2010, 19:40

سلام یه سوال داشتم که گفتم اگه بشه توی بخش حل مسایل بگم شاید کسی کمک کرد.
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
روش حل این دو تا انتگرال رو می خواست.به طور کامل با جزئیات مثلا" از چه نوه تغییر متغیری استفاده شده و ...
ام و ان می تونه هر عددی بزرگتر تر از 1 باشه.

سلام.
سوال شما در تاپیک اتاق ریاضیات پاسخ داده شد. لطفا ادامه بحث را در آنجا دنبال کنین:

اتاق ریاضیات:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

موفق باشین.
89/8/11

eh_mn

03-11-2010, 23:41

دنباله‌ي فيبوناچي به صورت زير تعريف مي‌شود

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n-1}+f_{n-2},\quad&space;n\geq&space;3
قرار دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}1&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&0&space;\end{pmatrix}.
نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^n=\begin{pmatrix}f_{n+1}&space;&&space;f_n&space;\cr&space;f_n&space;&&space;f_{n-1}&space;\end{pmatrix},\quad&space;n=2,3,4,\dots.
با استفاده از اين مطلب نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^2,\quad&space;n=1,2,3,\dots

ـــــــــــــــــــــــ
5 آبان‌ماه 1389

داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}

و با استفاده از استقرا به راحتي حكم اول اثبات مي‌شود.

براي اثبات قسمت دوم توجه كنيد كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{3n}=\begin{pmatrix}f_{3n+1}&f_{3n}\\f_{3n}&&space;f_{3n-1}&space;\end{pmatrix}\quad\quad(1)
از طرفي

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{3n}=(Q^n)^3=\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_{n}\\f_{n}&&space;f_{n-1}&space;\end{pmatrix}^3\quad\quad(2)
با انجام توان رساني اخير و مساوي قرار دادن درايه‌هاي نظير ماتريس‌هاي به دست آمده در روابط (1) و (2) و كمي ساده‌سازي قسمت دوم نيز اثبات مي‌شود.

ـــــــــــــــــــــــــ
12 آبان‌ماه 1389

mir@

06-11-2010, 21:29

برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][%20\frac{n}{1}\bigg]+\bigg[%20\frac{n}{2}\bigg]+\cdots+\bigg[%20\frac{n}{n}\bigg]

دوست عزیز 1233445566778899 الی آخر مسئله را به درستی در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])حل کرده اند

mir@

06-11-2010, 21:35

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i%3E1

ali_hp

07-11-2010, 17:23

عد حقيقي a ريشه معادله زير است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سلام
از همه دوستان بخاطر تاخير زياد عذر مي خوام.
دوست عزيز 1233445566 مساله رو به درستي در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
حل كردن.البته راه حل كاملا طبيعيه!و طولاني بودنش عيبي نيست. البته در انتهاي راه حل بعضي از جزئيات به عهده خواننده گذاشته شده است!
در قسمت اول راه حلشون ايده بدست آوردن تعميم اتحاد چاق و لاغر مي بينيد!(اتحاد مربوط به تفاضل دو توان n ام)
كه البته ميشه مستقيما از اون اتحاد استفاده كرد،و نيازي به اثباتش نيست.

اينم يك راه حل ديگه كه كليتش فرقي با راه حل دوستمون فرقی نداره:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cfrac%7B%28x%5E%7B2%7D%29%5E%7B7%7D+1%7D%7Bx%5E%7B 2%7D+1%7D=&space;2

بنابر اين x مثبت است...

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 8x%5E%7B2%7D+1%29%7D%7Bx%7D-1%5Cgeq&space;2%5Ctimes2-1&space;=&space;3

حال ثابت مي كنيم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %29%7D%7Bx%7D-1&space;%3C&space;4

دقت كنيد كه x>1 زيرا x مثبت است و:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بنابر اين:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5E%7B7%7D+1%7D%7Bx%5E%7B2%7D+1%7D%3E&space;x%5CRightarro w&space;x&space;%3C&space;2

داريم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

كه با توجه به اينكه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

درست است.

ali_hp

08-11-2010, 12:49

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.

lebesgue

09-11-2010, 18:08

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i%3E1

برای n=2 که برقرار هست:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][(1-x_{1})(1-x_{2})]+[x_{1}+x_{2}]=[1-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}]+[x_{1}+x_{2}]=1+x_{1}x_{2}%3E1

فرض کنیم برای n=k برقرار باشد، به ترتیب زیر معلوم می شود که برای n=k+1 هم برقرار است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^{k+1}(1-x_{i})+%5Csum_{i=1}^{k+1}x_{i}=(1-x_{k+1})%5Cprod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+%5Csum_{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}%5C%5C%5C%5C%5 C%5C%20=%5Cleft%20[%20%5Cprod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+%5Csum_{i=1}^{k}x_{i}%20%5Cright%20]+x_{k+1}-x_{k+1}%5Cprod_{i=1}^{k}(1-x_{i})%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=%5Cunderset{%3E1}{%5Cu nderbrace{%5Cleft%20[%20%5Cprod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+%5Csum_{i=1}^{k}x_{i}%20%5Cright%20]}}+x_{k+1}%5Cunderset{%3E0}{%5Cunderbrace{%5Cleft% 20[%201-%5Cprod_{i=1}^{k}(1-x_{i})%20%5Cright%20]}}%3E1

عبارت سمت چپ که بنا به فرض بزرگتر از 1 است، عبارت سمت راست هم به این خاطر بزرگتر از صفر است که حاصلضرب تعدادی عدد بین 0 و 1، عددی بین 0 و 1 خواهد بود.

lebesgue

09-11-2010, 18:30

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.

وجود m :

حداقل یکی از دو مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در شرایط مورد نظر صدق می کند.

هر دو در شرط جمع که صدق می کنند، گنگ هم هستند، اگر اولی در شرط ضرب هم صدق کند، حکم ثابت شده است.

اما اگر صدق نکند، به این معنا خواهد بود که: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-a)a=a-a^{2}%5Cin%20%5Cmathbb{Q}

در نتیجه دومی در شرط ضرب صدق می کند: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2-a)a=2a-a^{2}=a+(a-a^{2})%5Cin%20%5Cmathbb{I}

چون می دانیم حاصل جمع یک عدد گنگ و یک گویا، همواره گنگ است (به سادگی از تعریف عدد گویا و گنگ بدست می آید).

وجود n :
حداقل یکی از دو مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{a} یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{2}{a} در شرایط مورد نظر صدق می کند.

هر دو در شرط ضرب که صدق می کنند، گنگ هم هستند، اگر اولی در شرط جمع هم صدق کند، حکم ثابت شده است.

اما اگر صدق نکند، به این معنا خواهد بود که: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{a}+a%5Cin%20%5Cmathbb{Q}

در نتیجه دومی در شرط جمع صدق می کند: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{2}{a}+a=%5Cfrac{1}{a}+(%5Cfrac{1 }{a}+a)%5Cin%20%5Cmathbb{I}

منظور از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{Q} مجموعه اعداد گویا، و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{I} مجموعه اعداد گنگ می باشد.

mofidy1

11-11-2010, 19:12

با سلام

n- امین عدد اول را p_n بنامید و ثابت کنید که p_n<2^n. (فرض کنید که n از 1 بزرگ تر است.)

موفق باشید.

6 آبان 1389

با سلام

بر اساس قضیه ی چپیشف (یا حدس برتراند) اگر n یک عدد طبیعی بزرگ تر از 1 باشد، بین n و 2n حداقل یک عدد اول وجود دارد. حال به استقراء و شروع از حالت 2 به توان n و 2 به توان n+1 ، قضیه ثابت می شود.

موفق باشید.

آموزش حل مساله:

استقراء ریاضی

موفق باشید.

20 آبان 1389

mofidy1

11-11-2010, 19:27

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] \lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\int_{2010}^{1389}f(nx) dx

موفق باشید.

20 آبان 1389

davy jones

11-11-2010, 22:27

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] infty&space;%7D%5Cint_%7B2010%7D%5E%7B1389%7Df%28nx%29dx

موفق باشید.

20 آبان 1389

واضح است که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5C;&space;%5C;&space;%5Coverset%7Bif%5C;&space;x%5Cneq&space;0%7D%7B%5Cri ghtarrow%7D&space;%5C;&space;%5C;&space;%5Clim_%7Bn&space;%5Cto&space;%5Cinfty&space;% 7Df%28nx%29=1

از طرفی چون انتگرال گیری روی متغیر x انجام میشود، پس مانعی ندارد که ابتدا حد عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را حساب کنیم و سپس از آن بر حسب x انتگرال گیری کنیم. پی در نتیجه داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 2010%7D%5E%7B1389%7Df%28nx%29dx=%5Cint_%7B2010%7D% 5E%7B1389%7D[%5Clim_%7Bn&space;%5Cto&space;%5Cinfty&space;%7Df%28nx%29]dx

و چون بازه ی انتگرال گیری به ما میگوید که x شامل صفر نمیشود، پس حد عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در بازه ی مذکور همواره برابر با یک است. پس داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 2010%7D%5E%7B1389%7Df%28nx%29dx=%5Cint_%7B2010%7D% 5E%7B1389%7D[%5Clim_%7Bn&space;%5Cto&space;%5Cinfty&space;%7Df%28nx%29]dx=%5Cint_%7B2010%7D%5E%7B1389%7Ddx=%7B%5Ccolor%7B red%7D&space;1389-2010=-621%7D

موفق باشین.
89/8/20

lebesgue

13-11-2010, 15:23

از طرفی چون انتگرال گیری روی متغیر x انجام میشود، پس مانعی ندارد که ابتدا حد عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را حساب کنیم و سپس از آن بر حسب x انتگرال گیری کنیم.

davy jones عزیز، ممکنه توضیح بدین چطوری این نتیجه رو گرفتید؟
متشکرم

davy jones

13-11-2010, 15:58

davy jones عزیز، ممکنه توضیح بدین چطوری این نتیجه رو گرفتید؟
متشکرم

سلام. چون انتگرال نسبت به x هستش، n در حکم یه عدد ثابته. پس فرق چندانی نمیکنه که انتگرال رو با وجود عدد ثابت n بر حسب x حساب کنیم و بعد حد n رو اعمال کنیم یا بالعکس.

البته اگه تابع f پیوسته و حقیقی نبود به نظرم شاید بشه برای این نتیجه گیری من مثال نقض پیدا کرد.

به نظر شما نتیجه گیری بنده غلطه؟ ممنون میشم که منو راهنمایی کنین.

موفق باشین.
89/8/22

lebesgue

14-11-2010, 00:54

سلام. چون انتگرال نسبت به x هستش، n در حکم یه عدد ثابته. پس فرق چندانی نمیکنه که انتگرال رو با وجود عدد ثابت n بر حسب x حساب کنیم و بعد حد n رو اعمال کنیم یا بالعکس.

البته اگه تابع f پیوسته و حقیقی نبود به نظرم شاید بشه برای این نتیجه گیری من مثال نقض پیدا کرد.

به نظر شما نتیجه گیری بنده غلطه؟ ممنون میشم که منو راهنمایی کنین.

موفق باشین.
89/8/22

نتیجه گیریتون به نظر من با ذکر یکسری شرایط برای تابع f (که ذکر کردین) به عنوان یک قضیه درسته، اما فکر می کنم اصل مسئله اثبات همین قضیه است.

mir@

14-11-2010, 01:12

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i%3E1

دوست نازنین 1233445566 مسئله را با اقتدار در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])حل فرموده اند

mir@

14-11-2010, 01:18

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=au_n+bu_{n-1},%20n\ge1

آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{n=1}^\infty%20u_n\frac{x^n}{n !} شرط زیر را ارضا می کند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)

lebesgue

20-11-2010, 10:28

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=au_n+bu_{n-1},%20n\ge1

آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{n=1}^\infty%20u_n\frac{x^n}{n !} شرط زیر را ارضا می کند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{-ax}f(-x)

mir@ عزیز، آیا منظور شما این بوده است؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)

mir@

21-11-2010, 01:11

mir@ عزیز، آیا منظور شما این بوده است؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)

ابسولوتلی (!)
اصلاح شد. و مسئله به مدت یک هفته تمدید شد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

متشکرم

ali_hp

22-11-2010, 11:56

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.
سلام،باز هم بابت تاخیر عذر می خوام!امیدوارم دیگه تکرار نشه!
دوست عزیز 1233445566 در اینجا:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
به درستی مساله رو حل کردن.دستشون درد نکنه.

ali_hp

23-11-2010, 18:08

آیا دنباله ای از عددهای به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{n}-\sqrt[3]{m} (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{2} میل کند؟

lebesgue

24-11-2010, 11:41

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] \lim_{n\rightarrow&space;\infty&space;}\int_{2010}^{1389}f(nx) dx

موفق باشید.

20 آبان 1389

با اجازه از دوستان، من با تعریف حد شروع می کنم.
فرض مطرح شده در صورت سوال در مورد حد f، معادل است با:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %20%5C:%20%5C:%20%5Cexists%20M%3E0%5C:%20%5C:%20%5 C:%20%5C:%20%5Cforall%20x%5C:%20%5C:%20(x%3EM%5CRi ghtarrow%20%5Cleft%20|%20f(x)-1%20%5Cright%20|%3C%5Cvarepsilon)%5C:%20%5C:%20%5C :%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%5C:%20%5C:%20%5C:%20 %5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20% 5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%5C:%20%5C:% 20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%2 0%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20 %5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:(1)
میخواهیم نشان دهیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'%20%3E0%5C:%5C :%20%5C:%20%5C:%20%5Cexists%20M'%3E0%5C:%20%5C:%20 %5C:%20%5C:%20%5Cforall%20n%5C:%20%5C:%20(n%3EM'%5 CRightarrow%20%5Cleft%20|%20%5Cint_{2010}^{1389}f( nx)dx+621%20%5Cright%20|%3C%5Cvarepsilon')%5C:%20% 5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5 C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C :%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20(2)

به ازای هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]' انتخاب می کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{%5Cvarepsilon%2 0'}{621}، در نتیحه بنا به (1)، M>0 ای وجود دارد که داشته باشیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x%3EM%5CRigh tarrow%20%5Cleft%20|%20f(x)-1%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621})
انتخاب می کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'=%5Cfrac{M}{1389}، در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n%3EM' )%5CRightarrow%20nx%3EM'x=M%5Cfrac{x}{1389}%5Cxrig htarrow[]{x%3E1389}nx%3EM%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20%5CRightarrow %20%5Cleft%20|%20f(nx)-1%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621}%5C Rightarrow%201-%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621}%3Cf(nx)%3C1+%5Cfrac{% 5Cvarepsilon'}{621}%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20%5CRightar row%20%5Cint_{2010}^{1389}(1+%5Cfrac{%5Cvarepsilon '}{621})dx%3C%5Cint_{2010}^{1389}f(nx)dx%3C%5Cint_ {2010}^{1389}(1-%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621})dx%5C%5C%5C%5C%5C%5C% 20%5CRightarrow%20(1389-2010)(1+%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621})%3C%5Cint_{20 10}^{1389}f(nx)dx%3C(1389-2010)(1-%5Cfrac{%5Cvarepsilon'}{621})%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20 %5CRightarrow%20(-621-%5Cvarepsilon')%3C%5Cint_{2010}^{1389}f(nx)dx%3C(-621+%5Cvarepsilon')%5CRightarrow%20%5Cleft%20|%20% 5Cint_{2010}^{1389}f(nx)dx+621%20%5Cright%20|%3C%5 Cvarepsilon'

پس به ازای هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'%3E0 ، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'%3E0 ای یافتیم که شرط مورد نظر را برقرار کند و در نتیجه (2) برقرار است، یعنی:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow%20%5Cinfty%20}%5C int_{2010}^{1389}f(nx)dx=-621

lebesgue

26-11-2010, 14:51

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=au_n+bu_{n-1},%20n\ge1

آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{n=1}^\infty%20u_n\frac{x^n}{n !} شرط زیر را ارضا می کند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)

معادله دیفرانسیل روبرو را در نظر می گیریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]''-ay'-by=0
فرض کنیم جواب معادله به صورت روبرو باشد:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=0}^{%5Cinf ty%20}v_n%5Cfrac{x^n}{n!}
در نتیجه با مشتق گیری داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'=%5Csum_{n=1}^{%5Cinfty%20 }v_{n}%5Cfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty%20}v_{n+1}%5Cfrac{x^n} {n!}%5C:%20%5C:%20%5C:%20,%5C:%20%5C:%20%5C:%20y'' =%5Csum_{n=2}^{%5Cinfty%20}v_{n}%5Cfrac{x^{n-2}}{(n-2)!}=%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty%20}v_{n+2}%5Cfrac{x^n} {n!}
با قرار دادن در معادله بدست می آید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=0}^{%5Cinfty%20}(v _{n+2}-av_{n+1}-bv_{n})%5Cfrac{x^n}{n!}=0%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5CR ightarrow%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20v_{n+2}=av_{n+1}+ bv_{n}
با فرض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می توان نوشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty% 20}u_n%5Cfrac{x^n}{n!}
در اینصورت می توان تحقیق کرد که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x) و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{ax}f(-x) هر دو در معادله دیفرانسیل مذکور صدق می کنند.
فرض کنیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)=%5Csum_{n=0}^{%5Cinfty%20}w_n%5Cfrac{x^n}{n!}
در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=aw_n+bw_{n-1}
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=u_0%5C%5C%20w _1=g'(0)=u_1%5C%5C%20%5CRightarrow%20w_n=u_n%5CRig htarrow%20g(x)=f(x)

البته سوال اینجاست که فرض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] از کجا آمد؟!:31:

lebesgue

26-11-2010, 15:43

آیا دنباله ای از عددهای به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{n}-\sqrt[3]{m} (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{2} میل کند؟

بله، دنباله روبرو:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{n+%5Cleft%20%5Clfloor%203%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{ 3}}%20%5Cright%20%5Crfloor}-%5Csqrt[3]{n}

بنا به خواص تابع کف می توان نوشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{n+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{3}}-1}-%5Csqrt[3]{n}%5C:%20%5C:%20%5C%3C%3Ca_n%5Cleq%20%5C:%20%5C:% 20%5Csqrt[3]{n+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{3}}}-%5Csqrt[3]{n}

حد طرف راست را محاسبه می کنیم.
برای این منظور از اتحاد روبرو استفاده می شود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{%5Cfrac{1}{3}}-b^{%5Cfrac{1}{3}}=%5Cfrac{a-b}{a^%5Cfrac{2}{3}+a^{%5Cfrac{1}{3}}b^{%5Cfrac{1}{ 3}}+b^{%5Cfrac{2}{3}}}

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow %5Cinfty%20}%5Csqrt[3]{n+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{3}}}-%5Csqrt[3]{n}=%5Clim_{n%5Crightarrow%5Cinfty%20}%5Cfrac{3%5C sqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{3}}}{(n+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac {2}{3}})^%5Cfrac{2}{3}+(n+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2} {3}})^%5Cfrac{1}{3}n^%5Cfrac{1}{3}+n^%5Cfrac{2}{3} }%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=%5Clim_{n%5Crightarrow%5Cin fty%20}%5Cfrac{3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{2}{3}}}{n^%5C frac{2}{3}[(1+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{-1}{3}})^%5Cfrac{2}{3}+(1+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{-1}{3}})^%5Cfrac{1}{3}+1]}%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=3%5Csqrt{2}%5Clim_{n%5Crigh tarrow%5Cinfty%20}%5Cfrac{1}{(1+3%5Csqrt{2}n^{%5Cf rac{-1}{3}})^%5Cfrac{2}{3}+(1+3%5Csqrt{2}n^{%5Cfrac{-1}{3}})^%5Cfrac{1}{3}+1}=3%5Csqrt{2}(%5Cfrac{1}{3} )=%5Csqrt{2}

به طور کاملا مشابه حد سمت چپ نیز محاسبه شده و در نتیجه از قضیه فشردگی نتیجه می شود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow %5Cinfty%20}a_n=%5Csqrt{2}

ali_hp

28-11-2010, 15:50

آیا دنباله ای از عددهای به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] میل کند؟
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که در پست بالا مساله رو خیلی زیبا حل کردن.من یک راه حل دیگه هم میگم:
کافی است ثابت کنیم برای هر t>0 عددی به فرم مورد نظر وجود دارد که فاصله اش از رادیکال دو کمتر از t است.

برای هر k صحیح و نامنفی تعریف کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با توجه به اینکه :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5D%7B%28k+1%29%5E2%7D+%5Csqrt%5B3%5D%7Bk%5E2%7D+% 5Csqrt%5B3%5D%7B%28k+1%29k%7D%7D

به وضوح جملات این دنباله مثبتند و حد این دنباله برابر صفر می شود.
پس N طبیعی وجود دارد که برای k های بزرگتر یا مساوی N جمله k ام دنباله کوچکتر از t شود.
حال بزرگترین R صحیح نامنفی را در نظر بگیرید که

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 3%5D%7BR+1%7D-%5Csqrt%5B3%5D%7BM%7D%3C%5Csqrt%7B2%7D

به وضوح عدد بالا عددی به فرم مورد نظر است که فاصله اش از رادیکال دو کمتر از t است.

ali_hp

28-11-2010, 18:52

فرض کنید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{k=1}^na_k\tan(b_kx)

که در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها اعداد حقیقی مثبت و دو به دو متمایز باشند و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ها نیز اعداد حقیقی دلخواهی باشند.
اگر f در سرتاسر دامنه تعریفش برابر صفر باشد،ثابت کنید همه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ها صفرند.(منظور از دامنه تعریف f بزرگترین زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که f با ضابطه داده شده در آن با معنی ا ست.)

ali_hp

05-12-2010, 12:52

فرض کنید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{k=1}^na_k\tan(b_kx)

که در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها اعداد حقیقی مثبت و دو به دو متمایز باشند و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ها نیز اعداد حقیقی دلخواهی باشند.
اگر f در سرتاسر دامنه تعریفش برابر صفر باشد،ثابت کنید همه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ها صفرند.(منظور از دامنه تعریف f بزرگترین زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که f با ضابطه داده شده در آن با معنی ا ست.)
فرض کنید همه a_i ها صفر نباشند.
در بین همه i هایی که a_i ناصفر است،i ای را درنظر بگیرید که b_i متناظر با آن مینیمم باشد.و آن را k بنامید.حال به سادگی می توان دید که با نزدیک کردن x از پایین به
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\pi}{2b_k}
می توان مقدارf را از هر عدد دلخواهی بیشتر کرد.که تناقض است.

ali_hp

05-12-2010, 16:49

فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 8x%29%7D

lebesgue

10-12-2010, 14:44

فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 8x%29%7D
خیر.
بنا به قضیه اعداد اول داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x%5Crightarrow%20%5C infty%20}%5Cfrac{%5Cpi%20(x)}{x/ln(x)}=1

فرض کنیم دو چند جمله ای P و Q با شرط مورد نظر وجود داشته باشند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{P(x)}{Q(x)}=%5Cfrac{ a_nx^n+...+a_0}{b_mx^m+...+b_0}

در اینصورت خواهیم داشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x%5Crightarrow %20%5Cinfty%20}%5Cfrac{%5Cpi%20(x)}{x/ln(x)}=%5Clim_{x%5Crightarrow%20%5Cinfty%20}%5Cfra c{P(x)/Q(x)}{x/ln(x)}%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=%5Clim_{x%5Crightarrow %20%5Cinfty%20}%5Cfrac{ln(x)P(x)}{xQ(x)}=%5Clim_{x %5Crightarrow%20%5Cinfty%20}%5Cfrac{ln(x)(a_nx^n+a _{n-1}x^{n-1}+...)}{x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...)}%5C%5C%5C%5C%5C%5C%20=%5Clim_{x%5Crightarr ow%20%5Cinfty%20}%5Cfrac{ln(x)x^n(a_n+%5Cfrac{a_{n-1}}{x}+...)}{x^{m+1}(a_m+%5Cfrac{a_{m-1}}{x}+...)}=%5Cfrac{a_n}{a_m}%5Clim_{x%5Crightarr ow%20%5Cinfty%20}%5Cfrac{ln(x)}{x^{m+1-n}}

اگر m+1 ≤ n باشد، حد بالا موجود نیست (به بینهایت میل می کند).
اگر m > n ، با استفاده از قاعده هوپیتال خواهیم داشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x%5Crightarrow%20%5C infty%20}%5Cfrac{ln(x)}{x^{m+1-n}}=%5Clim_{x%5Crightarrow%20%5Cinfty%20}%5Cfrac{1/x}{(m+1-n)x^{m-n}}=%5Clim_{x%5Crightarrow%20%5Cinfty%20}%5Cfrac{1 }{(m+1-n)x^{m+1-n}}=0

که هر دو حالت در تناقض با قضیه اعداد اول می باشد.

mir@

11-12-2010, 05:36

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=au_n+bu_{n-1},%20n\ge1

آنگاه تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{n=1}^\infty%20u_n\frac{x^n}{n !} شرط زیر را ارضا می کند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=-e^{ax}f(-x)

دوست عزیز 1233445566 مسئله را به درستی در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])حل کرده اند باتشکر از ایشان. ضمنا همان طور که تذکر دادند u_0 وجود ندارد و دنباله از u_1 شروع می شود

mir@

11-12-2010, 05:45

نشان دهید که اگر r_1, r_2, r_3 ریشه های چندجمله ای [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^3-2x^2+ax+b رابطه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را ایجاب کنند آنگاه:
1) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1-r_i}.\sqrt{1-r_j}\le%20r_k به ازاء تمام ترکیبات مختلف آنها از 1,2,3
2) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
3) نامساوی شماره 2) بهترین نامساوی ممکن است

ali_hp

12-12-2010, 11:05

فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 8x%29%7D
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که در اینجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
به درستی مساله رو حل کردن.راه حل ایشون بر مبنای سرعت رشد تابع توزیع اعداد اوله،منم یک راه حل میگم که با استفاده از اینه که تابع توزیع اعداد اول در هر بازه ای از اعداد مرکب ثابت می ماند.
حل مساله:
فرض کنید P,Q دو چند جمله ای با شرایط مورد نظر باشند،و فرض کنید که k عددی طبیعی باشد که از درجه هر دو چندجمله ای P , Q اکیدا بزرگتر باشد.
به وضوح همه k عدد زیر مرکب اند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] +1%29%21+k,&space;%28k+1%29%21+k+1

پس داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %29%21+3%29=...=%5Cpi%28%28k+1%29%21+k+1%29=c

پس چند جمله ای P-cQ برای k مقدار متمایز برابر صفر می شود،اما این چند جمله ای از درجه حداکثر k-1 است،پس باید متحد با صفر باشد.بنابر این همواره داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 8x%29%7D=c
که به وضوح نادرست است،زیرا مثلا داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ali_hp

13-12-2010, 11:44

n , b ا عدادی طبیعی هستند،به طوری که برای هر عدد طبیعی k ، عدد طبیعی مثل x وجود دارد که عبارت زیر عددی صحیح شود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x^n-b}{k}

نشان دهید b برابر توان n ام یک عدد طبیعی است.

ali_hp

19-12-2010, 16:21

n , b ا عدادی طبیعی هستند،به طوری که برای هر عدد طبیعی k ، عدد طبیعی مثل x وجود دارد که عبارت زیر عددی صحیح شود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید b برابر توان n ام یک عدد طبیعی است.

k را برابر مربع b بگیرید،پس عدد صحیح m موجود است که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7D
به وضوح دو عدد b و bm+1 نسبت به هم اولند.و حاصل ضرب آنها توان n ام شده است.
از طرفی طبق گزاره ای در نظریه اعداد می دانیم که هرگاه حاصلضرب دو عدد نسبت به هم اول توان n ام کامل باشد،هر یک از دو عدد توان n ام کامل است.
پس هریک از اعداد b و bm+1 توان n ام کامل هستند و حکم ثابت شد.

ali_hp

19-12-2010, 16:30

فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] thbb%7BR%7D تابعی مشتق پذیر باشد به طوریکه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %280%29%3E0&space;,&space;f%5E%7B%5Cprime%7D%281%29%3E0
ثابت کنید مشتق f دست کم در دو نقطه متمایز از بازه باز صفر و یک،صفر می شود.

mir@

01-01-2011, 20:45

نشان دهید که اگر r_1, r_2, r_3 ریشه های چندجمله ای [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^3-2x^2+ax+b رابطه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را ایجاب کنند آنگاه:
1) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1-r_i}.\sqrt{1-r_j}\le%20r_k به ازاء تمام ترکیبات مختلف آنها از 1,2,3
2) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
3) نامساوی شماره 2) بهترین نامساوی ممکن است

1) از آنجا که با توجه به ضرائب چندجمله ای، مجموع ریشه ها 2 است، خواهیم داشت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-r_1)+(1-r_2) که مقادیر داخل پرانتز مثبت است. طبق قضیه میانگین حسابی-هندسی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1-r_1}\sqrt{1-r_2} به همین ترتیب برای سایر ترکیبات ریشه ها هم درست است

2) اگر سه نامساوی حاصل از 1) را ضرب کنیم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1-r_1}\sqrt{1-r_2}%20\\%20r_1\ge%202\sqrt{1-r_3}\sqrt{1-r_2}%20\\r_2\ge%202\sqrt{1-r_1}\sqrt{1-r_3}

خواهیم داشت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-r_1)(1-r_2)(1-r_3)=\\8\big(1-(r_1+r_2+r_3)+(r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1)-(r_1r_2r_3)\big)
با توجه به این نکته که
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] _3r_1=a%20\qquad%20%20-r_1r_2r_3=b

می دانیم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-2+a+b)\Rightarrow%208a+9b\le8

3) با توجه به اینکه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{2}{3} می بینیم که عبارت زیر برقرار است [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

mir@

01-01-2011, 20:58

f10-3

فرض کنید n یک عدد صحیح باشد و d_1, ... , d_k تمام مقسوم علیه های n باشد که شامل خود 1 و n هم می شوند. نشان دهید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{k/2}

hamid silent

02-01-2011, 12:38

جواب مسئله شنبه چهل و ششم با استقرا روی n و استفاده از بسط خیام به جواب میرسه

davy jones

02-01-2011, 12:54

جواب مسئله شنبه چهل و ششم با استقرا روی n و استفاده از بسط خیام به جواب میرسه

راه حل؟؟ این طوری که همه بلدند جواب بدن

موفق باشین.
89/10/12

lebesgue

23-01-2011, 22:21

فرض کنید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] thbb%7BR%7D تابعی مشتق پذیر باشد به طوریکه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %280%29%3E0&space;,&space;f%5E%7B%5Cprime%7D%281%29%3E0
ثابت کنید مشتق f دست کم در دو نقطه متمایز از بازه باز صفر و یک،صفر می شود.

فرض خلف:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0,1):%5C:%20%5C:%20%5 C:%20%5C:%20f(x)%5Cleq%200

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0,1):%5C:%20%5C :%20%5C:%20%5C:%20%5Cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=%5Cfrac{f(x)}{x}%5Cleq%200%5C%5C%5C%5C%20%5CRig htarrow%20f'(0)=f'_+(0)=%5Clim_{x%5Crightarrow%200 ^+}%5Cfrac{f(x)-f(0)}{x-0}%5Cleq%200

که در تناقض با فرض مسئله است، در نتیجه نقطه ای در بازه صفر و یک موجود است که f در آن بزرگتر از صفر باشد.
بطور مشابه می توان نشادن داد نقطه ای در بازه صفر و یک موجود است که f در آن کوچکتر از صفر باشد.
بنا به قضیه مقدار میانی، نقطه ای مانند a در بین این دو موجود است که داشته باشیم f(a)=0 .
از قضیه رول نتیجه می شود نقطه ای میان a و 1 و همچنین نقطه ای میان 0 و a وجود دارد که مشتق f در آن صفر باشد.

lebesgue

24-01-2011, 13:19

f10-3

فرض کنید n یک عدد صحیح باشد و d_1, ... , d_k تمام مقسوم علیه های n باشد که شامل خود 1 و n هم می شوند. نشان دهید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{k/2}

برای هر i ، حاصل [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{120}%20n/d_i عددی طبیعی و در نتیجه یکی از مقسوم علیه ها است، با فرض اینکه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{120}%20d_i ها متمایز هستند، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{120}%20n/d_i هر k مقسوم علیه n را بدست می دهد، در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{120}%20%5C%5C%5Cfrac{n }{d_1}%20%5Cfrac{n}{d_2}%20%5Ccdots%20%5Cfrac{n}{d _k}=d_1d_2%5Ccdots%20d_k%5C%5C%5C%5C%20%5CRightarr ow%20(d_1d_2%5Ccdots%20d_k)^2=n^k%5C%5C%5C%5C%5CRi ghtarrow%20d_1d_2%5Ccdots%20d_k=n^{%5Cfrac{k}{2}}

jalal133

13-06-2013, 08:54

با استفاده از همنهشتی اثبات می کنم.

5555 و 2222 را به پیمانه 7 کاهش می دهیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از طرفی داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حالا 5555 و 2222 را به شکل 3k+r می نویسیم (هر دو را بر سه تقسیم می کنیم - الگوریتم تقسیم -):

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنابراین:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

پس عدد مورد نظر بر 7 بخشپذیر است.

سلام...چرا جواب کامل نشون داده نمیشه....جواب این مساله برای من الان خیلی ضروریه....:n28:

kvhsade

13-06-2013, 11:58

سلام دوست من آن راه حل را دوباره نویسی میکنم امیدوارم مفید باشه

ابتدا 2222و5555 را به پیمانه 7 کاهش میدیم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %20555-5%5Cequiv%204%5C%2C%5C%2C%2C%28mod7%20%29%5C%5C%5C %5C%5CRightarrow%202222%5E%7B5555%7D+5555%5E%7B222 2%7D%5Cequiv3%5E%7B5555%7D+4%5E%7B2222%7D%28mod7%2 9

از طرفی داریم: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 28mod7%29

حال 2222و5555 را باید به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نوشت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5%3D3%281851%29+2بنابراین

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 9%7D%5Ctimes%203%5E%7B2%7D%5Cequiv%20%28-1%29%5E%7B1851%7D%5Ctimes%209%5Cequiv%20-2%28mod7%29%5C%5C%5C%5C4%5E%7B2222%7D%3D4%5E%7B3%2 8740%29%7D%5Ctimes%204%5E%7B2%7D%5Cequiv%20%281%29 %5E%7B740%7D%5Ctimes%2016%5Cequiv%202%28mod7%29

در نتیجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] uiv%20-2+2%5Cequiv%200%28mod7%29

mehdi_7070

13-06-2013, 12:15

سلام...چرا جواب کامل نشون داده نمیشه....جواب این مساله برای من الان خیلی ضروریه....:n28:

آپلود مجدد تصاویر:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

radin8

10-07-2013, 14:37

واقعأ لذت بخش بود.

Ali.Gemsoft

05-11-2013, 19:48

معادلات دیفرانسیل رو کسی میتونه با راه حل کامل برام حل کنه؟؟؟

11 تا مسائله هست ممنون میشم کمکم کنید :n11:

Fusi0n

09-12-2014, 13:02

سلام ببخشید این دامنه تابع حل شو با توضحیات به بنده اماکنش هست بدید
ممنون

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

aminkhan2014

09-12-2014, 13:23

زير راديكال بايد بزرگتر صفر باشه...ريشه هاي معادله زمانيي كه تابع مساوي صفر هست را بدست مياري،كه راديكال2 و -راديكال2 هست
اولي از سمت چپ در جدول تعيين علامت ميشه x هاي بزرگت از راديكال2 و xكوچكتر از -راديكال2
و دومي هم با جدول تعيين علامت ميشه X هاي بين راديكال 2 و -راديكال2

Fusi0n

15-12-2014, 20:05

سلام ببخشید دوباره مزاحم میشم اگر امکانش این دامنه تابع برای من توضیح بدید ممنون
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]