PDA

نسخه کامل مشاهده نسخه کامل : اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم


صفحه ها : 1 [2] 3
eh_mn
11-11-2009, 23:14
براي هر عدد طبيعي n نشان دهيد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{1\times&space;2}+\frac{1}{3\times&space;4}+ \dots+\frac{1}{(2n-1)2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2 n}


ــــــــــــــــــــ
20 / 08 / 88
mir@
14-11-2009, 19:48
حل مسئله شنبه چهاردهم



نشان دهید اگر یک خودرو از حالت سکون به راه افتد و فاصله یک مایل را در 1 دقیقه طی کند و در نهایت بایستد و حداکثر سرعتش 90 مایل بر ساعت باشد، حد اقل در یک نقطه با شتاب تند شونده یا کند شونده 6.6 فوت بر مجذور ثانیه حرکت کرده است.
توجه: یک مایل 5280 فوت است.


فرض کنیم v تابع سرعت ماشین باشد. می دانیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=v(60)=0, v(t)<132, \int_0^{60} v(t)dt=5280
با استفاده از برهان خلف فرض کنیم در هیچ نقطه ای شتاب وسیله مقدار یاد شده نباشد. یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|\tfrac{dv}{dt}|<6.6 بنابراین
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] \in (0,20], v(t)<6.6t \Rightarrow \int_0^{20} v(t)dt < 1320

همچنین روی بازه
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [40,60) ,v(t)<-6.6t+396 \Rightarrow \int_{40}^{60}v(t)dt<1320

نهایتا روی بازه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [20,40) ,v(t)<132 \Rightarrow \int_{20}^{40}v(t)dt<2640

در نتیجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{60} v(t)dt<1320+2640+1320=5280

اما این یک تناقض است زیرا طول مسیر 5280 فوت می باشد. بنابراین فرض خلف صحیح نیست.
mir@
14-11-2009, 22:20
یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
CAnZO
15-11-2009, 05:11
یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.




با سلام.
برآیند مراکز ثقل مخروط و نیمکره باید مرکز کره ای به شعاع r باشه. اگر فرمول ایندو رو درست کش رفته باشم! به این شکل درمیاد :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4}h=\tfrac{3}{8}r

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3}{2}r
ali_hp
15-11-2009, 21:35
تابع زیر را در نظر بگیرید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=(2m-1)([\frac{(2m)!&plus;1}{2m&plus;1}]&plus;[&space;\frac{(2m)!&plus;1}{-2m-1}]&plus;1)&plus;2

نشان دهید این تابع همه اعداد اول را تولید می کند،و فقط هم اعداد اول را تولید می کند.
سطح سوال:همه کسانی که آشنایی خیلی مقدماتی با نظریه اعداد دارند!
توجه: [x] یعنی بزرگنرین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x

لم یک.(قضیه ویلسون و عکس آن):برای p>1 عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](p-1)!&plus;1 بر p بخش پذیر است اگر و فقط اگر p عددی اول باشد.


لم دو.مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][x]&plus;[-x]&plus;1 برای x های صحیح برابر یک است و برای x های غیر صحیح برابر صفر!

حال با استفاده از دو لم بالا مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m) را برای m های مختلف حساب می کنیم:

الف)اگر m چنان باشد که 2m+1 عددی اول باشد:

طبق قضیه ویلسون برای p=2m+1 مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{(2m)!&plus;1}{2m&plus;1} عددی صحیح است.پس طبق لم دو داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=(2m-1)(1)&plus;2=2m&plus;1

که عددی اول است!

ب)اگر m چنان باشد که 2m+1 عددی اول نباشد:

طبق عکس قضیه ویلسون برای p=2m+1 مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{(2m)!&plus;1}{2m&plus;1} عددی صحیح نیست،پس طبق لم دو داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=(2m-1)(0)&plus;2=2

که عددی اول است.
پس در هر دو حالت الف و ب f عددی اول تولید می کند.و از آنجایی که هر m طبیعی یا حالت الف را دارد یا حالت ب، پس f برای هر m عددی اول تولید می کند.

حال باید ثابت کنیم f همه اعداد اول را تولید می کند.
دقت کنید که f(4)=2.

حال فرض کنید p>2 عددی اول و فرد باشد،قرار دهید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{p-1}{2} طبق قسمت الف به سادگی بدست می آید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=p

پس f فقط عدد اول تولید می کند،و همه اعداد اول را نیز تولید می کند!
CppBuilder2006
15-11-2009, 21:53
ali_hp @
فک کنم بخش آخر یه خرده ویرایش بخواد. چون باید ثابت کنید f(m) = p.
ali_hp
15-11-2009, 22:09
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعدادی چند جمله ای هستند،بطوریکه برای هر عدد اول p عدد طبیعی مثل m و حداقل یک i بین یک و k وجود دارد به طوریکه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=p

(یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها همه اعداد اول را تولید می کنند)

نشان دهید درجه حداقل یکی از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها برابر یک است!

راهنمایی:اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دنباله اعداد اول باشد داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{\infty}\frac{1}{q_k}=\infty

سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر(آشنایی با مفهوم حد دنباله ها و سری ها)
eh_mn
18-11-2009, 23:18
براي هر عدد طبيعي n نشان دهيد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{1\times&space;2}&plus;\frac{1}{3\times&space;4}&plus; \dots&plus;\frac{1}{(2n-1)2n}=\frac{1}{n&plus;1}&plus;\frac{1}{n&plus;2}&plus;\dots&plus;\frac{1}{2 n}


ــــــــــــــــــــ
20 / 08 / 88

سلام

فرض كنيم O مجموعه‌ي اعداد فرد و E مجموعه‌ي اعداد زوج از ميان اعداد 1 تا 2n باشند. اگر به طرفين تساوي مورد سوال مقدار
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{n}\frac{1}{k}
را اضافه كنيم به تساوي معادل زير دست مي‌يابيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^n\frac1k&plus;\sum_{k=1}^n\frac{1} {(2k-1)2k}&space;=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}
براي عبارت سمت راست داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{align}\nonumber&space;\sum_{k=1}^n\frac 1k&plus;\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)2k}&space;&&space;=&space;\sum_{k=1}^n\frac1k&plus;\sum_{k=1}^n\frac{1}{2 k-1}-\frac12\sum_{k=1}^n\frac1k&space;\cr&space;&&space;=\sum_{k=1}^n&space;\frac{1}{2k-1}&plus;\sum_{k=1}^n\frac1{2k}&space;\cr&space;&&space;=\sum_{k\in&space;O}\frac1k&plus;\sum_{k\in&space;E}\frac1k&space;\ cr&space;&&space;=&space;\sum_{n=1}^{2n}\frac1k&space;\end{align}

كه درستي حكم مسآله را نشان مي‌دهد.



ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88
eh_mn
18-11-2009, 23:37
فرض كنيد r1 و ... و rn ريشه‌هاي چندجمله‌اي f باشند. حاصل دترمينان زير را بر حسب a و b و f آن دو بيابيد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;r_1&space;&&space;a&space;&&space;a&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;b&space;&&space;r_2&space;&&space;a&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;b&space;&&space;b&space;&&space;r_3&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\\&space;b&space;&&space;b&space;&&space;b&space;&&space;\dots&space;&&space;r_n&space;\end{pmatrix}


ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88
mir@
22-11-2009, 00:08
حل مسئله شنبه پانزدهم


یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



با سلام.
برآیند مراکز ثقل مخروط و نیمکره باید مرکز کره ای به شعاع r باشه. اگر فرمول ایندو رو درست کش رفته باشم! به این شکل درمیاد :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{4}h=\tfrac{3}{8}r

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3}{2}r

همون طور که دوست عزیز فرمودند مرکز ثقل جسم باید مرکز نیم کره باشه. هرچند ظاهرا فرمول درستی رو کش نرفتند متاسفانه :27:
با توجه به شکل زیر، مرکز ثقل جسم باید در مبدأ باشد.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



لذا داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{-r}^0%20\pi(r^2-x^2)xdx+\int_0^h%20\pi%20\frac{h-x}{h}^2r^2xdx=0

پس از ساده کردن:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{-\pi}{4}r^4+\frac{\pi%20r^2h^2}{12}=0%20\\%20\Right arrow%20\frac{h}{r}=\sqrt{3}
mir@
22-11-2009, 00:14
برای چه تعداد عدد طبیعی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^x-x^2 بر 7 بخش پذیر نیست؟ پاسخ خود را بدون استفاده از رایانه توجیه کنید.
ali_hp
22-11-2009, 10:53
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تعدادی چند جمله ای هستند،بطوریکه برای هر عدد اول p عدد طبیعی مثل m و حداقل یک i بین یک و k وجود دارد به طوریکه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)=p

(یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها همه اعداد اول را تولید می کنند)

نشان دهید درجه حداقل یکی از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها برابر یک است!

راهنمایی:اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دنباله اعداد اول باشد داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{\infty}\frac{1}{q_k}=\infty

سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر(آشنایی با مفهوم حد دنباله ها و سری ها)


تعریف کنید :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n|p_i(n)\neq0\}

دقت کنید که داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^{\infty}\frac{1}{q_i}<\sum_{n\in{S_1}}\frac{1}{|p_1(n)|}&plus;\sum_{n\in{S_2} }\frac{1}{|p_2(n)|}&plus;...&plus;\sum_{n\in{S_k}}\frac{1}{| p_k(n)|}

(چون [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها همه اعداد اول را تولید می کنند،پس هر جمله ای که در سمت چپ هست،در سمت راست نیز هست)

حال فرض کنید درجه همه چند جمله ایهای مذکور بزرگتر مساوی دو باشد،به سادگی می توان ثابت کرد که در اینصورت سمت راست نامساوی همگرا و کراندار است!(چگونه؟) بنابر این سمت چپ نیز که سری معکوسات اعداد اول است نیز باید کراندار باشد،اما طبق راهنمایی سوال می دانیم که چنین نیست!
یک نتیجه این مساله این است که تنها چند جمله ایهای درجه یک هستند که می توانند همه اعداد اول را تولید کنند...
ali_hp
22-11-2009, 10:56
نشان دهید عدد طبیعی n اول است،اگر و تنها اگر بر هیچیک از اعداد کمتر مساوی جذرش،بخش پذیر نباشد.
سطح سوال:اول دبیرستان و بالاتر
توجه:این مساله اساس غربال اراتستن برای پیدا کردن اعداد اول است....
mofidy1
26-11-2009, 20:20
با سلام

الف) اعداد طبیعی از 1 تا 10 به توان 10 را در نظر بگیرید. از میان این اعداد، آن هایی که رقم 1 دارند بیش ترند یا آن هایی که رقم 1 ندارند؟

ب) در صورتی که اعداد طبیعی 1 تا 222222222 به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

موفق باشید.

7 آبان 1388


میلاد مولانا علی ابن موسی الرضا - علیه الصلاة و السلام- مبارک باد
هشت هشت هشتاد و هشت

با سلام

الف) دقت کنید تعداد اعدادی که دارای رقم 1 نیستند عبارت است از:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2&plus;\cdots&plus;8\times&space;9 ^{10}=9^{11}-1

بنابر این تعداد اعدادی که حداقل دارای یک رقم 1 هستند، برابر است با


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{10}-9^{11}&plus;1

می توان دید که اولی بزرگ تر است.

ب) راهنمایی: اگر همه ی اعداد n رقمی را در یک سطر بنویسید تعداد صفرها عبارت اند از:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n-1}{1}\cdot&space;9^{n-1}&plus;\binom{n-1}{2}\cdot&space;9^{n-2}&plus;\cdots&plus;\binom{n-1}{n-1}\cdot&space;9

(n حداقل 2 است.)

آموزش حل مساله:

استفاده از اصل ضرب برای حل مسائل ترکیبیاتی

موفق باشید.

5 آذر 1388
mofidy1
26-11-2009, 21:47
با سلام

ثابت کنید اگر a و b و c اعداد صحیح فردی باشند، معادله ی زیر جواب گویا ندارد:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2&plus;bx&plus;c=0

نتیجه بگیرید ریشه ی دوم 5، اصم است.

موفق باشید.

5 آذر 1388
mir@
29-11-2009, 08:12
حل مسئله شنبه شانزدهم

برای چه تعداد عدد طبیعی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عبارت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^x-x^2 بر 7 بخش پذیر نیست؟ پاسخ خود را بدون استفاده از رایانه توجیه کنید.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] n =1 \pmod{7}\Rightarrow 2n =2 \pmod{7} \\ n =2 \pmod{7}\Rightarrow 2n =4 \pmod{7} \\ n =4 \pmod{7}\Rightarrow 2n =1 \pmod{7}

در نتیجه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^n\pmod{7} دوره ای است با دوره تناوب 3

از آنجا که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2=(n+7)^2 \pmod{7} بنابراین [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2\pmod{7} دوره است با تناوب 7

لذا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^n-n^2 \pmod{7} تناوبی است با دوره 21

می توان دبد برای اعداد 1 تا 21، عبارت فوق برای 15 مقدار n بر 7 بخش پذیر نیست. از آنجا که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 21 + 4 و عبارت فوق به ازاء 2 مقدار از 4 مقدار اول n بر 7 بخش پذیر است، لذا به ازاء [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 475\times 15 + 2 = 7142 تعداد عدد صحیح کوچک تر یا مساوی 10000، عبارت بر 7 بخش پذیر نیست.
mir@
29-11-2009, 08:17
مجموعه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3,5,9,29\} دارای این ویژگی است که مجموع هر سه عضو دلخواه از آن عددی اول است. نشان دهید مجموعه ای پنج عضوی شامل اعداد طبیعی متمایز با چنین ویژگی وجود ندارد.
eh_mn
02-12-2009, 21:52
فرض كنيد r1 و ... و rn ريشه‌هاي چندجمله‌اي f باشند. حاصل دترمينان زير را بر حسب a و b و f آن دو بيابيد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;r_1&space;&&space;a&space;&&space;a&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;b&space;&&space;r_2&space;&&space;a&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;b&space;&&space;b&space;&&space;r_3&space;&&space;\dots&space;&&space;a\\&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\\&space;b&space;&&space;b&space;&&space;b&space;&&space;\dots&space;&&space;r_n&space;\end{pmatrix}


ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88

قرار مي‌دهيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=&space;\det&space;\begin{pmatrix}&space;r_1-x&space;&&space;a-x&space;&&space;a-x&space;&&space;\dots&space;&&space;a-x\\&space;b-x&space;&&space;r_2-x&space;&&space;a-x&space;&&space;\dots&space;&&space;a-x\\&space;b-x&space;&&space;b-x&space;&&space;r_3-x&space;&&space;\dots&space;&&space;a-x\\&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\\&space;b-x&space;&&space;b-x&space;&&space;b-x&space;&\dots&space;&&space;r_n-x&space;\end{pmatrix}
با كم كردن ستون اول از همه‌ي ستون‌ها ماتريسي حاصل مي‌شود كه دترمينان با g برابر است. از طرفي ماتريس حاصل فقط در ستون اول x دارد. بنابراين g تابعي خطي بر حسب x است. داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a)=&space;\det&space;\begin{pmatrix}&space;r_1-a&space;&&space;0&space;&&space;\dots&space;&&space;0\\&space;b-a&space;&&space;r_2-a&space;&&space;\dots&space;&&space;0\\&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\\&space;b-a&space;&&space;b-a&space;&&space;\dots&space;&&space;r_n-a&space;\end{pmatrix}=(r_1-a)\dots(r_n-a)=f(a)
و به طور مشابه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](b)=f(b).
بنابراين g خط واصل نقطه‌هاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a,f(a)) و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](b,f(b)) خواهد بود. يعني

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=&space;f(b)&space;&plus;&space;\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)

دترمينان صورت سوال مقدار تابع g در x=0 است كه عددي بر حسب a و b و f آن دو مي‌باشد.


ــــــــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88
eh_mn
02-12-2009, 21:55
تمام جواب‌هاي حقيقي معادله‌ي زير را بيابيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x&plus;y)^2=(x&plus;1)(y-1)


ــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88
mir@
05-12-2009, 22:40
حل مسئله شنبه هفدهم


مجموعه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3,5,9,29\} دارای این ویژگی است که مجموع هر سه عضو دلخواه از آن عددی اول است. نشان دهید مجموعه ای پنج عضوی شامل اعداد طبیعی متمایز با چنین ویژگی وجود ندارد.



فرض کنیم 5 عدد طبیعی با چنین ویژگی وجود دارد و باقیمانده آنها را در تقسیم بر 3 در نظر بگیریم. اگر یک باقیمانده سه بار تکرار شود، در نتیجه مجموع سه عدد متناظر آن باقیمانده ها بر 3 بخش پذیر است. تنها عدد اول بخش پذیر بر 3 خود 3 است که مجموع سه عدد طبیعی متمایز نیست.

بنابراین هیچ باقیمانده ای بیش از 2 بار تکرار نمی شود. اما از آنجا که 5 عدد داریم و سه مقدار ممکن باقیمانده در تقسیم بر 3، هر سه باقیمانده را باید در تقسیم پنج عضو مجموعه بر 3 به دست بیاوریم. اما در این صورت مجموع این سه عدد بر 3 بخش پذیر است ( [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3} ) که این تناقض است و لذا چنین مجموعه ای نداریم.
mir@
05-12-2009, 23:11
اگر p یک چند جمله ای با ضزائب صحیح باشند. اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0) , p(1) مقادیر فرد باشند، نشان دهید که p ریشه صحیح ندارد.
eh_mn
09-12-2009, 22:21
تمام جواب‌هاي حقيقي معادله‌ي زير را بيابيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x&plus;y)^2=(x&plus;1)(y-1)


ــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88

با سلام

تغيير متغير x=ty را در نظر بگيريد. با اين جايگذاري داريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](t^2&plus;t&plus;1)y^2&plus;(t-1)y&plus;1=0

مبين اين معادله‌ي درجه‌ي 2 برحسب y به صورت زير به دست مي‌آيد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](t&plus;1)^2

بنابراين اگر t برابر منهاي 1 نباشد جواب حقيقي براي اين معادله وجود ندارد. و اگر t=-1 آنگاه داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بنا براين تنها جوابهاي حقيقي معادله ، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1,-1)&space;,&space;(-1,1) هستند.

_____________
18 / 09 / 88
eh_mn
09-12-2009, 22:52
براي چه مقدار حقيقي x تساوي زير برقرار است؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}\frac{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{2000}


ــــــــــــــــــــــ
18 / 09 / 88
eh_mn
16-12-2009, 19:11
براي چه مقدار حقيقي x تساوي زير برقرار است؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}\frac{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{2000}


ــــــــــــــــــــــ
18 / 09 / 88

داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^x-(n-1)^x=n^{x-1}&plus;n^{x-2}(n-1)&plus;n^{x-3}(n-1)^{2}&plus;\dots&plus;(n-1)^{x-1}
بنابراين


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{\frac{n^{x-1}}{n^{1999}}&plus;\frac{n^{x-2}(n-1)}{n^{1999}}&space;&plus;\dots&plus;\frac{(n-1)^{x-1}}{n^{1999}}}

اگر x-1>1999 آنگاه حد برابر صفر و اگر x-1<1999 آنگاه حد برابر بينهايت است. بنابراين x-1=1999 و با اين فرض چون حد هر يك از جمله‌هاي مخرج برابر 1 است و تعداد آنها 2000تاست x مورد نظر برابر 2000 خواهد بود.


ـــــــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88
eh_mn
16-12-2009, 19:21
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} دنباله‌اي از اعداد نامنفي باشد:
(الف) نشان دهيد اگر
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty a_n
همگرا باشد آنگاه سري
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty&space;\sqrt{a_na_{n&plus;1}}
همگراست،

(ب) نشان دهيد اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} نزولي باشد عكس قسمت (الف) نيز درست است.



ــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88
eh_mn
23-12-2009, 18:29
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} دنباله‌اي از اعداد نامنفي باشد:
(الف) نشان دهيد اگر
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty a_n
همگرا باشد آنگاه سري
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty&space;\sqrt{a_na_{n&plus;1}}
همگراست،

(ب) نشان دهيد اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} نزولي باشد عكس قسمت (الف) نيز درست است.



ــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88

(الف) با استفاده از نامساوي ميانگين حسابي-ميانگين هندسي داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_na_{n&plus;1}}\leq&space;a_n&plus;a_{n&plus;1}
با استفاده از آزمون مقايسه نتيجه‌ي مطلوب به راحتي به دست مي‌آيد.
(ب) اگر دنباله نزولي باشد آنگاه با توچه به نامنفي بودن a_n داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n&plus;1}\leq&space;\sqrt{a_na_{n&plus;1}}
باز هم آزمون مقايسه نتيجه مي‌دهد كه سري مورد سوال همگراست.


ــــــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88
eh_mn
23-12-2009, 18:33
فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}^n داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T(C&plus;C^T)x=0 نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T=0




ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88
ramTn
28-12-2009, 00:49
فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]




ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یک ماتریس متقارن است.

اگه برای ماتریس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] فرض مسئله برقرار باشه، برای ماتریس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که از حذف سطر و ستون آخر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست می آید هم فرض مسئله بر قراره (کافیه درایه ی آخر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو صفر فرض کنید)

همچنین اگه برای ماتریس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] فرض مسئله برقرار باشه، برای ماتریس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که از حذف سطر و ستون اول [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بدست می آید هم فرض مسئله بر قراره (کافیه درایه ی اول [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو صفر فرض کنید)

حالا اگر بر روی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] استقرا بزنیم، بنا به فرض استقرا همه ی درایه های [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] صفر خواهند بود و دو درایه ی گوشه ای [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] که عضو این دو ماتریس نیستند هم به وضوح صفر خواهند بود.
mofidy1
31-12-2009, 19:24
با سلام

ثابت کنید اگر a و b و c اعداد صحیح فردی باشند، معادله ی زیر جواب گویا ندارد:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2&plus;bx&plus;c=0

نتیجه بگیرید ریشه ی دوم 5، اصم است.

موفق باشید.

5 آذر 1388

با سلام و عرض پوزش بسیار به علت تاخیر زیاد در ارسال مسائل.

مشخص است که ریشه های این معادله فقط وقتی گویا هستند که دلتای آن مربع کامل باشد. بنابر این با فرض این که ضرایب همگی فرد هستند، باید داشته باشیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2-4ac=(2n+1)^2

می توان دید که


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2-1=4(n(n+1)+ac)

اما طرف چپ بر 8 بخش پذیر است و طرف راست نیست، که این تناقض است.


برای حل قسمت آخر، کافی است، معادله ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2-5=0 و ریشه های آن را در نظر بگیریم.



آموزش حل مساله:

اثبات به برهان خلف


موفق باشید.

10 دی ماه 1388
mofidy1
31-12-2009, 19:37
با سلام

انتگرال معین زیر را محاسبه کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan\, x)^{\sqrt{2}}}

موفق باشید

10 دی ماه 1388
dr rezayi
01-01-2010, 15:51
با سلام

انتگرال معین زیر را محاسبه کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan\, x)^{\sqrt{2}}}

موفق باشید

10 دی ماه 1388

سلام . با توجه به اینکه انتگرال قابل محاسبه نمی باشد و حد تابع در صفر برابر یک و در پی دوم منفی برابر صفر هست و تابع اکیدا نزولی و قابل تقریب با تابع ثابت است . با روش تقریب سازی جواب پی چهارم بدست خواهد آمد .
mir@
03-01-2010, 07:59
حل مسئله شنبه هجدهم


اگر p یک چند جمله ای با ضزائب صحیح باشند. اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0) , p(1) مقادیر فرد باشند، نشان دهید که p ریشه صحیح ندارد.

فرض کنیم a ریشه صحیح چند جمله ای باشد یعنی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a)=0 اگر همه چیز را به پیمانه 2 حساب کنیم داریم یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1)=0 \pmod{ 2} و یا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=0\pmod{ 2} اما طبق فرض داریم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1)=P(0)=1 \pmod {2} این یک تناقض است
mir@
03-01-2010, 08:36
نشان دهید که اگر m و n دو عدد طبیعی باشند مینیمم مقادیر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][n]{m} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][m]{n} از عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{3} بزرگتر نیست.
f11
eh_mn
06-01-2010, 16:39
فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}^n داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T(C&plus;C^T)x=0 نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T=0




ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

ضمن تشكر از ramTn كه اين مسأله رو در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
با استقرا حل كردند راه ديگري را بيان مي‌كنم.
فرض كنيم A يك ماتريس با درايه‌هاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{ij} باشد. فرض كنيم ek نشان دهنده‌ي برداري است كه درايه‌ي kام آن يك و بقيه صفرند. در اين صورت به راحتي مي‌توان نشان داد كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T_iAe_j=a_{ij}

ماتريس A را همان طور كه ramTn بيان كردند به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^T تعريف مي‌كنيم. اين ماتريس متقارن است. قرار مي‌دهيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنا به فرض داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{e_i^TAe_i}\limits_{0}&space;&plus;&space;e_i^ TAe_j&space;&plus;&space;e_j^TAe_i&space;&plus;&space;\underbrace{e_j^TAe_j}\limits_ {0}&space;=0
يعني [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{ji}&space;&plus;&space;a_{ij}&space;=&space;0 و چون A متقارن است، اين نتيجه مي‌دهد كه A=0.

ــــــــــــــــــــ
14 / 10 / 88
eh_mn
06-01-2010, 17:50
آرايه‌ي n در n از اعداد مثبت را به صورت زير در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{array}{cccc}&space;a_{11}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{1,n-1}&space;&&space;a_{1n}&space;\cr&space;a_{21}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{2,n-1}&space;&&space;a_{2n}&space;\cr&space;\vdots&space;&&space;&&space;&&space;\vdots&space;\cr&space;a_{n1}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{n,n-1}&space;&&space;a_{nn}&space;\cr&space;\end{array}
فرض كنيد mj نشان دهنده‌ي كوچكترين عدد در ستون j-ام و m بزرگترين عدد ميان mjها باشد. همچنين فرض كنيد Mj نشان دهنده‌ي بزرگترين عدد در سطر j-ام و M كوچكترين عدد ميان Mjها باشد.
نشان دهيد m از M بيشتر نيست!




ـــــــــــــــــــــــ
16 / 10 / 88
mir@
10-01-2010, 09:27
حل مسئله شنبه نوزدهم


نشان دهید که اگر m و n دو عدد طبیعی باشند مینیمم مقادیر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][n]{m} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][m]{n} از عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][3]{3} بزرگتر نیست.
f11

فرض کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] n بنابراین [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{m}\ge \frac{1}{n}>0 و لذا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{1}{m}} \ge m^{\frac{1}{n}}

بنابراین مقدار مینیمم دو عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{1}{m}} , m^{\frac{1}{n}} از ماکزیمم دو عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{1}{m}} \ge n^{\frac{1}{n}} بزرگتر نیست.

حال باید ثابت کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m\in \mathbb{N}}m^{\frac{1}{m}}=\sqrt[3]{3}

تابع زیر را در نظر می گیریم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^\frac{1}{x}, x>0

مشتق آن عبارتست از


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]'(x)=x^\frac{1}{x}\frac{1-\ln{x}}{x^2}


بنابراین تابع برای مقادیر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>e نزولی است. بنابراین [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{1/m} برای مقادیر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>3 کاهش می یابد. ضمنا می دانیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][1]{1}<\sqrt[2]{2}<\sqrt[3]{3} و لذا نتیجتاً


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m\in \mathbb{N}}m^{\frac{1}{m}}=\sqrt[3]{3}
mir@
10-01-2010, 09:37
فرض کنید که مربع واحد با دو خط عمود بر هم که با اضلاع مربع موازی هستند به 4 قسمت تقسیم شده است. نشان دهید که حداقل دو قسمت از این چهار قسمت مساحتشان از ¼ بزرگتر نیست. f9
eh_mn
13-01-2010, 22:28
آرايه‌ي n در n از اعداد مثبت را به صورت زير در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{array}{cccc}&space;a_{11}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{1,n-1}&space;&&space;a_{1n}&space;\cr&space;a_{21}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{2,n-1}&space;&&space;a_{2n}&space;\cr&space;\vdots&space;&&space;&&space;&&space;\vdots&space;\cr&space;a_{n1}&space;&&space;\dots&space;&&space;a_{n,n-1}&space;&&space;a_{nn}&space;\cr&space;\end{array}
فرض كنيد mj نشان دهنده‌ي كوچكترين عدد در ستون j-ام و m بزرگترين عدد ميان mjها باشد. همچنين فرض كنيد Mj نشان دهنده‌ي بزرگترين عدد در سطر j-ام و M كوچكترين عدد ميان Mjها باشد.
نشان دهيد m از M بيشتر نيست!




ـــــــــــــــــــــــ
16 / 10 / 88

فرض كنيم r و s دو انديس دلخواه باشند. در اين صورت داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1\leq&space;i\leq&space;n}m_{ir}&space;\leq&space;m_ {sr}&space;\leq&space;\max_{1\leq&space;j\leq&space;n}&space;m_{sj}=M_s

از طرفي m يكي از mjها و M هم يكي از Mjهاست بنابراين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] \leq M.


ــــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88
eh_mn
13-01-2010, 22:35
فرض كنيم تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\to\mathbb{N} در شرايط زير صدق مي‌كند
(الف) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2)=2،
(ب) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](mn)=f(m)f(n)،
(پ) اگر m>n آنگاه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)>f(n).
نشان دهيد براي هر n،

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)=n



ــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88
chessmathter
15-01-2010, 16:43
فرض كنيم تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در شرايط زير صدق مي‌كند
(الف) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]،
(ب) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]،
(پ) اگر m>n آنگاه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نشان دهيد براي هر n،

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88

با استقرا حل میکنیم
خب اول به جای m وn یک میزاریم نتیجه میده که: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
از طرفی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
فرض کنین واسه همه اعداد کوچکتر از p [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خب p یا اول یا مرکب اگه p مرکب باشه داریم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5Ctext%7B&space;%7D%7D&space;%5CRightarrow&space;%7B%5Ctext%7B&space;%7D%7 Df%28p%29&space;=&space;f%28m.n%29&space;=&space;f%28m%29.f%28n%29&space;=&space;m.n&space;= &space;p


اگه p اول بود داربم p+1 , p نسبت به هم اولند پس

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7B%5Ctext%7B&space;%7D%7D&space;%5CRightarrow&space;%7B%5Ctext%7B&space;% 7D%7Df%28p&space;&plus;&space;1%29&space;=&space;f%28m.n%29&space;=&space;f%28m%29.f%28n%29 &space;=&space;m.n&space;=&space;p&space;&plus;&space;1


از طرفی چون تابع اکید صعودی هست و

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 5C%5C&space;p&space;-&space;1&space;%3C&space;p&space;%3C&space;p&space;&plus;&space;1&space;%5CRightarrow&space;f%28p&space;-&space;1%29&space;%3C&space;f%28p%29&space;%3C&space;f%28p&space;&plus;&space;1%29&space;%5Chfill&space;%5C%5 C&space;p&space;-&space;1&space;%3C&space;f%28p%29&space;%3C&space;p&space;&plus;&space;1&space;%5CRightarrow&space;f%28p%29&space;= &space;p&space;%5Chfill&space;%5C%5C&space;%5Cend%7Bgathered%7D

پس حکم ثابت شد:20:
eh_mn
20-01-2010, 22:55
فرض كنيم تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\to\mathbb{N} در شرايط زير صدق مي‌كند
(الف) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2)=2،
(ب) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](mn)=f(m)f(n)،
(پ) اگر m>n آنگاه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m)>f(n).
نشان دهيد براي هر n،

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)=n



ــــــــــــــــــــــ
23 / 10 / 88

chessmathter عزيز در

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
اين مسأله رو با استفاده از استقراي قوي به زيبايي حل كردند. با تشكر از ايشان.


ـــــــــــــــــــــــ
30 / 10 / 88
eh_mn
20-01-2010, 23:04
قرار دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=(1&plus;x)^{1000}&plus;x(1&plus;x)^{999}&plus;x^2(1&plus;x)^ {998}&plus;\dots&plus;x^{1000}
(الف) ضريب [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{50} را در P بيابيد.
(ب) مجموع تمام ضرايب اين چندجمله‌اي را به دست آوريد؟

ــــــــــــــــــــ
30 / 10 / 88
davy jones
21-01-2010, 17:33
قرار دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 29%5E%7B999%7D&plus;x%5E2%281&plus;x%29%5E%7B998%7D&plus;%5Cdots&plus; x%5E%7B1000%7D
(الف) ضريب [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را در P بيابيد.
(ب) مجموع تمام ضرايب اين چندجمله‌اي را به دست آوريد؟

ــــــــــــــــــــ
30 / 10 / 88

الف : از جمله x^51*(1+x)^949 به بعد هیچگاه جمله x^50 تولید نمیشود. پس ضریب این جمله در پرانتزهای قبل محاسبه میشود:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ب : مجموع تمام ضرابی این چند جمله ای یعنی هنگامی که به جای x عدد یک گذاشته شود:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
mofidy1
21-01-2010, 19:32
با سلام

انتگرال معین زیر را محاسبه کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan\, x)^{\sqrt{2}}}

موفق باشید

10 دی ماه 1388

با سلام

از dr rezayi که در پست 281 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])با استفاده از آنالیز عددی مساله را به طور خلاصه حل کردند، متشکرم. راه حل دیگر این است که ثابت کنیم تابع زیر انتگرال در فاصله ی داده شده، نسبت به نقطه ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](&space;\frac{\pi}{4}&space;,\frac{1}{2}\right &space;) متقارن است. با این کار به مستطیلی با مساحت پی دوم می رسیم که نصف آن، جواب مساله است.


آموزش حل مساله:

حل مساله به وسیله ی تقارن نهفته در آن.

موفق باشید.

1 بهمن ماه 1388
mofidy1
21-01-2010, 19:55
با سلام

می دانیم که برای دو عدد نامنفی x و y، داریم (نامساوی حسابی - هندسی):


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x&plus;y}{2}\geq&space;\sqrt{xy}

سعی کنید که این نامساوی را به وسیله ی شکل های هندسی و از دو راه متفاوت، «ثابت کنید».

موفق باشید.

1 بهمن 1388
chessmathter
23-01-2010, 22:55
با سلام

می دانیم که برای دو عدد نامنفی x و y، داریم (نامساوی حسابی - هندسی):


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] xy%7D

سعی کنید که این نامساوی را به وسیله ی شکل های هندسی و از دو راه متفاوت، «ثابت کنید».

موفق باشید.

1 بهمن 1388
خب نیازی به توضیح نیست اولی یعنی اینکه مساخحت هر 4 مستطیل از مربع کمتر هست مگه اینکه طول و عرضش برابر باشه
دوم اینکه ارتفاع مثلث قائم کو چکتر مساوی شعاع است و واسطه هندسی x , y که از تشابه بدست میاد
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
mofidy1
28-01-2010, 17:54
با سلام

می دانیم که برای دو عدد نامنفی x و y، داریم (نامساوی حسابی - هندسی):


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x&plus;y}{2}\geq&space;\sqrt{xy}

سعی کنید که این نامساوی را به وسیله ی شکل های هندسی و از دو راه متفاوت، «ثابت کنید».

موفق باشید.

1 بهمن 1388

با سلام

از chessmathter برای حل مساله در پست 296 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) تشکر می کنم. راه حل سومی نیز وجود دارد که در شکل زیر مشاهده می فرمایید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


منبع: اثبات بدون کلام، تالیف نلسن ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]=onepage&q=proof%20without%20words&f=false)

این کتاب به فارسی ترجمه شده است.

آموزش حل مساله:

اثبات بدون کلام

موفق باشید.

8 بهمن 1388
mofidy1
28-01-2010, 19:17
با سلام

ده نفر برای خریدن کتاب راهی کتاب فروشی شدند. هر یک از آن ها سه کتاب مختلف و هر دو تا از آن ها دست کم یک کتاب مثل هم خریده اند. کتابی را در نظر بگیرید که تعداد بیشتری از این ده نفر آن را خریده اند. کمترین مقدار این بیشترین تعداد، چه قدر است؟!!

راهنمایی: از اصل لانه ی کبوتری استفاده کنید.

موفق باشید.

8 بهمن 1388
davy jones
30-01-2010, 09:57
با سلام

ده نفر برای خریدن کتاب راهی کتاب فروشی شدند. هر یک از آن ها سه کتاب مختلف و هر دو تا از آن ها دست کم یک کتاب مثل هم خریده اند. کتابی را در نظر بگیرید که تعداد بیشتری از این ده نفر آن را خریده اند. کمترین مقدار این بیشترین تعداد، چه قدر است؟!!

راهنمایی: از اصل لانه ی کبوتری استفاده کنید.

موفق باشید.

8 بهمن 1388

این مساله معادل این است که بگوییم جمع سه عدد صحیح برابر 10 شده است. حالتی را پیدا کنید که هر سه ی این اعداد در بیشترین حالت خود باشند. واضح است که جواب 3+3+4 خواهد بود و جواب مساله اول هم برابر با 4 است.
eh_mn
03-02-2010, 23:26
قرار دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=(1&plus;x)^{1000}&plus;x(1&plus;x)^{999}&plus;x^2(1&plus;x)^ {998}&plus;\dots&plus;x^{1000}
(الف) ضريب [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{50} را در P بيابيد.
(ب) مجموع تمام ضرايب اين چندجمله‌اي را به دست آوريد؟

ــــــــــــــــــــ
30 / 10 / 88

از دوستان عزيز به خاطر تاخير يك هفته‌اي در ارسال جواب عذرخواهي مي‌كنم.

با تشكر از davy jones كه در

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
مسأله رو حل كردند.

ــــــــــــــــــــــــ
14 / 11 / 88
eh_mn
03-02-2010, 23:35
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اعداد حقيقي متمايزي باشند. چندجمله‌اي هاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به صورت زير تعريف مي‌كنيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\prod_{j\neq&space;k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j},~~~~x\in\mathbb{R}
نشان دهيد براي هر x حقيقي داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^np_k(x)=1



ــــــــــــــــــــ
14 بهمن 1388
mir@
07-02-2010, 10:02
حل مسئله شنبه بیستم


فرض کنید که مربع واحد با دو خط عمود بر هم که با اضلاع مربع موازی هستند به 4 قسمت تقسیم شده است. نشان دهید که حداقل دو قسمت از این چهار قسمت مساحتشان از ¼ بزرگتر نیست. f9

فرض کنیم رئوس مربع روی (1و1) (0و1) (1و0) و (0و0) قرارگرفته باشد و خطوط تقسیم کننده عبارتند از x=a , y=b و بدون از دست دادن کلیت حل [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 1/2, b\le1/2, a\le b

مساحت گوشه پایین سمت چپ عبارتست از ab که حتما از ¼ بزرگتر نیست
مساحت گوشه بالا سمت چپ هم برایر است با a-ab که کوچکتر است از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2\le\tfrac{1}{4}, a\in [0,1/4]

بنابراین حکم ثابت می شود
mir@
07-02-2010, 10:10
.
فرض کنید سه نقطه به تصادف روی محیط دایره واحد (دایره ای به شعاع یک) انتخاب می شود. با چه احتمالی مرکز این دایره داخل مثلثی است که رئوسش سه نقطه مزبور هستند؟ f7
mofidy1
11-02-2010, 17:31
با سلام

ده نفر برای خریدن کتاب راهی کتاب فروشی شدند. هر یک از آن ها سه کتاب مختلف و هر دو تا از آن ها دست کم یک کتاب مثل هم خریده اند. کتابی را در نظر بگیرید که تعداد بیشتری از این ده نفر آن را خریده اند. کمترین مقدار این بیشترین تعداد، چه قدر است؟!!

راهنمایی: از اصل لانه ی کبوتری استفاده کنید.

موفق باشید.

8 بهمن 1388

با سلام

از davy jones برای حل مساله تشکر می کنم. به حل دقیق تر مساله می پردازیم:

فرض کنید 7 کتاب مختلف خریده شده باشد. کتاب ها را از 1 تا 7 شماره گذاری کنید. این 10 نفر ممکن است کتاب های زیر را خریده باشند:

1و2و3
1و4و5
1و6و7
2و4و6
2و5و7
3و4و7
3و5و6

بنابر شکل زیر هر دو نفر حداقل یک کتاب مانند هم خریده اند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

هر کتاب را حداکثر 5 نفر خریده اند. فرض کنید A یکی از این 10 نفر باشد. هر یک از نه نفر دیگر، دست کم یک کتاب مثل سه کتاب A خریده است. در نتیجه بناب اصل لانه ی کبوتری، دست کم یک کتاب را حداقل سه نفر دیگر به جز A خریده اند.

بنابر این کمترین مقدار مورد نظر حداقل 4 است. اگر این مقدار برابر 4 باشد، بنابر تقارن، هر کتاب را دقیقاً 4 نفر خریده اند. اما کلاً 30 کتاب فروخته شده است و چون 30 بر 4 بخش پذیر نیست، کمترین مقدار مورد نظر 5 است.


آموزش حل مساله:

حل مساله به وسیله ی اصل لانه ی کبوتری.

موفق باشید.

22 بهمن 1388
mofidy1
11-02-2010, 17:49
با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388
dr rezayi
11-02-2010, 23:42
با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
eh_mn
17-02-2010, 21:09
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اعداد حقيقي متمايزي باشند. چندجمله‌اي هاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به صورت زير تعريف مي‌كنيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\prod_{j\neq&space;k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j},~~~~x\in\mathbb{R}
نشان دهيد براي هر x حقيقي داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^np_k(x)=1



ــــــــــــــــــــ
14 بهمن 1388

به چندجمله‌اي‌هايي كه به صورت فوق تعريف مي‌شوند، چندجمله‌اي لاگرانژ گفته مي‌شود. به راحتي ملاحظه مي‌شود كه اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] j آنگاه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x_j)=0.
فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، اعداد حقيقي باشند. به چندجمله‌اي‌
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{k=1}^{n}y_kp_k(x)
چندجمله‌اي درونياب لاگرانژ مقادير yi در نقاط xi گفته مي‌شود. علت اين نامگذاري اين است كه مقدار L در نقطه‌ي xi برابر yi خواهد شد.

همه‌ي yi ها را مساوي هم و برابر با يك قرار دهيد. در اين صورت داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x)
از طرفي چندجمله‌اي L در دونقطه با چندجمله‌اي درجه صفر 1 برابر است. در نتيجه L=1. بنابراين

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^{n}p_i(x)=1

در اينجا از قضيه‌ي اساسي جبر استفاده شده است:

قضيه: هر چندجمله‌اي درجه‌ي n غيرثابت داراي n ريشه است.
نتيجه: فرض كنيم p و q دوچندجمله‌اي از درجه‌ي حداكثر n باشند. اگر p و q در n+1 نقطه با هم مساوي باشند آنگاه p=q.


ـــــــــــــــــــ
28 بهمن 1388
eh_mn
17-02-2010, 21:30
ماتريس n-1 در n-1 زير را در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;3&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;4&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;5&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;6&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;n&plus;1&space;\cr&space;\end{pmatrix}

فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دترمينان A باشد. آيا دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{D_n/n!\} كراندار است؟ (آيا با ديدن n ياد استقرا مي‌افتيد؟(!))



ــــــــــــــــــــــــ
28 بهمن 1388
mofidy1
18-02-2010, 22:57
با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388

با سلام

از dr rezayi برای حل مساله در پست 306 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) تشکر می کنم. البته می توانستیم همبن نتیجه را با توجه به این که طرفین معادله، توابعی اکیداً صعودی هستند، با استفاده از قضیه ی مقدار میانی، نیز به دست آوریم.



آموزش حل مساله:

حل معادله بدون حل آن!!! با تحلیل اجزاء آن


موفق باشید.

29 بهمن 1388
mofidy1
18-02-2010, 23:15
با سلام

ثابت کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{x}{2})+cos(x)<\frac{\pi-x}{2}\;\;\;\;(0<x<\pi)

موفق باشید.

29 بهمن 1388
davy jones
19-02-2010, 14:14
با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] x+20%29%5Ccdot%20tan%28x+30%29%5C;%5C;%5C;%5C;%280 %3Cx%3C60%29

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388


با سلام

ثابت کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 9%3C%5Cfrac%7B%5Cpi-x%7D%7B2%7D%5C;%5C;%5C;%5C;%280%3Cx%3C%5Cpi%29

موفق باشید.

29 بهمن 1388

جناب آقای مفیدی!

فرمولهایی که شما مینویسید برای من قابل مشاهده نیستند.:41:
مشکل از منه یا شما؟
dr rezayi
19-02-2010, 17:45
با سلام

ثابت کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{x}{2})+cos(x)<\frac{\pi-x}{2}\;\;\;\;(0<x<\pi)

موفق باشید.

29 بهمن 1388


با سلام

از dr rezayi برای حل مساله در پست 306 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) تشکر می کنم. البته می توانستیم همبن نتیجه را با توجه به این که طرفین معادله، توابعی اکیداً صعودی هستند، با استفاده از قضیه ی مقدار میانی، نیز به دست آوریم.



آموزش حل مساله:

حل معادله بدون حل آن!!! با تحلیل اجزاء آن


موفق باشید.

29 بهمن 1388

سلام . استاد اگه ممکنه بیشتر در مورد حل مسئله توضیح بفرمایید .

شکل این دو تابع به صورت زیر هستند :

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])

حالا با توجه به اینکه یکی از توابع تابع دیگر رو در دو نقطه قطع می کنه چطور میشه از قضیه مقدار میانگین استفاده کرد . ممنون می شم راهنمایی بفرمایید .

ضمنا من هم سوال این هفتتون رو ندیدم .
mofidy1
20-02-2010, 19:53
جناب آقای مفیدی!

فرمولهایی که شما مینویسید برای من قابل مشاهده نیستند.:41:
مشکل از منه یا شما؟

با سلام و تشکر

برای بنده قابل مشاهده اند. ممکن است مشکل از سرعت اینترنتتان باشد.

موفق باشید.

1 اسفند 1388
dr rezayi
21-02-2010, 23:42
با سلام و تشکر

برای بنده قابل مشاهده اند. ممکن است مشکل از سرعت اینترنتتان باشد.

موفق باشید.

1 اسفند 1388

استاد با اینکه من از adsl یک مگا استفاده می کنم ولی باز هم نمی تونم سوال رو ببینم اگر ممکنه به شیوه ای دیگر سوال رو مرقوم بفرمایید.
Marichka
21-02-2010, 23:55
سلام

دوستان عکسها برای بنده هم قابل مشاهده هستن!

این سایت احیانا برای شما مسدود نشده: [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

چون عکسها مربوط به اونجا هستن همگی.

اگر مشکل ادامه دار بود ctrl+f5 رو امتحان کنید یا کش مرورگر رو پاک کنید.

موفق باشید
mofidy1
22-02-2010, 06:27
استاد با اینکه من از adsl یک مگا استفاده می کنم ولی باز هم نمی تونم سوال رو ببینم اگر ممکنه به شیوه ای دیگر سوال رو مرقوم بفرمایید.

با سلام

آیا عبارت زیر را مشاهده می کنید؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{x}{2})+cos(x)<\frac{\pi-x}{2}\;\;\;\;(0<x<\pi)

3 اسفند 1388
davy jones
22-02-2010, 09:20
با سلام

آیا عبارت زیر را مشاهده می کنید؟

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %29%3C%5Cfrac%7B%5Cpi-x%7D%7B2%7D%5C;%5C;%5C;%5C;%280%3Cx%3C%5Cpi%29

3 اسفند 1388

آقای مفیدی! درست شد!:26:
فرمولهایی که تو پستهای قبلی هم نوشته بودید قابل مشاهده است.:14:
ممنون:31:
mofidy1
25-02-2010, 21:30
با سلام

ثابت کنید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{x}{2})+cos(x)<\frac{\pi-x}{2}\;\;\;\;(0<x<\pi)

موفق باشید.

29 بهمن 1388

با سلام

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{x}{2})+cos(x)=2sin(\frac{\pi-x}{4})cos(\frac{3x-\pi}{4})<2sin(\frac{\pi-x}{4})<\frac{\pi-x}{2}


آموزش حل مساله:

تبدیل جمع به ضرب در عبارات مثلثاتی و مقایسه ی نسبت مثلثاتی با کمان آن.


موفق باشید.

6 اسفند 1388
mofidy1
25-02-2010, 22:03
با سلام

فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی مختلط هم مرتبه و رتبه ی AB-BA یک باشد. ثابت کنید توان دوم ماتریس AB-BA صفر است.

راهنمایی:

از مقادیر ویژه ی ماتریس AB-BA و فرم کانونی ژردن آن استفاده کنید.


موفق باشید.

6 اسفند 1388
mir@
27-02-2010, 22:27
حل مسئله شنبه بیست و یکم


.
فرض کنید سه نقطه به تصادف روی محیط دایره واحد (دایره ای به شعاع یک) انتخاب می شود. با چه احتمالی مرکز این دایره داخل مثلثی است که رئوسش سه نقطه مزبور هستند؟ f7

مرکز دایره در داخل مثلث خواهد بود اگر سه نقطه در یک نیم دایره قرار نگیرند. بنابراین در شکل زیر، C باید داخل ناحیه آبی قرار گیرد. بنابر این احتمال برابر است با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{\pi}\int_0^\pi%20\frac{\theta }{2\pi}d\theta=\frac{1}{4}
mir@
27-02-2010, 22:35
.
سه میله کاملا یکسان داریم. یک قسمت را با طول تصادفی از هریک از میله ها جدا می کنیم. با چه احتمالی با سه قسمت جدا شده می توان یک مثلث با زوایای حاده (تند) ساخت؟ f6
davy jones
27-02-2010, 22:54
حل مسئله شنبه بیست و یکم



مرکز دایره در داخل مثلث خواهد بود اگر سه نقطه در یک نیم دایره قرار نگیرند. بنابراین در شکل زیر، C باید داخل ناحیه آبی قرار گیرد. بنابر این احتمال برابر است با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Cpi%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%7Dd%5Ctheta=% 5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D


شکلش کو؟ اینی که شما نوشتین فقط فرموله.
mir@
02-03-2010, 17:26
شکلش کو؟ اینی که شما نوشتین فقط فرموله.

من شکل رو هم می بینم. اینم آدرسشه:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
dampayi
02-03-2010, 21:07
من شکل رو هم می بینم. اینم آدرسشه:
چون شما داری از ف یلتر شکن استفاده می کنی :دی
eh_mn
03-03-2010, 11:12
ماتريس n-1 در n-1 زير را در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;3&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;4&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;5&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;6&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;n&plus;1&space;\cr&space;\end{pmatrix}

فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] دترمينان A باشد. آيا دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{D_n/n!\} كراندار است؟ (آيا با ديدن n ياد استقرا مي‌افتيد؟(!))



ــــــــــــــــــــــــ
28 بهمن 1388


مي‌دانيم كه با كم كردن ضريبي از يك سطر از سطر ديگر مقدار دترمينان تغييري نمي‌كند.

با توجه به اين موضوع ابتدا دترمينان ماتريس زير را در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;3&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;4&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;5&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;6&space;&&space;\dots&space;&&space;1&space;\cr&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\vdots&space;&&space;\ddots&space;&&space;\vdots&space;\cr&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;1&space;&&space;\dots&space;&&space;1\end{pmatrix}
در واقع ماتريس S همان ماتريس A است فقط به جاي درايه‌ي n-1 و n-1 آن (كه در حال حاضر n+1 است) مقدار 1 را قرار دهيد.
براي يافتن دترمينان اين ماتريس سطر ماقبل آخر را از سطر آخر كم مي‌كنيم. مقدار دترمينان تغيير نمي‌كند ولي ماتريس به صورت زير تبديل مي‌شود

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;3&1&\dots&1&1\cr&space;1&4&\dots&1&1\cr&space;\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr&space;1&1&\dots&n&1\cr&space;0&0&\dots&1-n&0\cr&space;\end{pmatrix}
فرض كنيم مقدار دترمينان اين ماتريس برابر sn باشد. در اين صورت با بسط دترمينان حول سطر آخر به راحتي ملاحظه مي‌شود كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)s_{n-1},\;\;&space;n\geq3\\&space;s_2=1
لذا
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)!

حال به سراغ دترمينان ماتريس مورد نظر مسأله مي‌رويم. با روشي مشابه، ابتدا سطر ماقبل آخر را از سطر آخر كم مي‌كنيم. در اين صورت ماتريس زير حاصل مي‌شود

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{pmatrix}&space;3&1&\dots&1&1\cr&space;1&4&\dots&1&1\cr&space;\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr&space;1&1&\dots&n&1\cr&space;0&0&\dots&1-n&n\cr&space;\end{pmatrix}
با نوشتن بسط دترمينان حول سطر آخر به رابطه‌ي بازگشتي زير مي‌رسيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n-1}&plus;(n-1)s_{n-1}=nD_{n-1}&plus;(n-1)!,\;\;n\geq3\\D_2=3
با تقسيم طرفين بر n فاكتوريل داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{D_n}{n!}=\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}&plus;\frac1n
در نتيجه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{D_n/n!\} مجموع جزئي سري هارمونيك است و اين بي‌كران بودن آن را نتيجه مي‌دهد.


ـــــــــــــــــــــــــ
12 اسفند 1388
eh_mn
03-03-2010, 21:08
حدهاي زير را محاسبه كنيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}\left(x^2\left(1&plus;2&plus;3&plus;\dots&plus;\ left[\frac{1}{|x|}\right&space;]\right)\right)

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0^&plus;}\left(x\left(\left[\frac1x\right]&plus;\left[\frac2x\right]&plus;\dots&plus;\left[\frac{k}{x}\right]\right)\right),\;\;\;k\in\mathbb{N}

ــــــــــــــــــــــــ
12 اسفند 1388
eh_mn
04-03-2010, 00:56
چون شما داری از فیلتر شکن استفاده می کنی :دی

به محل سكونت mir@ توجه كن!! :46:

محل سكونت: اون سر دنیا
mofidy1
04-03-2010, 21:08
با سلام

فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی مختلط هم مرتبه و رتبه ی AB-BA یک باشد. ثابت کنید توان دوم ماتریس AB-BA صفر است.

راهنمایی:

از مقادیر ویژه ی ماتریس AB-BA و فرم کانونی ژردن آن استفاده کنید.


موفق باشید.

6 اسفند 1388

با سلام

چون رتبه ی این ماتریس 1 است، پس حداکثر یک مقدار ویژه ی آن مخالف صفر است. هم چنین،0=(tr(AB-BA و لذا همه ی مقادیر ویژه صفر است. بنابر این فرم کانونی ژردان آن فقط یک بلوک 2 در 2 دارد و لذا توان دوم آن صفر است.


آموزش حل مساله:

کاربردهای بسیار زیاد مقادیر ویژه در مسائل جبر خطی

موفق باشید.

13 اسفند 1388
mofidy1
04-03-2010, 23:34
با سلام

آیا تابعی از R به R که همه ی توان های دوم، سوم، چهارم و ... آن، چندجمله ای است، می تواند خودش چند جمله ای نباشد؟!

موفق باشید.

13 اسفند 1388
NaKhoda BiBaK
06-03-2010, 21:06
با سلام

آیا تابعی از R به R که همه ی توان های دوم، سوم، چهارم و ... آن، چندجمله ای است، می تواند خودش چند جمله ای نباشد؟!

موفق باشید.

13 اسفند 1388

میشه یک مثال برای این تابع بزنید !
mir@
06-03-2010, 23:54
حل مسئله شنبه بیست و دوم


.
سه میله کاملا یکسان داریم. یک قسمت را با طول تصادفی از هریک از میله ها جدا می کنیم. با چه احتمالی با سه قسمت جدا شده می توان یک مثلث با زوایای حاده (تند) ساخت؟ f6

از سه میله با طول L می توان میله هایی با طول xو y و z به دست آورد. اگر به هر میله یک محور اختصاص دهیم، مجموعه پیشامد ها به صورت یکسان روی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0,L)\times(0,L)\times(0,L)توزیع شده است که حجم آن عبارتست از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^3. زیرمجموعه پیشامدهایی که موردنظر است به صورت زیر بیان می شود:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\begin{array}{l}%20x^2+y^2%3Ez^2% 20\\%20x^2+z^2%3Ey^2%20\\y^2+z^2%3Ex^2%20\end{arra y}%20\right.


حجم محصور توسط عبارات بالا به صورت زیر محاسبه می شود:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^3-\int_0^L%20\left(%20\frac{\pi%20x^2}{4}%20\right)% 20dx-\int_0^L%20\left(%20\frac{\pi%20y^2}{4}%20\right)% 20dy-\int_0^L%20\left(%20\frac{\pi%20z^2}{4}%20\right)% 20dz=L^3%20\left(1-\frac{\pi}{4}\right)


بنابراین احتمال خواسته شده برابراست با


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{L^3%20\left(1-\frac{\pi}{4}\right)}{L^3}=1-\frac{\pi}{4}
mir@
07-03-2010, 00:06
.f5
حاصل عبارت زیر را بیابید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty%20\frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}
eh_mn
10-03-2010, 18:41
حدهاي زير را محاسبه كنيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}\left(x^2\left(1&plus;2&plus;3&plus;\dots&plus;\ left[\frac{1}{|x|}\right&space;]\right)\right)

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0^&plus;}\left(x\left(\left[\frac1x\right]&plus;\left[\frac2x\right]&plus;\dots&plus;\left[\frac{k}{x}\right]\right)\right),\;\;\;k\in\mathbb{N}

ــــــــــــــــــــــــ
12 اسفند 1388


با سلام

راهنمایی برای حد اول) با استفاده از فرمول

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n(n&plus;1)}{2}
داریم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][\frac{1}{|x|}\right]=\frac{\left(\left[\frac{1}{|x|}\right]&plus;1\right)\left[\frac{1}{|x|}\right]}{2}
بنابراین حد مورد سوال به حدی شامل جزء صحیح تبدیل می‌شود. یکی از راه‌های متداول برای حل چنین حدهایی استفاده از نامساوی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][x]<x&plus;1 و قضیه‌ی فشار است.

راهنمایی برای حد دوم) پرانتز داخلی حد دوم را نیز با فرمولی مشابه قسمت اول به صورت بسته بنویسید و حد را محاسبه کنید.






ــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388
eh_mn
10-03-2010, 22:46
فرض کنید

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{bmatrix}&space;1&space;&&space;-1&space;&&space;0&space;&&space;0\\&space;x&space;&&space;h&space;&&space;-1&&space;0\\&space;x^2&space;&&space;hx&space;&&space;h&space;&-1&space;\\&space;x^3&space;&&space;hx^2&space;&&space;hx&space;&&space;h&space;\end{bmatrix}
و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به طور مشابه تعریف کنید. نشان دهید

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x&plus;h)^n





ــــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388
tofan_2050
13-03-2010, 13:49
با سلام میشه این مساله رو حل کنید
ریشه های مختلط معادلات زیر رابیابید
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
mir@
21-03-2010, 01:31
حل مسئله شنبه بیست و سوم


.f5
حاصل عبارت زیر را بیابید:



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty%20\frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}


می دانیم :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}


بنابراین:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty%20\frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{6(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty \frac{6(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=6\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2n+1})




از آنجا که :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=0}^\infty%20\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}=arctan x \qquad |x|\le 1


خواهیم داشت:




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty%20\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=4(\frac{\pi}{4}-1)


و همچنین


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\big(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\big)=\frac{1}{1}+ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots=1


در نتیجه:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty%20\frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}=6\big[1+4\big(\frac{\pi}{4}-1\big)\big]=6\pi-18
mir@
21-03-2010, 01:42
.s7
فرض کنید x و y و z سه عدد حقیقی در بازه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][-2,1] باشند به طوری که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2+y^2+z^2\le 6


سال نو مبارک
eh_mn
24-03-2010, 13:17
فرض کنید

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{bmatrix}&space;1&space;&&space;-1&space;&&space;0&space;&&space;0\\&space;x&space;&&space;h&space;&&space;-1&&space;0\\&space;x^2&space;&&space;hx&space;&&space;h&space;&-1&space;\\&space;x^3&space;&&space;hx^2&space;&&space;hx&space;&&space;h&space;\end{bmatrix}
و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به طور مشابه تعریف کنید. نشان دهید

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x&plus;h)^n





ــــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388

باز هم از استقرا استفاده مي‌كنيم. به راحتي ملاحظه مي‌شود كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{bmatrix}&space;1&-1&0&\dots&0&0\cr&space;x&h&-1&\dots&0&0\cr&space;x^2&hx&h&\dots&0&0\cr&space;\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr&space;x^{n-1}&hx^{n-2}&hx^{n-3}&\dots&h&-1\cr&space;x^{n}&hx^{n-1}&hx^{n-2}&\dots&hx&h\cr&space;\end{bmatrix}
با جمع كردن ستون اول با ستون دوم (چون دترمينان تغيير نمي‌كند )

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{bmatrix}&space;1&0&0&\dots&0&0\cr&space;x&h&plus;x&-1&\dots&0&0\cr&space;x^2&x(x&plus;h)&h&\dots&0&0\cr&space;\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr&space;x^{n-1}&x^{n-2}(x&plus;h)&hx^{n-3}&\dots&h&-1\cr&space;x^{n}&x^{n-1}(x&plus;h)&hx^{n-2}&\dots&hx&h\cr&space;\end{bmatrix}

اينك اگر بسط دترمينان را حول سطر اول بنويسيم و سپس براي محاسبه دترمينان زيرماتريس حاصل، از عبارت x+h فاكتور بگيريم به راحتي ملاحظه مي‌شود كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x&plus;h)\Delta_{n-1}

و اين، حكم مورد سوال را نتيجه مي‌دهد.



ـــــــــــــــــــــــ
4 فروردين 1389
eh_mn
24-03-2010, 15:13
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} دنباله‌اي از اعداد حقيقي نامنفي باشد به طوري كه براي هر دو عدد طبيعي m و n داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m&plus;n}\leq&space;a_ma_n. نشان دهيد دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\sqrt[n]{a_n}\} همگراست.
mir@
27-03-2010, 19:00
حل مسئله شنبه بیست و چهارم


.s7
فرض کنید x و y و z سه عدد حقیقی در بازه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][-2,1] باشند به طوری که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2+y^2+z^2\le 6


سال نو مبارک


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{array}{lcl}%20x^2+y^2+z^2&=&6-\underbrace{(2+x)(1-x)}_{\ge%200}-\underbrace{(2+y)(1-y)}_{\ge%200}%20\\%20&&-\underbrace{(2+z)(1-z)}_{\ge%200}-\underbrace{(x+y+z)}_{=0}%20\le%206%20\\%20\end{ar ray}
mir@
27-03-2010, 19:05
.s4
نشان دهید که عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2008}-10^8 بر 2008 بخش پذیر است.
eh_mn
31-03-2010, 14:53
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_n\} دنباله‌اي از اعداد حقيقي نامنفي باشد به طوري كه براي هر دو عدد طبيعي m و n داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m&plus;n}\leq&space;a_ma_n. نشان دهيد دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\sqrt[n]{a_n}\} همگراست.

پيش از مطالعه‌ي راه حل، اگر با مفاهيم lim sup و lim inf آشنايي نداريد اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
را ببينيد. خواص ديگري از آنها در كتاب «فضاهاي متريك با طعم توپولوژي» نوشته‌ي دكتر مجيد ميرزاوزيري آمده است.

مي‌خواهيم از تغيير متغير [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] استفاده كنيم.
اين تنها در صورتي امكان‌پذير است كه هيچ [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]اي صفر نباشد. اگر براي يك p داشته باشيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه براي هر n>p مي‌توان نوشت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{(n-p)+p}\leq a_{n-p}a_p=0 بنابراين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}a_n^{\frac1n}=0. پس فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]ها همگي ناصفرند و در اين حالت تغيير متغير ذكر شده معتبر است.
بنا به فرض داريم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n&plus;m}\leq&space;b_n&plus;b_m از اين رو [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{km&plus;t}\leq&space;kb_m&plus;b_t. فرض كنيم m يك عدد طبيعي و از اين پس ثابت باشد. عدد طبيعي n را بر m تقسيم مي‌كنيم.
خارج قسمت را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n) و باقيمانده را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n) مي‌ناميم يعني
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)m+r(n) كه در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] r(n)<m. بنابراين مي‌توان نوشت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k(n)m&plus;r(n)}\leq&space;k(n)b_m&plus;b_{r(n)} &space;\leq&space;k(n)b_m&plus;c
كه در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](b_0,b_1,\dots,b_{m-1})
در نتيجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{b_n}{n}\leq\frac{k(n)}{n}b_m&plus;\fra c{c}{n}
به راحتي مي‌توان نشان داد كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}\frac{k(n)}n=\frac1mو [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}\frac{c}{n}=0 بنابراين

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{m}b_m
در نتيجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] b_n
كه نشان مي‌دهد دنباله‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{b_n}{n} حد دارد. (ممكن است حد برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد) و اين حكم مسأله را نتيجه مي‌دهد.

اين مسأله و راه حل آن را از كتاب The William Lowell Putnam Mathematical Competition. Problems and solutions نوشته‌ي A. Gleason و سايرين انتخاب كرده‌ام. با تلاشي كه انجام دادم نتوانستم راه حل مقدماتي‌ براي اين مسأله پيدا كنم. خوشحال مي‌شم دوستان در اين زمينه كمك كنن.






ـــــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 1389
eh_mn
31-03-2010, 17:55
فرض كنيد n يك عدد طبيعي باشد. حاصل عبارت زير را به دست آوريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}{0}-\frac13\binom{n}{1}&plus;\frac15\binom{n}{2}-\dots&plus;(-1)^n\frac{1}{2n&plus;1}\binom{n}{n}


ــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 89
mofidy1
01-04-2010, 18:49
با سلام

آیا تابعی از R به R که همه ی توان های دوم، سوم، چهارم و ... آن، چندجمله ای است، می تواند خودش چند جمله ای نباشد؟!

موفق باشید.

13 اسفند 1388

با سلام

این تابع را f فرض کنید و p/q را ساده ترین صورت f^3/f^2. بنابر این p^2/q^2 ساده ترین صورت f^2 است. چون f^2 نیز یک چند جمله ای است، بنابر این q واحد است.


آموزش حل مساله:

استفاده از حالت های جزئی برای اثبات حالت کل تر.


موفق باشید.


12 فروردین 1389
mofidy1
01-04-2010, 19:42
با سلام

می توان ثابت کرد برای n عدد نامنفی a_1 تا a_n داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a_1&plus;a_2&plus;\cdots&plus;a_n)(a_1^3&plus;a_2^3&plus;\cdots&plus; a_n^3)\geq(a_1^2&plus;a_2^2&plus;\cdots&plus;a_n^2)^2

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389
mir@
03-04-2010, 20:52
حل مسئله شنبه بیست و پنجم


.s4
نشان دهید که عدد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2008}-10^8 بر 2008 بخش پذیر است.

2008=251x8 و 251 عددی اول است. طبق قضیه فرما ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^p\equiv%20a%20\pmod{p}) [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2008}-10^8=10^{8\times 251}-10^8=\big( 10^8\big)^251-10^8\equiv\big( 10^8-10^8\big) \pmod{251} = 0 \pmod{251}

به وضوح، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|10^{2008} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|10^{8} و 8 نسبت به 251 اول است، بنابراین [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 251 = 2008| (10^{2008}-10^8)
mir@
03-04-2010, 20:57
. s1
نشان دهید که دقیقا سه مثلث قائم الزاویه وجود دارد که اضلاعی با طول عدد طبیعی دارند و مساحت آنها دو برابر محیط آنهاست.
mir@
10-04-2010, 22:37
حل مسئله شنبه بیست و ششم

. s1
نشان دهید که دقیقا سه مثلث قائم الزاویه وجود دارد که اضلاعی با طول عدد طبیعی دارند و مساحت آنها دو برابر محیط آنهاست.

فرض کنیم a و b اضلاع قائمه مثلث و نتیجتا اعدادی صحیح و مثبت باشند. خواهیم داشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{2}ab=2(a+b+\sqrt{a^2+b^2})\Righ tarrow%20ab-4a-4b=4\sqrt{a^2+b^2}\\%20\Rightarrow%20(ab-4a-4b)^2=16(a^2+b^2)\Rightarrow%20(a-8)(b-8)=32=1\times%2032=4\times%208=2\times%2016\\%20\R ightarrow%20(a,b)=(9,40)\or%20(10,24)%20\or%20(12, 16)
mir@
10-04-2010, 23:06
f6-5
نشان دهید که دو سهمی با کانون های منطبق و غیرهم محور دقیقاً در دونقطه تقاطع دارند.
eh_mn
14-04-2010, 21:14
فرض كنيد n يك عدد طبيعي باشد. حاصل عبارت زير را به دست آوريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}{0}-\frac13\binom{n}{1}&plus;\frac15\binom{n}{2}-\dots&plus;(-1)^n\frac{1}{2n&plus;1}\binom{n}{n}


ــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 89

مي‌دانيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{2k&plus;1}=\int_0^1x^{2k}dx. با جايگذاري، مجموع مورد سوال را مي‌توان به صورت زير نوشت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^1\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{2k}(-1)^{k}dx=\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx

محاسبه‌ي انتگرال، موضوع سوال بعدي است!



ـــــــــــــــــــــــ
25 فروردين 89
eh_mn
14-04-2010, 21:22
مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{0}^{1}(1-x^2)^4dx


(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2n&plus;1}xdx=\frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^n\binom{2n&plus;1}{k}\frac{\sin(2n-2k&plus;1)x}{2n-2k&plus;1}
)



____________
25 فردوردين 89
davy jones
17-04-2010, 08:29
مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 1%7D%7B2%5E%7B2n%7D%7D%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%5Cbinom %7B2n&plus;1%7D%7Bk%7D%5Cfrac%7B%5Csin%282n-2k&plus;1%29x%7D%7B2n-2k&plus;1%7D
)



____________
25 فردوردين 89



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%281-x%5E%7B2%7D%29%5E%7B4%7Ddx=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7 D%28x%5E%7B8%7D-4x%5E%7B6%7D&plus;6x%5E%7B4%7D-4x%5E%7B2%7D&plus;1%29dx=%28%5Cfrac%7Bx%5E%7B9%7D%7D%7B 9%7D-%5Cfrac%7B4x%5E%7B7%7D%7D%7B7%7D&plus;%5Cfrac%7B6x%5E%7 B5%7D%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B4x%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D&plus;x%29%5Cmid&space;_%7B0% 7D%5E%7B1%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D&plus;%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D&plus;1=%5Cfrac%7B35-180&plus;378-420&plus;315%7D%7B315%7D=%5Cfrac%7B128%7D%7B315%7D
mir@
17-04-2010, 19:04
حل مسئله شنبه بیست و هفتم


f6-5
نشان دهید که دو سهمی با کانون های منطبق و غیرهم محور دقیقاً در دونقطه تقاطع دارند.

فرض کنیم دو خط هادی و کانون مشترک عبارتند از d1 و d2 و F
همچنین فرض کنیم که Q نقطه مشترک دو سهمی باشند. خواهیم داشت:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](d_1,Q)=d(F,Q)=d(d_2,Q)


بنابراین Q مرکز دایره ای است که از F می گذرد و خطوط d1 و d2 بر آن مماسند. از آنجا که فقط دو دایره با این خصوصیات وجود دارند، فقط دو نقطه تقاطع خواهیم داشت.
mir@
17-04-2010, 19:20
f9-3
فرض کنید که اعداد a1، a2 ... , an همه حقیقی باشند. بدیهی است که اگر همه مثبت باشند، n عبارت زیر همه مثبت خواهند بود.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i%3Cj}a_ia_j\\%20\su m_{i%3Cj%3Ck}a_ia_ja_k\\%20\vdots%20\\%20a_1a_2a_3 \ldots\a_n

ثابت کنید که عکس قضیه هم صحیح است.
H.R@Wolf
18-04-2010, 20:25
با سلام

می توان ثابت کرد برای n عدد نامنفی a_1 تا a_n داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5E3&plus;%5Ccdots&plus;a_n%5E3%29%5Cgeq%28a_1%5E2&plus;a_2%5E2&plus;% 5Ccdots&plus;a_n%5E2%29

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389
ببخشيد آقاي مفيدي ، يه اشتباه كوچيك كرديد ، توان دوم سمت راست نامساوي رو نگذاشتيد.
يعني اينجوري ميشه . از نتايج نامساوي كوشي كوارتز هم مي باشد
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ...+a_n%5E3%29%5Cgeq%20%28a_1%5E2+a_2%5E2+...+a_n% 5E2%29%5E2
H.R@Wolf
18-04-2010, 20:36
با سلام


با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389
جواب سوال رو كه گفتيد !!!
جمع اعداد رو در جمع مكعبات ضرب مي كنيم ،طبق نامساوي كه گفتيد سمت چپ و راست مساوي با هم مساوي مشند و تساوي اين نامساوي زماني اتفاق مي افتد كه :[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%7Bb_2%7D=...=%5Cfrac%7Ba_n%7D%7Bb_n%7D
كه با جايگذاري در اين مسئله اين نتيجه مي شود كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
و با جايگذاري در معادله ي اول نتيجه مي شود n=32 و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ها 1.5 ميشوند.
eh_mn
21-04-2010, 21:30
مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{0}^{1}(1-x^2)^4dx


(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2n&plus;1}xdx=\frac{1}{2^{2n}}\sum _{k=0}^n\binom{2n&plus;1}{k}\frac{\sin(2n-2k&plus;1)x}{2n-2k&plus;1}
)



____________
25 فردوردين 89

با تشكر از davy jones كه در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
مسأله رو حل كردن.
شايد بهتر بود خود راهنمايي مستقيماً سوال مي‌شد!


ـــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89
eh_mn
21-04-2010, 21:43
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{Z}\to\mathbb{Z} به گونه‌اي باشد كه براي هر m و n صحيح داشته باشيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m^2&plus;f(n))=f^2(m)&plus;n
نشان دهيد
(الف) f(0)=0،
(ب) f(1)=1،
(پ) f(n)=n براي هر عدد صحيح n.


ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89
davy jones
22-04-2010, 22:16
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به گونه‌اي باشد كه براي هر m و n صحيح داشته باشيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نشان دهيد
(الف) f(0)=0،

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 28m%29&plus;n%5CRightarrow&space;m=&space;n%5Cequiv&space;0%5CRightarrow&space; f%280&plus;f%280%29%29=f%5E%7B2%7D%280%29&plus;0%5CRightarro w&space;f%28f%280%29%29=f%5E%7B2%7D%280%29%5CRightarrow&space; f%280%29%5Cequiv&space;x%5CRightarrow&space;f%28x%29=x%5E%7B2% 7D%5CRightarrow&space;f%280%29=0%5E%7B2%7D=0






(ب) f(1)=1،

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 28m%29&plus;n%5CRightarrow&space;m=1,n=0%5CRightarrow&space;f%281%5 E%7B2%7D&plus;f%280%29%29=f%5E%7B2%7D%281%29&plus;0%5CRighta rrow&space;we,know:f%280%29=0%5CRightarrow&space;f%281&plus;0%29=f% 5E%7B2%7D%281%29%5CRightarrow&space;f%281%29=%5Cleft%5C% 7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;0%5C%5C1&space;%5Cend%7Bmatrix%7D %5Cright.


از طرفی:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 81%29%29=f%5E%7B2%7D%280%29&plus;1%5CRightarrow&space;we,know :f%280%29=0%5CRightarrow&space;f%280&plus;f%281%29%29=0%5E%7B 2%7D&plus;f%281%29%5CRightarrow&space;f%28f%281%29%29=f%281%2 9%5CRightarrow&space;y%5Cequiv&space;f%281%29%5CRightarrow&space;f%2 8y%29=y%5CRightarrow&space;y=1%5Crightarrow&space;f%281%29=1


در نتیجه جواب f(1)=0 قابل قبول نخواهد بود.




(پ) f(n)=n براي هر عدد صحيح n.


ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 28m%29&plus;n%5CRightarrow&space;m=0%5CRightarrow&space;f%28f%28n%2 9%29=f%5E%7B2%7D%280%29&plus;n=n,%28f%280%29=0%29%5CRig htarrow&space;x%5Cequiv&space;f%28n%29%5CRightarrow&space;f%28x%29=n =f%5E%7B-1%7D%28x%29%5CRightarrow&space;f%28x%29%5Cequiv&space;x%5CRigh tarrow&space;f%28n%29=n



موفق باشین.
89/2/2
eh_mn
23-04-2010, 00:23
در خط دوم راه حل قسمت (الف) از اين كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^2 چه طور با جايگذاري نتيجه مي‌شه f(0)=0. از كجا مي‌دونيم مقدار x برابر صفر هست؟
mir@
24-04-2010, 03:19
حل مسئله شنبه بیست و هشتم

f9-3
فرض کنید که اعداد a1، a2 ... , an همه حقیقی باشند. بدیهی است که اگر همه مثبت باشند، n عبارت زیر همه مثبت خواهند بود.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i%3Cj}a_ia_j\\%20\su m_{i%3Cj%3Ck}a_ia_ja_k\\%20\vdots%20\\%20a_1a_2a_3 \ldots\a_n

ثابت کنید که عکس قضیه هم صحیح است.

عبارات بالا را به ترتیب s_1 ، s_2 ..., s_n بنامید. می توان دید که اینها ضرایب چند جمله ای به صورت زیر است که ریشه های آن از a_1 تا a_n است.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-\ldots


بنابراین چون ضرایب همه مثتبند، پس ضرایب چندجمله ای یکی در میان مثبت و منفی هستند. بنابراین این چندجمله ای هیچ ریشه منفی r ندارد، چرا که p(r)l تمام جملاتش هم علامت خواهد شد

همچنین ریشه صفر هم نخواهد داشت، چرا که ضریب ثابت چندجمله ای یعنی s_n صفر نیست. بنابراین تمام a_i ها یعنی تمام ریشه ها مثبت هستند
mir@
24-04-2010, 03:25
f9-1
برای هر مقدار فرد مثبت n نشان دهید که عبارت زیر بر 2n+1 بخشپذیر است.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] .(2n-1)+2.4.5\cdots .2n
H.R@Wolf
24-04-2010, 13:42
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 82n-1%29%5Cequiv%20%28-2%29%5Ctimes%20%28-4%29%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%28-2n%29
وچون n فرد است و تعداد جملات n تا است داريم‌:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 82n-1%29+2%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n%2 9%5Cequiv%20-%282%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n%29% 29+%282%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n% 29%29
و تمام!!!!

سوا بعد رو سخت تر كنيد، سوال آسون بود!!
davy jones
25-04-2010, 09:57
در خط دوم راه حل قسمت (الف) از اين كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چه طور با جايگذاري نتيجه مي‌شه f(0)=0. از كجا مي‌دونيم مقدار x برابر صفر هست؟

نمی دونیم. به جای x ازاگذاری کردیم. یعنی خودمون به ازای x عدد صفر رو قرار دادیم توی ضابطه ی تابع تا f(0 بدست بیاد.

موفق باشین.
88/2/5
eh_mn
25-04-2010, 19:03
نمی دونیم. به جای x ازاگذاری کردیم. یعنی خودمون به ازای x عدد صفر رو قرار دادیم توی ضابطه ی تابع تا f(0 بدست بیاد.

موفق باشین.
88/2/5

وقتي تعريف مي‌كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)، ديگه مقدار x دست خودمون نيست. در اين حالت اگه شما فرض كنين x برابر صفر هست معادل با اينه كه فرض كنين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=0 و اين همون چيزيه كه ميخوايم اثبات كنيم
davy jones
26-04-2010, 19:44
وقتي تعريف مي‌كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]، ديگه مقدار x دست خودمون نيست. در اين حالت اگه شما فرض كنين x برابر صفر هست معادل با اينه كه فرض كنين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و اين همون چيزيه كه ميخوايم اثبات كنيم


این جوری به این مساله نگاه نکن. اصلا فرض کن دوباره به جای x از t استفاده میکنیم. مهم اینه که ضابطه ی تابع f رو به طور صریح برحسب x به دست آوردیم. حالا به جای آرگومان تابع هر چیزی رو میتونیم ازاگذاری کنیم. من هم اولین بار به استادمون همین ایراد رو گرفتم.:27:
eh_mn
26-04-2010, 21:03
این جوری به این مساله نگاه نکن. اصلا فرض کن دوباره به جای x از t استفاده میکنیم. مهم اینه که ضابطه ی تابع f رو به طور صریح برحسب x به دست آوردیم. حالا به جای آرگومان تابع هر چیزی رو میتونیم ازاگذاری کنیم. من هم اولین بار به استادمون همین ایراد رو گرفتم.:27:

سلام

davy jones عزيز
شما از تغيير متغير استفاده نكردين! [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0) يك عدد ثابت هست و به آرگومان تابع بستگي نداره. و وقتي شما x رو برابر اون تعريف كنين x يك عدد ثابت ميشه و ديگه متغير نيست. اين طور نيست؟
eh_mn
28-04-2010, 14:48
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{Z}\to\mathbb{Z} به گونه‌اي باشد كه براي هر m و n صحيح داشته باشيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](m^2&plus;f(n))=f^2(m)&plus;n
نشان دهيد
(الف) f(0)=0،
(ب) f(1)=1،
(پ) f(n)=n براي هر عدد صحيح n.


ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

با فرض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برای هر n داریم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(n))-f^2(0)~~~~~(\ast)

حال نشان می‌دهیم تابع f یک‌به‌یک است. فرض کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](p)=f(q) در این صورت با استفاده از رابطه‌ی بالا داریم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(p))-f^2(0)=f(f(q))-f^2(0)=q

ابتدا قرار دهید [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2(0). بنابراین داریم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)=f\left(0^2&plus;f(-f^2(0))\right)&space;=&space;f^2(0)-f^2(0)=0
در نتیجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(n))-f^2(0)=f(0)&plus;n
لذا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=0.
و رابطه‌ی (*) به صورت زیر نوشته می‌شود

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(n))~~~~~(\ast \ast)

از طرفی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1)=f(1&plus;f(0))=f^2(1). بنابر این [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1)=1. در نتیجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;f(n))=f^2(1)&plus;n=1&plus;n\stackrel{(\ast\as t)}{=}f(f(1&plus;n))
چون f یک‌به‌یک است پس [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)=f(1&plus;n). در نهایت استقرا درستی حکم را نشان می‌دهد.



ــــــــــــــــــــــــ
8 اردیبهشت 89
eh_mn
28-04-2010, 22:09
كليه‌ي توابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\to\mathbb{N} را بيابيد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x^2&plus;f(y))=xf(x)&plus;y

(راهنمايي: ابتدا حدسي براي f بيابيد. راه حل مسأله‌ي هفته‌ي قبل را مطالعه كنيد)




ـــــــــــــــــــــــــ
8 ارديبهشت 89
mir@
30-04-2010, 21:57
حل مسئله شنبه بیست و نهم


f9-1
برای هر مقدار فرد مثبت n نشان دهید که عبارت زیر بر 2n+1 بخشپذیر است.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 82n-1%29%5Cequiv%20%28-2%29%5Ctimes%20%28-4%29%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%28-2n%29
وچون n فرد است و تعداد جملات n تا است داريم‌:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 82n-1%29+2%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n%2 9%5Cequiv%20-%282%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n%29% 29+%282%5Ctimes%204%5Ctimes%20...%5Ctimes%20%282n% 29%29
و تمام!!!!

سوا بعد رو سخت تر كنيد، سوال آسون بود!!

همان طور که ملاحظه می کنید دوست عزیزمون این سوال رو با ذکاوت خاصی حل کردند.
برای ایشون از خداوند بهترین ها رو مسئلت می کنم. خیلی وقت بود کسی مسائل ما رو حل نکرده بود. چسبید.
جزاکم الله
mir@
30-04-2010, 22:07
s10-12
فرض کنید سه تاس A، B و C در اختیار دارید که می توانید هر یک از اعداد 1 تا 6 را روی هر وجه آن قرار دهید (حتی تکراری). چگونه می توانید این تاس ها را طوری طراحی کنید که وقتی هر سه را میریزید روابط زیر بر قرار باشد:


P(A>B)>0.5
P(B>C)>0.5
P(C>A)>0.5


به عنوان مثال P(A>B)>0.5 یعنی اینکه وقتی هر سه تاس را می ریزیم احتمال آنکه برآمد A بزرگتر از B باشد بزرگتر از 0.5 باشد.
alirezasalam
10-05-2010, 17:19
اميدوارم تكراري نباشه
با داشتن اندازه ميانه ارتفاع و نيمساز وارد بر يك ضلع مثلثي را رسم كنيد.
mofidy1
13-05-2010, 18:20
با سلام

می توان ثابت کرد برای n عدد نامنفی a_1 تا a_n داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a_1&plus;a_2&plus;\cdots&plus;a_n)(a_1^3&plus;a_2^3&plus;\cdots&plus; a_n^3)\geq(a_1^2&plus;a_2^2&plus;\cdots&plus;a_n^2)^2

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389

با سلام و عذر خواهی از دوستان به علت تاخیر بسیار در حل و طرح مساله.

با تشکر از H.R@Wolf که هم مساله را به درستی در پست 356 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) حل کردند و هم اشکال تایپی صورت مساله را تذکر دادند.


آموزش حل مساله:

نامساوی کوشی - شوارتز


موفق باشید.


23 اردیبهشت 1389
mofidy1
13-05-2010, 18:47
با سلام

فرض کنید f تابعی نامنفی با دامنه ی [0.1] باشد به طوری که 1=(f(1 و (f(x)+f(y)<= f(x+y. ثابت کنید (2x >= f(x.

موفق باشید.

23 اردیبهشت 1389
eh_mn
19-05-2010, 22:52
كليه‌ي توابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\to\mathbb{N} را بيابيد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x^2&plus;f(y))=xf(x)&plus;y

(راهنمايي: ابتدا حدسي براي f بيابيد. راه حل مسأله‌ي هفته‌ي قبل را مطالعه كنيد)




ـــــــــــــــــــــــــ
8 ارديبهشت 89

ما معمولاً مجموعه‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} را با شروع از 1 در نظر مي‌گيريم. بهتر بود كه در اينجا توضيح مي‌دادم كه در اينجا صفر نيز جزء مجموعه‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} در نظر گرفته شده است.


با انتخاب x=0 داريم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(y))=y. در نتيجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;x)=f(1&plus;f(f(x)))=f(1)&plus;f(x)
به ويژه براي x=0 از رابطه‌ي اخير داريم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=0.

با استفاده از استقرا نتيجه مي‌شود [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n)=nf(1). در نتيجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(1))=f(1).f(1)=f^2(1)
يعني [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1)=1. بنا براين f تابع هماني است.


ـــــــــــــــــــــــــ
29 ارديبهشت 89
eh_mn
19-05-2010, 22:58
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R} تابعي دو بار مشتق‌پذير روي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} باشد به طوري كه نقطه‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} موجود است كه براي هر دو عدد حقيقي متمايز مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{f(b)-f(a)}{b-a}\neq&space;f'(c)

نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]''(c)=0.



ـــــــــــــــــــــــــ
29 ارديبهشت 89
eh_mn
26-05-2010, 15:12
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R} تابعي دو بار مشتق‌پذير روي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} باشد به طوري كه نقطه‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} موجود است كه براي هر دو عدد حقيقي متمايز مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{f(b)-f(a)}{b-a}\neq&space;f'(c)

نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]''(c)=0.



ـــــــــــــــــــــــــ
29 ارديبهشت 89

تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(x)-x.f'(c) را در نظر بگيريد. با استفاده از فرض به راحتي مي‌توان نشان داد كه اين تابع يك‌به‌يك است. در نتيجه يكنواست. پس مشتق آن، يعني [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f'(x)-f'(c)، تغيير علامت نمي‌دهد. از اينجا نتيجه مي‌شود كه نقطه‌ي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]  يك اكسترمم براي تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]' است و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.


ــــــــــــــــــ
5 خرداد 89
eh_mn
26-05-2010, 16:09
نشان دهيد براي هر عدد طبيعي مثبت مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عددي طبيعي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;\sqrt{2})^n=\sqrt{m}&plus;\sqrt{m&plus;1}



ــــــــــــــــــ
5 خرداد 89
H.R@Wolf
26-05-2010, 18:39
نشان دهيد براي هر عدد طبيعي مثبت مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عددي طبيعي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] D&plus;%5Csqrt%7Bm&plus;1%7D




ــــــــــــــــــ
5 خرداد 89
تعميم اين مسئله هم برقرار است :
اگر عدد x ، عددي به فرم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، هر تواني از x را مي توان به فرم[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نمايش داد.
dr rezayi
28-05-2010, 08:20
حل مسئله شنبه بیست و یکم



مرکز دایره در داخل مثلث خواهد بود اگر سه نقطه در یک نیم دایره قرار نگیرند. بنابراین در شکل زیر، C باید داخل ناحیه آبی قرار گیرد. بنابر این احتمال برابر است با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}{\pi}\int_0^\pi%20\frac{\theta }{2\pi}d\theta=\frac{1}{4}


سلام من روی این سوال زیاد فکر کردم ولی متوجه راه حل شما نشدم . اگر ممکنه بیشتر در مورد راه حلتون توضیح بدید . ممنون
eh_mn
02-06-2010, 21:43
نشان دهيد براي هر عدد طبيعي مثبت مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عددي طبيعي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;\sqrt{2})^n=\sqrt{m}&plus;\sqrt{m&plus;1}



ــــــــــــــــــ
5 خرداد 89

ضمن تشكر از H.R@Wolf كه تعميم اين مسأله رو در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
مطرح كردن.

با استفاده از استقراي رياضي مي‌توان نشان داد كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] اعداد طبيعي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجودند به طوري كه


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{align}&space;\nonumber&space;(1&plus;\sqrt{2})^n&=a_n&plus;\sqrt{2}b_n&space;\qquad(1)\cr&space;(1-\sqrt{2})^n&=a_n-\sqrt{2}b_n&space;\qquad(2)&space;\end{align}

يعني [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;\sqrt{2})^n=\sqrt{a_n^2}&plus;\sqrt{2b_n^2 }. بنابراين كافي است نشان دهيم كه اعداد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2 و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2 يك واحد با هم اختلاف دارند. با ضرب طرفين روابط (1) و (2) داريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2_n-2b_n^2=(-1)^n

كه درستي حكم را نشان مي‌دهد.

گمان كنم تعميمش رو هم بشه با همين روش حل كرد.

ــــــــــــــــــ
12خرداد 89
eh_mn
02-06-2010, 22:37
نشان دهيد فقط يك تابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N } وجود دارد كه همزمان در شرايط زير صدق مي‌كند

(1) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} ،[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,y)=f(y,x)،

(2) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,x)=x،

(3) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>x، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](y-x)f(x,y)=yf(x,y-x).

(توجه كنيد كه در اينجا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}=\{1,2,\dots,\})



ــــــــــــــــــ
12خرداد 89
mofidy1
10-06-2010, 21:25
با سلام

فرض کنید f تابعی نامنفی با دامنه ی [0.1] باشد به طوری که 1=(f(1 و (f(x)+f(y)<= f(x+y. ثابت کنید (2x >= f(x.

موفق باشید.

23 اردیبهشت 1389

با سلام و معذرت خواهی به علت تأخیر زیاد

می توان دید که با فرض y>x :


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](y)\geq f(x)+f(y-x)

پس f صعودی است. با استقراء روی k>=0 می توان ثابت کرد که:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2^{-k})\leq 2^{-k}, \,\,\2f(2^{-k})\leq f( 2^{-(k-1)})

حال فرض کنید x عددی مثبت و k عددی طبیعی باشد طوری که


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{-k}<x<2^{-(k-1)}

بنابر این


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)\leq f(2^{-(k-1)})\leq 2^{-(k-1)}<2x

حال چون تصویر صفر تحت f صفر است، حل مساله کامل می شود.


آموزش حل مساله:

استقراء ریاضی


موفق باشید.


20 خرداد 1389
mofidy1
10-06-2010, 22:50
با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389
davy jones
10-06-2010, 23:40
با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389

سلام آقای مفیدی!

از این که اینقدر زود سوال رو جواب میدم و در حقیقت فرصت فکر کردن رو از دوستان میگیرم عذر میخوام ولی بنده چندی پیش این موضوع رو قالب یک دانستنی در تاپیک اتاق ریاضیات نوشته ام. البته برای این که دوستانی که میخواهن خودشون روی ایم سوال فکر کنن، حقشون زیاد ضایع نشه، جواب رو اینجا قرار نمیدم و دوستان میتونن برای دیدن جواب مساله به آدرس زیر مراجعه کنن:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

موفق باشین.
89/3/21
Parser
13-06-2010, 11:21
به نام معشوق ازلی متعال


با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!



سلام

بله امکان دارد

احتمالاً راجع به برف دانه ی کخ شنیده اید.

با ادامه ی روند افزایش دندانه ها محیط شکل به بی نهایت میل می کند در صورتی که مساحتش کراندار است.

یک ایده برای بیان حوزه ای با حجم متناهی و مساحت جانبی بی نهایت یک منشور به قاعده ی یک برف دانه ی کخ است.
eh_mn
16-06-2010, 13:32
نشان دهيد فقط يك تابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N } وجود دارد كه همزمان در شرايط زير صدق مي‌كند

(1) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} ،[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,y)=f(y,x)،

(2) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,x)=x،

(3) براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]>x، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](y-x)f(x,y)=yf(x,y-x).

(توجه كنيد كه در اينجا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N}=\{1,2,\dots,\})



ــــــــــــــــــ
12خرداد 89

براي سوالاتي از اين دست (معادلات تابعي) اولين چيزي كه به ذهن مي‌رسد محاسبه تابع براي مقادير خاص است.
براي توابع يك متغيره معمولا ابتدا سعي مي‌كنيم مقدار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0) ، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1) يا نظير آنها را به دست بياوريم.
پيش از اين مرحله ممكن است اثبات پوشا بودن يا يك‌به‌يك بودن تابع يا حتي صعودي و نزولي بودن آن مفيد باشد. توجه كنيد كه براي اثبات اين خاصيت‌ها لزومي ندارد كه رابطه‌ي صريح تابع بر حسب متغيرهايش معلوم باشند.
براي توابع چند متغيره نيز با همين روند آغاز مي‌كنيم. به علاوه مثلا اگر تابع برحسب [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد مقادير خاصي نظير [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بررسي مي‌كنيم.
اگر تابع متقارن نباشد و امكان تعويض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد نتايج حاصل از تعويض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نيز بررسي مي‌كنيم.
در بعضي مسائل نيز تغيير متغيرهاي مناسب موجب مي‌شوند كه مسأله‌ي بسيار ساده‌تري حاصل شود.
ــــــــــــــــــــ

با بررسي چند مثال مي‌بينيم كه تابع ك.م.م (كوچكترين مضرب مشترك) مي‌تواند حدس خوبي باشد.
براي حل اين سوال از استقراي قوي استفاده مي‌كنيم. حكم كلي كه مي‌خواهيم اثبات كنيم اين است كه


براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{N} اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] آنگاه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,y)=\mbox{ lcm}(x,y)

كه در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع كوچكترين مضرب مشترك است. ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{ lcm} حاصل از كنار هم قرار دادن حرف اول كلمات Least Common Multiple است)
حكم به وضوح براي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برقرار است. فرض كنيم براي اعداد طبيعي از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نيز چنين باشد.
فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در اين صورت


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{align}\nonumber&space;(y&plus;1-x)f(x,y&plus;1)&=(y&plus;1)f(&space;x,(y&plus;1-x))\cr&space;&=(y&plus;1)\mbox{&space;lcm}(x,y&plus;1-x)\cr&space;&&space;=(y&plus;1)\frac{x(y&plus;1-x)}{\gcd(x,y&plus;1-x)}&space;\end{align}

كه در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع كوچكترين مضرب مشترك است.
از طرفي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,y&plus;1-x)=\gcd(x,y&plus;1). بنابراين


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{align}\nonumber&space;f(x,y&plus;1)=\frac{x( y&plus;1)}{\gcd(x,y&plus;1)}=\mbox{&space;lcm}(x,y&plus;1)&space;\end{alig n}

و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.





ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89
eh_mn
16-06-2010, 23:03
تمام توابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R}‌ را بيابيد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x)&plus;y)=f(f(x)-y)&plus;4f(x)y



ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89
mofidy1
17-06-2010, 21:06
با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389

با سلام و تشکر بسیار از davy jones و Parser که در پست های 385 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) و 386 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) روی مساله به خوبی بحث کردند. ضمناً لازم است از davy jones تشکر ویژه کنم که انصافاً جور ما را می کشند و بسیاری از سوالات مطرح شده در انجمن را به خوبی و با دقت پاسخ می دهند. خدا قوت.

درباره ی این مساله هم عرض کنم که باید این مطلب را بپذیریم که نمی توان به شهود اطمینان صددرصد کرد و آن چه که تصورات ما غیر ممکن می داند، واقعاً غیر ممکن باشد؛ مثالش هم، همین مساله.

موفق باشید.

27 خرداد 1389
mofidy1
17-06-2010, 21:19
با سلام

در مثلث ABC به اضلاع a و b و c ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{A}{2})\leq \frac{a}{b+c}

که A زاویه ی روبه به ضلع a است.

موفق باشید.
alidata2010
17-06-2010, 21:19
یه سوال اسون هم من طرح کنم:31:
یک گربه درهر بار پرش نصف مسیر را طی میکنه ایا این گربه به مقصد میرسه. مثلا رو ی یه خط راست گربه از a میخواد بره به b
davy jones
21-06-2010, 10:28
یه سوال اسون هم من طرح کنم:31:
یک گربه درهر بار پرش نصف مسیر را طی میکنه ایا این گربه به مقصد میرسه. مثلا رو ی یه خط راست گربه از a میخواد بره به b

اگه منظورتون اینه که در هر بار پرش نصف مسافت باقی مانده در لحظه ی قبل از پرش رو طی میکنه که واضحه که هیچ گاه به خط پایان نمیرسه ولی شما یه جوری سوال رو نوشتی که هر کس که بخونه احساس میکنه که گربه در هر بار پرش به اندازه ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پرش میکنه که در این حالت با دو بار پرش به نقطه ی پایان میرسه.
dr rezayi
24-06-2010, 10:35
یه سوال اسون هم من طرح کنم:31:
یک گربه درهر بار پرش نصف مسیر را طی میکنه ایا این گربه به مقصد میرسه. مثلا رو ی یه خط راست گربه از a میخواد بره به b

من با دوستمون كه مي گند نمي رسه موافق نيستم . چون حد تابع حركت اين گربه كه فاصله رو از مقصد نشون مي ده وقتي تعداد دفعات به بينهايت ميل مي كنه صفر هست . يعني گربه به مقصد خواهد رسيد .

اين كه بگيم بين هردو عدد حقيقي عدد ديگري هست درسته ولي اينجا مفهوم حد و فيزيك رياضي مورد بحث هست .
mofidy1
24-06-2010, 12:56
یه سوال اسون هم من طرح کنم:31:
یک گربه درهر بار پرش نصف مسیر را طی میکنه ایا این گربه به مقصد میرسه. مثلا رو ی یه خط راست گربه از a میخواد بره به b

با سلام

دوستان عزیز، این تاپبک مخصوص طرح مسائل آزاد کاربران نیست. لطفاً این گونه مسائل را در اتاق ریاضیات مطرح فرمایید تا این تاپیک دچار بی نظمی نشود.

با تشکر

3 تیر 1389
mofidy1
24-06-2010, 18:05
با سلام

در مثلث ABC به اضلاع a و b و c ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{A}{2})\leq \frac{a}{b+c}

که A زاویه ی روبه به ضلع a است.

موفق باشید.

با سلام

با استفاده از قانون سینوس ها می توان نوشت:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a}{b+c}=\frac{sin(A)}{sin(B)+sin(C )}

بنابر این


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a}{b+c}=\frac{2sin(A/2)cos(A/2)}{2sin((B+C)/2)cos((B-C)/2)}=\frac{sin(A/2)}{cos(B-C)/2}\geq sin(A/2)

که حل مساله را کامل می کند.

با استفاده از این مساله و جایگذاری زوایای مناسب، می توان به نتایج جالبی رسید. به طور مثال در یک مثلث قائم الزاویه، اگر وتر را a و بقیه ی اضلاع را b و c فرض کنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] b+c \leq\sqrt{2}a


آموزش حل مساله:

استفاده از مثلثات برای اثبات قوانین هندسه.

موفق باشید.

3 تیر 1389
mofidy1
24-06-2010, 18:36
با سلام

فرض کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] x^4+x^3-4x^2+x+1=0,

و نیز


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] y=x+\frac{1}{x}.

ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] y^2=6-y.


موفق باشید.

3 تیر 1389
eh_mn
30-06-2010, 22:28
تمام توابع مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R}‌ را بيابيد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x)&plus;y)=f(f(x)-y)&plus;4f(x)y



ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89


واضح است كه تابع ثابت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=0 جوابي از اين معادله‌ي تابعي است. فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجود است به طوري كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x_0)\neq 0. در اين صورت داريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x_0)+y) - f(f(x_0)-y) = 4f(x_0)y

بنابراين هر عدد حقيقي را مي‌توان به صورت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\beta)-f(\alpha) نوشت.

قرار مي‌دهيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](t) = f(t)-t^2 در اين صورت

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{align}\nonumber&space;g(f(x)&plus;y)&space;&=&space;f(f(x)&plus;y)-(f(x)&plus;y)^2\cr&space;&=f(f(x)&plus;y)-(f(x)-y)^2-4f(x)y&space;\cr&space;&=f(f(x)-y)-(f(x)-y)^2&space;\cr&space;&=g(f(x)-y)&space;\end{align}
در نتيجه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حقيقي داريم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](y)=g(2f(x)-y).
حال فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد حقيقي دلخواهي باشد.
با توجه به قسمت قبل اعداد حقيقي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] موجودند به طوري كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\beta)-f(\alpha)=t/2 بنابراين


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](t)=g(2f(\beta)-2f(\alpha))=g(2f(\alpha))=g(0)

كه نشان مي‌دهد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي ثابت است. در نتيجه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^2+f(0).


منبع : ROMANIAN MATHEMATICAL COMPETITIONS 2007, Edited by: Radu Gologan, p. 26

ــــــــــــــــــ
9 تير 89
eh_mn
30-06-2010, 22:37
كليه‌ي اعداد صحيح مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بيابيد كه در معادله‌ي زير صدق مي‌كنند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;2^x)=\log_2(1&plus;x)


ـــــــــــــ
9 تير 89
mofidy1
02-07-2010, 07:20
با سلام

فرض کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] x^4+x^3-4x^2+x+1=0,

و نیز


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] y=x+\frac{1}{x}.

ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] y^2=6-y.


موفق باشید.

3 تیر 1389

با سلام


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] \begin{align}&space;x^4&plus;x^3-4x^2&plus;x&plus;1&space;&=&space;x^2\left&space;[&space;\left&space;(&space;x^2&plus;\frac{1}{x^2}&space;\right&space;)&space;&plus;\left&space;(&space;x&plus;\fr ac{1}{x}&space;\right&space;)-4\right&space;]&space;\nonumber\\&space;&=&space;x^2\left&space;[&space;\left&space;(&space;x&plus;\frac{1}{x}&space;\right&space;)^2-2&space;&plus;\left&space;(&space;x&plus;\frac{1}{x}&space;\right&space;)-4\right&space;]&space;\nonumber\\&space;&=&space;x^2(y^2-2+y-4)&space;\nonumber\end{align}

توجه کنید که با این روش می توان معادله ی درجه ی چهارم بالا را حل کرد. فقط کافی است معادله ی درجه ی دوم بر حسب y را حل کنیم.

آموزش حل مساله:

حل معادلات با استفاده از تغییر متغیر

موفق باشید.

11 تیر 1389
mofidy1
02-07-2010, 09:48
با سلام

در مثلث قائم الزاویه ی زیر C=90. اگر اندازه ی AD و BD با هم برابر، DE بر AB عمود، اندازه ی AB برابر با 20 و اندازه ی AC برابر با 12 باشد، مساحت چهار ضلعی ADEC را به دست آورید.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

11 تیر 1389
davy jones
03-07-2010, 11:38
با سلام

در مثلث قائم الزاویه ی زیر C=90. اگر اندازه ی AD و BD با هم برابر، DE بر AB عمود، اندازه ی AB برابر با 20 و اندازه ی AC برابر با 12 باشد، مساحت چهار ضلعی ADEC را به دست آورید.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

11 تیر 1389

آقای مفیدی، سوالهایی که میذارین خیلی آسون شده یا من خیلی خفن شدم!:27:

مثلث ABC با مثلث BDE متشابه هستن. (سه زاویه ی برابر) اندازه سه ضلع مثلث ABC در دسترسه و یکی از اضلاع مثلث BDE هم طولش معلومه (BD) بنابراین طول سه ضلع مثلث BDE هم در دسترسه. حالا مساحت 4 ضلعی مورد نظر برابر با تفاضل مساحت دو مثلث خواهد بود.

قبلا سوالهای سخت تری میذاشتین. نکنه از ما ناامید شدین؟!:31:


موفق باشین.
89/4/12
mir@
03-07-2010, 20:09
حل مسئله شنبه سی ام

s10-12
فرض کنید سه تاس A، B و C در اختیار دارید که می توانید هر یک از اعداد 1 تا 6 را روی هر وجه آن قرار دهید (حتی تکراری). چگونه می توانید این تاس ها را طوری طراحی کنید که وقتی هر سه را میریزید روابط زیر بر قرار باشد:


P(A>B)>0.5
P(B>C)>0.5
P(C>A)>0.5


به عنوان مثال P(A>B)>0.5 یعنی اینکه وقتی هر سه تاس را می ریزیم احتمال آنکه برآمد A بزرگتر از B باشد بزرگتر از 0.5 باشد.

روی سه تاس، اعداد زیر را می نویسیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1,1,5,5,5,5\}%20\\%20\qquad%20B=\{3, 3,3,4,4,4\}%20\\%20\qquad%20C=\{2,2,2,2,6,6\}

احتمالات به صورت زیر خواهند بود:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](A%3EB)=\frac{2}{3},\qquad%20P(B%3EC)=\ frac{2}{3},%20\qquad%20%20P(C%3EA)=\frac{1}{3}+\fr ac{2}{3}\times%20\frac{1}{3}=\frac{5}{9}
mir@
03-07-2010, 20:21
.
یک مثلث با دو خط بکشید.
davy jones
04-07-2010, 12:32
.
یک مثلث با دو خط بکشید.

فکر کنم جواب یک مثلث جداگانه به همراه دو خط جداگانه باشه. چون واضحه که یک مثلث رو با دو خط نمیشه کشید.
eh_mn
07-07-2010, 22:49
كليه‌ي اعداد صحيح مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را بيابيد كه در معادله‌ي زير صدق مي‌كنند

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1&plus;2^x)=\log_2(1&plus;x)


ـــــــــــــ
9 تير 89

واضح است كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] براي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مي‌بينيم كه سمت چپ از سمت راست بيشتر است و با استفاده از استقرا مي‌توان نشان داد كه براي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نيز اين اتفاق مي‌افتد.
بنابراين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] با جايگذاري مقادير [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تا [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] جوابهاي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به دست مي‌آيند.


ــــــــــــــــ
16 تير 89
eh_mn
07-07-2010, 22:55
تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بيابيد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)f(2x))=0
ولي حد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}f(x) موجود نباشد.


ـــــــــــــ
16 تير 89
mofidy1
08-07-2010, 20:53
آقای مفیدی، سوالهایی که میذارین خیلی آسون شده یا من خیلی خفن شدم!:27:

قبلا سوالهای سخت تری میذاشتین. نکنه از ما ناامید شدین؟!:31:



با سلام

عجله نکنید به آن ها هم می رسیم. ضمناً به سطح سوال و نیز شرایط سوال (جام مثلاً جهانی!!) هم توجه کنید.

موفق باشید.

17 تیر 1389
mofidy1
08-07-2010, 21:02
با سلام

در مثلث قائم الزاویه ی زیر C=90. اگر اندازه ی AD و BD با هم برابر، DE بر AB عمود، اندازه ی AB برابر با 20 و اندازه ی AC برابر با 12 باشد، مساحت چهار ضلعی ADEC را به دست آورید.



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

11 تیر 1389

با تشکر از davy jones در پست 401 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]). با استفاده از قضیه فیثاغورث و تشابه دو مثلث BDE و BCA و این نکته که نسبت مساحت دو مثلث متشابه، توان دوم نسبت تشابه است، مساحت مثلث BDE به دست می آید (5/37)؛ بنابر این جواب مساله 5/58 است.


آموزش حل مساله:

مثلث های متشابه




موفق باشید.

17 تیر 1389
mofidy1
08-07-2010, 21:13
با سلام

فرض کنید زاویه تتا در ناحیه ی اول و عدد p بین صفر و یک باشد؛ ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (cos\,\theta)^p\leq cos(p\,\theta)

موفق باشید.

17 تیر 1389
eh_mn
14-07-2010, 09:04
تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بيابيد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)f(2x))=0
ولي حد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}f(x) موجود نباشد.


ـــــــــــــ
16 تير 89

تابع

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\begin{cases}(-1)^n&space;&&space;x=\frac{1}{2^{2^n}},&space;n=1,2,\dots\cr&space;0&space;&&space;o.w.\end{cases}
را در نظر بگيريد. اين تابع در صفر حد ندارد (چرا؟) از طرفي داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2x)=\begin{cases}(-1)^n&space;&&space;x=\frac{1}{2^{2^n-1}},&space;n=1,2,\dots\cr&space;0&space;&&space;o.w.\end{cases}
و اين نشان مي‌دهد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)f(2x))=0


ـــــــــــــ
23 تير 89
eh_mn
14-07-2010, 13:32
كف يك ساختمان با موزاييك‌هاي مربعي پوشانده شده‌ است. قسمت‌هاي اين ساختمان (يعني اتاق‌ها و ...) لزوماً مستطيلي نيستند.
در مكاني دلخواه از ساختمان مي‌ايستيم و آنجا را A مي‌ناميم. از اين نقطه با قاعده‌ي زير شروع به حركت مي‌كنيم
گام ابتدايي: يك گوشه از موزاييك A را انتخاب كنيد. از آن گوشه خارج شويد تا به موزاييك بعدي برويد.
1) فرض كنيد كه از گوشه‌ي 1 وارد شده‌ايم:
a) اگر فقط پشت ضلع 2-4 ديوار است از 3 خارج شويد،
b) اگر فقط پشت ضلع 3-4 ديوار است از 2 خارج شويد،
c) اگر پشت ضلع 2-4 و 3-4 ديوار است از 1 خارج شويد و
d) در غير اين صورت از 4 خارج شويد.
(كاملاًمشابه انعكاس نور!)
به مرحله‌ي 1 برويد.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\parbox{1.5cm}{1\hspace{1cm}2\ \[1cm]3\hspace{1cm}4}}
نشان دهيد پس از مدتي حركت دقيقاً به نقطه‌ي A خواهيم رسيد.


(اين سوال را اولين بار از آقاي محمد فرخي شنيده‌ام)
ـــــــــــــ
23 تير 89
davy jones
14-07-2010, 14:15
كف يك ساختمان با موزاييك‌هاي مربعي پوشانده شده‌ است. قسمت‌هاي اين ساختمان (يعني اتاق‌ها و ...) لزوماً مستطيلي نيستند.
در مكاني دلخواه از ساختمان مي‌ايستيم و آنجا را A مي‌ناميم. از اين نقطه با قاعده‌ي زير شروع به حركت مي‌كنيم
گام ابتدايي: يك گوشه از موزاييك A را انتخاب كنيد. از آن گوشه خارج شويد تا به موزاييك بعدي برويد.
1) فرض كنيد كه از گوشه‌ي 1 وارد شده‌ايم:
a) اگر فقط پشت ضلع 2-4 ديوار است از 3 خارج شويد،
b) اگر فقط پشت ضلع 3-4 ديوار است از 2 خارج شويد،
c) اگر پشت ضلع 2-4 و 3-4 ديوار است از 1 خارج شويد و
d) در غير اين صورت از 4 خارج شويد.
(كاملاًمشابه انعكاس نور!)
به مرحله‌ي 1 برويد.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] Chspace%7B1cm%7D2%5C%5C[1cm]3%5Chspace%7B1cm%7D4%7D%7D
نشان دهيد پس از مدتي حركت دقيقاً به نقطه‌ي A خواهيم رسيد.


(اين سوال را اولين بار از آقاي محمد فرخي شنيده‌ام)
ـــــــــــــ
23 تير 89

فضای ساختمان بسته است. یعنی اتاقها و سایر اجزای خانه که به وسیله درهای بین اتاقها و راهروها و ... به هم متصل است ولی درب اصلی ساختمان بسته است و شکل کف ساختمان هر چه که هست یک چند ضلعی بسته است.
برای اثبات جواب از برهان خلف استفاده میکنیم. اگر قرار باشد که مجددا به نقطه ی A باز نگردیم بنابراین یا باید از فضای ساختمان خارج شویم که به دلیل گفته شده غیر ممکن است. یا اینکه تعداد موزائیکهای خانه بینهایت باشد که اینهم غیر ممکن است. و یا اینکه در مسیر حرکتمان بعد از چند مرحله درون یک دور بیفتیم و دیگر از آن خارج نشویم و همواره دیگر فقط در درون آن مسیر بسته که از A هم نمیگذرد حرکت کنیم. این استدلال هم به روشنی قابل نقض است چرا که فرض کنید در درون یک دور افتاده ایم. حال اگر مسیر حرکتمان را روی همان خطوط و قواعدی که رعایت میکردیم به صورت عقب عقب برگردیم هم نباید از این دور خارج شویم و بایستی مسیر این دور را همواره در خلاف جهت قبلی طی کنیم. حال آنکه ما فرض کردیم از مسیری وارد این دور شده ایم که قبلا جزء این دور بسته نبوده است (نقطه ی A جزء مسیر دور نبود) بنابراین این فرض که پس از چند مرحله وارد دور بسته ای شویم که از A نمیگذرد و دیگر نتوانیم از آن خارج شویم هم نادرست است.
بنابراین حتما با تعدادی متناهی از حرکتهای گفته شده و با رعایت قواعدی که برای حرکت در ساختمان وضع شده است مجددا به نقطه ی A باز میگردیم. ممکن است خیلی طول بکشد تا به نقطه ی A برگردیم و در این راه از همه موزائیکهای ساختمان عبور کنیم (از برخی از آنها چندین بار عبور کنیم) ولی بالاخره به نقطه ی A باز خواهیم گشت.
اگر در طول حرکتمان وارد دور بسته ای شویم حتما آن دور، طوری خواهد بود که نقطه A را شامل خواهد شد.


سوال جالبی بود. دم آقای فرخی گرم. حالا اصلا این آقای فرخی کی هست؟


موفق باشین.
89/4/23
eh_mn
21-07-2010, 22:33
كف يك ساختمان با موزاييك‌هاي مربعي پوشانده شده‌ است. قسمت‌هاي اين ساختمان (يعني اتاق‌ها و ...) لزوماً مستطيلي نيستند.
در مكاني دلخواه از ساختمان مي‌ايستيم و آنجا را A مي‌ناميم. از اين نقطه با قاعده‌ي زير شروع به حركت مي‌كنيم
گام ابتدايي: يك گوشه از موزاييك A را انتخاب كنيد. از آن گوشه خارج شويد تا به موزاييك بعدي برويد.
1) فرض كنيد كه از گوشه‌ي 1 وارد شده‌ايم:
a) اگر فقط پشت ضلع 2-4 ديوار است از 3 خارج شويد،
b) اگر فقط پشت ضلع 3-4 ديوار است از 2 خارج شويد،
c) اگر پشت ضلع 2-4 و 3-4 ديوار است از 1 خارج شويد و
d) در غير اين صورت از 4 خارج شويد.
(كاملاًمشابه انعكاس نور!)
به مرحله‌ي 1 برويد.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\parbox{1.5cm}{1\hspace{1cm}2\ \[1cm]3\hspace{1cm}4}}
نشان دهيد پس از مدتي حركت دقيقاً به نقطه‌ي A خواهيم رسيد.


(اين سوال را اولين بار از آقاي محمد فرخي شنيده‌ام)
ـــــــــــــ
23 تير 89

دوست عزيز davy jones در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
اين مسأله رو به درستي حل كردن. با تشكر از ايشون.

در جواب سوالتون

حالا اصلا این آقای فرخی کی هست؟
بايد بگم كه ايشون يكي از دانشجويان پرتلاش دانشكده رياضي دانشگاه فردوسي مشهد بودند كه مدال‌هاي رنگيني در المپيادها و مسابقات دانشجويي كشوري و جهاني كسب كردن و زمينه‌ي كاريشون جبر هست. چند قضيه‌ي مهم در نمايش گروه‌ها و (گمان كنم) حلقه‌ها دارن. براي اطلاعات بيشتر كلمه‌ي كليدي M. Farrokhi D. G رو جستجو كنيد.




ـــــــــــــ
30 تير 89
eh_mn
21-07-2010, 22:38
تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بيابيد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)+f(2x))=0
ولي حد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}f(x) موجود نباشد.


ـــــــــــــ
30 تير 89
mir@
23-07-2010, 20:38
حل مسئله شنبه سی و یکم


.
یک مثلث با دو خط بکشید.


فکر کنم جواب یک مثلث جداگانه به همراه دو خط جداگانه باشه. چون واضحه که یک مثلث رو با دو خط نمیشه کشید.

آری. پاسخ شما صحیح است عزیز.
mir@
23-07-2010, 20:44
sp10-6
نشان دهید اگر a و b و c سه ضلع یک مثلث باشد عبارت زیر برقرار است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

و مساوی هنگامی است که مثلث متساوی الاضلاع باشد
mofidy1
23-07-2010, 21:02
با سلام

فرض کنید زاویه تتا در ناحیه ی اول و عدد p بین صفر و یک باشد؛ ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] (cos\,\theta)^p\leq cos(p\,\theta)

موفق باشید.

17 تیر 1389

با سلام

تابع زیر را در نظر بگیرید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] f(\theta)=-(cos\,\theta)^p+cos(p\,\theta).

با مشتق گیری نسبت به تتا و با توجه به فرض های مساله و این مطلب که سینوس در ناحیه ی اول، نزولی است، ثابت کنید که تابع نامنفی است.

آموزش حل مساله:

ایجاد تابع کمکی

موفق باشید.

1 مرداد 1389
mofidy1
23-07-2010, 21:18
با سلام

بدون استفاده از بسط تیلور ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] sin(x)>x-\frac{x^3}{6}

که x عددی مثبت است.

موفق باشید.

1 مرداد 1389
davy jones
24-07-2010, 13:26
با سلام

بدون استفاده از بسط تیلور ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

که x عددی مثبت است.

موفق باشید.

1 مرداد 1389

تابع f را در نظر میگیریم به طوریکه:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


کافی است ثابت کنیم که f به ازای x>0 مثبت است.
واضح است که هر چه قدر که x از صفر به سمت مقادیر مثبت میل میکند تابع f هم به سمت مثبت بینهایت میل میکند. بنابراین در واضح است که اگر قرار باشد حکم برقرار نباشد حتما باید در بازه (0,2) این اتفاق بیفتد وگرنه بعد از آن رشد تابع چندجمله ای درجه 3 بیش از بقیه خواهد بود و مطمئنا تابع f مثبت است. (البته به طور دقیقتر بازه صفر تا فرجه سوم عدد 3)
اگر از تابع f مشتق بگیریم خواهیم داشت:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


این تابع در x=0 یک ریشه دارد و پس از آن همواره مثبت است. (با روش نیوتن قابل تحقیق است) بنابراین شیب نمودار تابع f بعد از x=0 همواره صعودی است و بنابراین تابع f بعد از x=0 هیچگاه به سمت محور طولها باز نمیگردد و همواره به طور صعودی رشد میکند. در نتیجه: f>0 و حکم ثابت میشود.


به نظرم دانش آموز سال سوم دبیرستان هم میتونس این رو حل کنه

موفق باشین.
89/5/2
eh_mn
28-07-2010, 18:09
تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بيابيد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)+f(2x))=0
ولي حد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}f(x) موجود نباشد.


ـــــــــــــ
30 تير 89


تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] رو به صورت زير در نظر بگيريد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\begin{cases}(-1)^n&space;&&space;x=\frac{1}{2^n}\quad&space;n=0,1,\dots\\&space;0&space;&&space;\mbox{o.w.}&space;\end{cases}

واضح است كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to 0}f موجود نيست. از طرفي داريم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2x)=\begin{cases}(-1)^n&space;&&space;x=\frac{1}{2^{n-1}}\quad&space;n=0,1,\dots\\&space;0&space;&&space;\mbox{o.w.}&space;\end{cases}

بنابراين

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](2x)&plus;f(x)=\begin{cases}(-1)^{n&plus;1}&plus;(-1)^n&space;&&space;x=\frac{1}{2^{n}}\quad&space;n=1,2,\dots\\1&space;&&space;x=2&space;\\&space;0&space;&&space;\mbox{o.w.}&space;\end{cases}=\begin{cases}1&space;&&space;x=2&space;\\&space;0&space;&\mbox{o.w.}\end{cases}
كه نشان مي‌دهد

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\to0}(f(x)&plus;f(2x))=0




ـــــــــــــــــــــ
6 مردادماه 89
eh_mn
28-07-2010, 18:16
آيا تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}^2\to\mathbb{R} وجود دارد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x}\min_{y}f(x,y)\neq\min_{y}\max_{ x}f(x,y)


ـــــــــــــــــــــ
6 مردادماه 89
mir@
31-07-2010, 07:26
حل مسئله شنبه سی و دوم


sp10-6
نشان دهید اگر a و b و c سه ضلع یک مثلث باشد عبارت زیر برقرار است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

و مساوی هنگامی است که مثلث متساوی الاضلاع باشد

عبارت بالا معادل عبارت زیر است

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a}{a+b+c}\log\frac{a+b-c}{a}+\frac{b}{a+b+c}\log\frac{b+c-a}{b}+\frac{c}{a+b+c}\log\frac{c+a-b}{c}%20\le%200

با توجه به تقعر تابع لگاریم، طرف چپ بالا کوچکتر است از یا مساوی است با عبارت زیر:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{a}{a+b+c}\frac{a+b-c}{a}+\frac{b}{a+b+c}\frac{b+c-a}{b}+\frac{c}{a+b+c}\frac{c+a-b}{c}\bigg)

در حالی که مساوی زمانی برقرار است که a=b=c

اما عبارت بالا مساوی صفر است، بنابراین نامساوی اول هم برقرار است و نتیجتاً عبارت صورت سوال هم صحیح است.
mir@
31-07-2010, 07:42
sp10-3
اگر f و g توابعی حقیقی باشد، نشان دهید که وجود دارند اعداد x و y که در بازه بسته [0,1] هستند و برای آنها نامساوی زیر بر قرار است:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|xy-f(x)-g(y)|\ge%20\frac{1}{4}
davy jones
31-07-2010, 10:11
sp10-3
اگر f و g توابعی حقیقی باشد، نشان دهید که برای اعداد x و y که در بازه بسته [0,1] هستند، نامساوی زیر بر قرار است:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


امیر جان مطمئنی سوال درسته؟

قرار بده : x=y=0
f(x)=g(x)=0
mir@
01-08-2010, 07:22
امیر جان مطمئنی سوال درسته؟

قرار بده : x=y=0
f(x)=g(x)=0

سلام

با تشکر فراوان از حسن توجه شما.

صورت سوال را اصلاح کردم. امیدوارم درست شده باشه.

قربان شما
mir@
07-08-2010, 18:43
حل مسئله شنبه سی و سوم


sp10-3
اگر f و g توابعی حقیقی باشد، نشان دهید که وجود دارند اعداد x و y که در بازه بسته [0,1] هستند و برای آنها نامساوی زیر بر قرار است:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|xy-f(x)-g(y)|\ge%20\frac{1}{4}





از آنجا که

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][1-f(1)-g(1)]+[f(0)+g(1)]+[f(1)+g(0)]-[f(0)+g(0)]

یکی از اعداد زیر

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|1-f(1)-g(1)|,|f(0)+g(1)|,|f(1)+g(0)|,|f(0)+g(0)|

حداقل برابر است با یک چهارم

بنابراین رابطه داده شده برای یکی ار نقاط زیر صدق می کند

(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
mir@
07-08-2010, 18:46
عدد شش رقمی ویژه ای وجود دارد که اگر در 4 ضرب شود ارقام آن مقلوب (یعنی از آخر به اول مرتب) می شوند. آن عدد کدام است؟
eh_mn
11-08-2010, 23:45
آيا تابعي مانند [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}^2\to\mathbb{R} وجود دارد به طوري كه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x}\min_{y}f(x,y)\neq\min_{y}\max_{ x}f(x,y)


ـــــــــــــــــــــ
6 مردادماه 89

تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را به صورت زير در نظر بگيريد


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x,y)=\begin{cases}\frac{1}{1&plus;(x&plus;\frac{ 1}{y})^2}&space;&&space;y\neq0&space;\cr&space;0&space;&&space;o.w.\end{cases}
داريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x\in\mathbb{R}}f(x,y)=\begin{cases }-\frac{1}{y}&space;&&space;y\neq0&space;\cr&space;0&space;&&space;o.w.&space;\end{cases}
در نتيجه

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{y\in\mathbb{R}}\max_{x\in\mathbb{R }}f(x,y)=\min_{y\in\mathbb{R}}-1/y=-\infty

از طرفي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{y\in\mathbb{R}}f(x,y)=0 و اين نشان مي‌دهد كه



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x}\min_{y}f(x,y)\neq\min_{y}\max_{ x}f(x,y)


ـــــــــــــــــــــ
20 مردادماه 89
eh_mn
11-08-2010, 23:51
براي چه مقدار از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] سري زير همگرا و براي چه مقاديري واگراست


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty\left(\frac{an}{n&plus;1}\ri ght)^n


ـــــــــــــــــــــ
20 مردادماه 89
mofidy1
12-08-2010, 18:37
با سلام

بدون استفاده از بسط تیلور ثابت کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] sin(x)>x-\frac{x^3}{6}

که x عددی مثبت است.

موفق باشید.

1 مرداد 1389

با سلام

از davy jones برای راه حلشان در پست 419 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) تشکر می کنم. davy jones عزیز توجه بفرمایید که مساله ی ما آن قدرها هم سال سومی نیست، خودتان هم دو بار از عبارت واضح است ، یک بار از کلمه ی مطمئناً و یک بار از عبارت با روش نیوتن قابل تحقیق است ، استفاده کرده اید که دقت حل مساله را پایین می آورد.

تابع f را همان تابع شما تعریف می کنیم، با سه بار مشتق گیری می توان گفت که f و مشتقات اول و دوم آن در صفر دارای مقدار صفر است. مشتق سوم آن همواره نامنفی و در بازه ی باز 0 تا 2pi مثبت است. حالا اگر قضیه ی اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را برای مشتق سوم از صفر تا x مثبت به کار ببرید، نتیجه مثبت بودن مشتق دوم برای هر x مثبت است. اگر همین کار را برای مشتق دوم و اول و در نهایت برای خود تابع به کار برید، مثبت بودن f برای هر x مثبت نتیجه می شود.

آموزش حل مساله:

حل مساله بدون استفاده از قضایای پیشرفته تر

موفق باشید.

22 مرداد 1389
mofidy1
12-08-2010, 18:56
با سلام

روی یک ضلع مثلث، نقطه ای مانند P در نظر بگیرید و از آن نقطه خطی عبور دهید که مثلث را به دو قسمت با مساحت های مساوی تقسیم کند.

با تشکر ویژه از دکتر پرویز احمدی استاد دانشگاه زنجان برای طرح این مساله

موفق باشید.

22 مرداد 1389
mofidy1
12-08-2010, 19:29
با سلام

(مساله ی پنج شنبه ی سی و یکم قضا قربة الی الله !!)

ذوزنقه ی ABCD ی زیر (AB موازی CD) را با دو قطر عمود بر هم در نظر بگیرید. با امتداد دو ضلع AD و BC زاویه ی Q به اندازه ی 45 درجه ایجاد شده است. AB را 4 و CD را 10 واحد در نظر بگیرید. مساحت ذوزنقه ی مذکور را به دست آورید.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

22 مرداد 1389
mir@
14-08-2010, 06:45
حل مسئله شنبه سی و چهارم



عدد شش رقمی ویژه ای وجود دارد که اگر در 4 ضرب شود ارقام آن مقلوب (یعنی از آخر به اول مرتب) می شوند. آن عدد کدام است؟

پاسخ : 219978

فرض کنید عدد به صورت 4xabcdef=fedcbaباشد. a مسلما برایر 1 یا 2 است، اگر بزرگتر باشد، مقلوبش 7 رقمی می شود و اگر صفر باشد مقلوبش 5 رقمی

ولی a نمی تواند 1 باشد چرا که 4*abcdef زوج است بنابراین عدد مقلوب هم باید زوج باشد، پس a=2 و f=8

اگر ضرب 4(2bcde8) را انجام دهیم، b برابر خواهد بود با رقم یکان 4e+3 . بنابراین b فرد است. می توان دید b=1 که در غیر این صورت اگر بزرگتر از یک باشد، 4(2bcde8) نمی تواند a=2 را قبول کند.

بر اساس b=1 و اینکه یکان 4e+3 باید 1 باشد، e یا 2 و یا 7 است. اما نمی تواند 2 باشد، چرا که
4x21cd28=82dc12 و 4x210000=840000 که خیلی بزرگ است. پس e=7

بنابراین 4x21cd78=87dc12 ولی fedcba>870000 که نتیجتا abcdef>21750 بنابراین c باید بزرگتر مساوی 7 باشد.

c یاید فرد باشد چرا که رقم یکان 4d+3 است پس یا 7 است یا 9. اگر c=5 سپس d باید بزرگتر یا مساوی با 5 باشد و abcdef>21750

سعی و خطا نشان می دهد هیچ مقداری از d در این حالت 4x217d78=87d712 را بر آورده نمی کند.

پس c=9 و نهایتا d=9
mir@
14-08-2010, 06:50
سه توپ تنیس به صورت غیر فشرده در استوانه ای قرار دارند به طوری که با دیواره، کف و سقف استوانه در تماسند. نسبت حجم توپ ها به فضای اطراف آنها داخل استوانه چقدر است؟!
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
eh_mn
18-08-2010, 22:37
براي چه مقدار از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] سري زير همگرا و براي چه مقاديري واگراست


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n=1}^\infty\left(\frac{an}{n&plus;1}\ri ght)^n


ـــــــــــــــــــــ
20 مردادماه 89

آزمون نسبت را به كار مي‌بريم. اگر جمله‌ي عمومي را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بناميم با اندكي محاسبه در مي‌يابيم كه


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a_{n&plus;1}}{a_n}=\left(\frac{(n&plus;1)^2} {n(n&plus;2)}&space;\right)^n\frac{a(n&plus;1)}{n&plus;2}
پس


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n\to\infty}\left|\frac{a_{n&plus;1}}{a_ n}\right|=|a|
بنا بر اين اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|a|>1 سري واگرا و اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|a|<1 سري همگراست. در حالت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|a|=1 شرط لازم همگرايي ايجاب مي‌كند كه سري واگرا باشد.


ـــــــــــــــــــــ
27 مردادماه 89
eh_mn
18-08-2010, 22:59
نشان دهيد هيچكدام از اعداد ظاهر شده در دنباله‌ی زير مربع كامل نيستند


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



ـــــــــــــــــــــ
27 مردادماه 89
mofidy1
19-08-2010, 11:54
با سلام

روی یک ضلع مثلث، نقطه ای مانند P در نظر بگیرید و از آن نقطه خطی عبور دهید که مثلث را به دو قسمت با مساحت های مساوی تقسیم کند.

با تشکر ویژه از دکتر پرویز احمدی استاد دانشگاه زنجان برای طرح این مساله

موفق باشید.

22 مرداد 1389

با سلام

از نقطه ی P به A وصل و از نقطه ی M - وسط ضلع BC - به موازات AP رسم می کنیم تا AC را در نقطه ی N قطع کند. ثابت می کنیم PN خط مطلوبست!! (شکل سمت چپ)

دقت کنید که در شکل سمت چپ، مساحت های ABM و AMC و نیز مساحت های APM و APN برابرند؛ با کم کردن مساحت های APM و APN از مساحت های ABM و AMC نتیجه می شود که مساحت های PEM و NEA برابرند، که اثبات مطلب را کامل می کند.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آموزش حل مساله:

طرح یک مساله ی جدید بر اساس مسائل مقدماتی

موفق باشید.

29 مرداد 1389
mofidy1
19-08-2010, 17:47
با سلام

(مساله ی پنج شنبه ی سی و یکم قضا قربة الی الله !!)

ذوزنقه ی ABCD ی زیر (AB موازی CD) را با دو قطر عمود بر هم در نظر بگیرید. با امتداد دو ضلع AD و BC زاویه ی Q به اندازه ی 45 درجه ایجاد شده است. AB را 4 و CD را 10 واحد در نظر بگیرید. مساحت ذوزنقه ی مذکور را به دست آورید.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

22 مرداد 1389

با سلام

عمداً حل مساله را به زبان اصلی قرار دادم. اگر سوالی بود، خدمتتان هستیم. فقط دقت فرمایید که منظور از [ABCD] مساحت چهار ضلعی ABCD است.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


آموزش حل مساله:

حل مساله ی هندسی از طریق مثلثات

موفق باشید.

29 مرداد 1389
mofidy1
19-08-2010, 21:29
با سلام

فرض کنید r عددی حقیقی و ناصفر باشد به طوری که مجموع ریشه ی سوم r و معکوس ریشه سوم r برابر است با 3. مطلوبست مجموع توان سوم r و معکوس توان سوم r .

موفق باشید.

29 مرداد 1389
mofidy1
19-08-2010, 21:38
با سلام

(مساله ی پنج شنبه ی سی و سوم جبران مافات!!)

فرض کنید که a+b+c=2 و ab+bc+ca=1. ثابت کنید با فرض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] b\leq c خواهیم داشت:



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0\leq a\leq \frac{1}{3}\leq b\leq 1 \leq c\leq \frac{4}{3}.

موفق باشید.

29 مرداد 1389
mir@
20-08-2010, 21:36
حل مسئله شنبه سی و پنجم


سه توپ تنیس به صورت غیر فشرده در استوانه ای قرار دارند به طوری که با دیواره، کف و سقف استوانه در تماسند. نسبت حجم توپ ها به فضای اطراف آنها داخل استوانه چقدر است؟!
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{3\times%20\frac{4}{3}\pi%20r^3}{(6 r)(\pi%20r^2)-3\times%20\frac{4}{3}\pi%20r^3}=2

که در آن r شعاع استوانه و توپها است.
mir@
20-08-2010, 21:45
فرض کنید در یک مسابقه، پشت یکی از سه در بسته، یک میلیارد دلار و پشت دو در دیگر چیزی نیست. تازه اگر این یک میلیارد دلار را ببرید، بعدا پنچاه میلیارد دلار دیگر به شما می دهند! شما دری را انتخاب می کنید. مجری که می داند پشت کدام در جایزه است، یک در پوچ را به شما نشان می دهد و می پرسد که آیا می خواهید انتخاب خود را تغییر دهید یا نه. در این شرایط بهترین استراتژی چیست؟
الف) روی انتخاب قبلی خود می ایستید.
ب) انتخاب خود را عوض می کنید.
ج) به تصادف مجددا یک در را انتخاب می کنید. یعنی برایتان فرقی نمی کند.

این یک مسئله معروف در دنیای احتمالات است که نشان می دهد نمی توان همیشه بر مبنای شهود پیش بینی نمود.
dr rezayi
21-08-2010, 15:46
حل مسئله شنبه سی و پنجم




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %7D%5Cpi%20r%5E3%7D%7B%286r%29%28%5Cpi%20r%5E2%29-3%5Ctimes%20%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E3%7D= 2

که در آن r شعاع استوانه و توپها است.

سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟
davy jones
21-08-2010, 17:54
سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟

فکر کنم منظور سوال اینطوری بوده که توپها روی سر همدیگه قرار دارند و استوانه ای هم دور این سه تا رو میگیره. یعنی یه چیزی شبیه به جعبه های توپ پینگ پونگ که 6 تا توپ درون یک استوانه دراز هستند.

امیر جان به عنوان پیشنهاد برای سوال جدید، همین سوال رو این بار اینطور در نظر بگیریم که سه تا توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (بهتره بگیم یک دیسک) قرار داره به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟
mir@
21-08-2010, 18:56
سلام . امیرجان من متوجه نحوه ی قرار گیری این سه گوی نشدم ممکنه با تصویر بگید چطور هر سه با هر سه دیواره در تماس هستند ؟


فکر کنم منظور سوال اینطوری بوده که توپها روی سر همدیگه قرار دارند و استوانه ای هم دور این سه تا رو میگیره. یعنی یه چیزی شبیه به جعبه های توپ پینگ پونگ که 6 تا توپ درون یک استوانه دراز هستند.

امیر جان به عنوان پیشنهاد برای سوال جدید، همین سوال رو این بار اینطور در نظر بگیریم که سه تا توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (بهتره بگیم یک دیسک) قرار داره به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

آقای دکتر رضایی، توضیح آقای جونز درست است. یعنی توپها روی هم قرار گرفته اند.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]$9121315.jpg

آقای جونز، مسئله شما جالب تر است. به عنوان مسئله جدید هفته بعد مطرح می کنم. به شرطی که خودت جواب بدی!
eh_mn
25-08-2010, 15:50
نشان دهيد هيچكدام از اعداد ظاهر شده در دنباله‌ی زير مربع كامل نيستند


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



ـــــــــــــــــــــ
27 مردادماه 89

می‌خواهیم بررسی کنیم که وجود یک مربع کامل در این دنباله چه روند ثابتی را بر هم می‌زند و از این طریق یک تناقض پیدا کنیم.


با استفاده از استقرا نشان می‌دهیم که همه‌ی اعداد این دنباله که آن را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] می‌نامیم در پیمانه‌ی همنهشتی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هستند. واضح است که [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{4}{\equiv}3. فرض کنیم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هم برابر 3 باشد در این صورت


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n&plus;1}=10a_n&plus;1\stackrel{4}{\equiv}31\st ackrel{4}{\equiv}3

از طرفی

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2\stackrel{4}{\equiv}0,1^2\stackrel{4} {\equiv}1,\;2^2\stackrel{4}{\equiv}0,&space;3^2\stackrel {4}{\equiv}1
یعنی مجذور هیچ عدد طبیعی به پیمانه‌ی [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] نیست.



ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389
eh_mn
25-08-2010, 23:01
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك عدد صحيح بزرگتر از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد. نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{n-1}-1 بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)^2 بخش‌پذير است.




ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389
dr rezayi
26-08-2010, 15:44
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك عدد صحيح بزرگتر از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد. نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است.




ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389


در اعداد حقیقی تابع x^(x-1)-1 در x=1 ریشه مضاعف دارد . بنا براین بر (x-1)^2 بخش پذیر است که اعداد طبیعی هم زیر مجموعه ای از این دسته است .
mir@
27-08-2010, 23:16
حل مسئله شنبه سی و ششم


فرض کنید در یک مسابقه، پشت یکی از سه در بسته، یک میلیارد دلار و پشت دو در دیگر چیزی نیست. تازه اگر این یک میلیارد دلار را ببرید، بعدا پنچاه میلیارد دلار دیگر به شما می دهند! شما دری را انتخاب می کنید. مجری که می داند پشت کدام در جایزه است، یک در پوچ را به شما نشان می دهد و می پرسد که آیا می خواهید انتخاب خود را تغییر دهید یا نه. در این شرایط بهترین استراتژی چیست؟
الف) روی انتخاب قبلی خود می ایستید.
ب) انتخاب خود را عوض می کنید.
ج) به تصادف مجددا یک در را انتخاب می کنید. یعنی برایتان فرقی نمی کند.

این یک مسئله معروف در دنیای احتمالات است که نشان می دهد نمی توان همیشه بر مبنای شهود پیش بینی نمود.


اگر به صورت شهودی به این مسئله فکر کنیم، در نگاه اول به نظر می رسد که فرقی نمی کند کدام یک از دو در باقیمانده را انتخاب کنیم. ولی با دقت بیشتر می توان دید که اگر پس از مشخص شدن در پوچ، انتخاب خود را عوض کنیم شانس برنده شدنمان دو برابر می شود.

راه حل دقیق از طریق قضیه بیز است. اگر دری را که از پیش انتخاب کرده ایم عوض کنیم، شانس برنده شدن دو سوم و در غیر این صورت یک سوم است.

برای دیدن راه حل و توضیحات مبسوط اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])را ببینید.
mir@
27-08-2010, 23:25
سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟
davy jones
31-08-2010, 06:56
سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

اگه از بالا به مساله نگاه کنیم این شکل رو میبینیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]


برای حل این مساله کافیه که نسبت شعاع استوانه رو نسبت به شعاع توپها بدست بیاریم. همونطور که میدونیم توپها در سه راس مثلث متساوی الاضلاع هستند. بنابراین اگر شعاع توپها رو r فرض کنیم طول هر ضلع مثلث برابر با 2r خواهد بود و همچنین محور استوانه در نقطه ثقل این مثلث قرار داره. چون مرکز ثقل مثلث متساوی الاضلاع علاوه بر محل تلاقی میانه ها، مرکز تلاقی عمودها هم هست (چرا؟) بنابراین با استفاده از رابطه فیثاغورس متوجه میشویم که اگر طول ضلع این مثلث رو 2r فرض کنیم طول عمود وارد بر هر ضلع برابر است با [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و چون میانه ها در محل تلاقی خود همدیگر را با نسبت 1 به 2 قطع میکنند(چرا؟) بنابراین شعاع قاعده ی استوانه برابر است با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %5C:&space;r&plus;r=%281&plus;%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D% 29%5C:&space;r


از طرفی میدانیم که ارتفاع استوانه هم برابر با 2r است.

حالا حجم 3 توپ را محاسبه میکنیم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] D%5Cpi&space;r%5E%7B3%7D=4%5Cpi&space;r%5E%7B3%7D


و همچنین حجم استوانه:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][%281&plus;%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5C:&space;r]%5E%7B2%7D%5Ctimes&space;2r=2%5Cpi%281&plus;%5Cfrac%7B2%5Csqr t%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%5C;%5Ctimes&space;r%5E%7 B3%7D


بنابراین نسبت فضای خالی موجود در استوانه به کل حجم استوانه برابر است با:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] rac%7B2%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%5Ctim es&space;r%5E%7B3%7D%7D=%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cfrac%7B6 %7D%7B7&plus;4%5Csqrt%7B3%7D%7D%7D



موفق باشین.
89/6/9
eh_mn
01-09-2010, 14:41
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك عدد صحيح بزرگتر از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] باشد. نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{n-1}-1 بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)^2 بخش‌پذير است.




ـــــــــــــــــــــ
3 شهریور 1389

از dr rezayi عزيز كه در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
جواب رو توضيح دادن ممنون.

راه حل ديگر به صورت زير است
مي‌دانيم

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{n-1}-1=(n-1)(n^{n-2}&plus;n^{n-3}&plus;\dots&plus;1)
براي اين كه حكم مسأله را اثبات كنيم كافي است نشان دهيم عبارت بزرگتر در حاصلضرب سمت چپ تساوي فوق بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است. چندجمله‌اي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x) را به صورت زير در نظر مي‌گيريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=(x&plus;1)^{n-2}&plus;(x&plus;1)^{n-3}&plus;\dots&plus;1

واضح است كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)=n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+1.
بسط چندجمله‌اي [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x) را بر حسب توان‌هايي از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مي‌نويسيم. در اين صورت مقدار ثابت اين بسط برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](0)=n-1 است. بنابراين


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=Q(x)x&plus;(n-1)
كه در آن [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x) چندجمله‌اي از درجه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] است. بنابراين


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](n-1)=Q(n-1)(n-1)&plus;(n-1)=(n-1)(Q(n-1)&plus;1)
و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.




ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389
eh_mn
01-09-2010, 15:23
براي چه مقاديري از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\alpha x-|x| يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389
1731
01-09-2010, 16:19
براي چه مقاديري از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

a>1 , a<-1
eh_mn
01-09-2010, 22:25
a>1 , a<-1

لطفاً از يك توضيح مختصر دريغ نكنيد!
mofidy1
04-09-2010, 17:51
با سلام

فرض کنید r عددی حقیقی و ناصفر باشد به طوری که مجموع ریشه ی سوم r و معکوس ریشه سوم r برابر است با 3. مطلوبست مجموع توان سوم r و معکوس توان سوم r .

موفق باشید.

29 مرداد 1389

با سلام

این هم جواب مساله به زبان اصلی!!!


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آموزش حل مساله:

استفاده از اتحادها

موفق باشید.

13 شهریور 1389
mofidy1
04-09-2010, 18:09
با سلام

(مساله ی پنج شنبه ی سی و سوم جبران مافات!!)

فرض کنید که a+b+c=2 و ab+bc+ca=1. ثابت کنید با فرض [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] b\leq c خواهیم داشت:



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 0\leq a\leq \frac{1}{3}\leq b\leq 1 \leq c\leq \frac{4}{3}.

موفق باشید.

29 مرداد 1389


با سلام

حل مساله باز هم به زبان اصلی. دقت بفرمایید که با تعریف یک تابع چند جمله ای درجه ی 3 و با استفاده از روابط بین ریشه های معادلات درجه ی 3 و نیز بررسی تغییرات مشتق این تابع، مساله به زیبایی حل می شود!!



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آموزش حل مساله:

ارتباط بین متن مساله و مطالبی که ظاهراً با آن ارتباطی ندارند.

موفق باشید.

13 شهریور 1389
mofidy1
04-09-2010, 18:26
با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389
davy jones
04-09-2010, 22:34
با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D رو در نظر میگیریم. حالا نگاه میکنیم که این تابع صعودی است یا نزولی و نقاط عطف و اکسترمم آن در کجاست.


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] 7D%7Bx%7D%7D%5CRightarrow&space;ln%28y%29=%5Cfrac%7B1%7D %7Bx%7D%5C;&space;ln%28x%29%5CRightarrow&space;%28%7Bln%28y%29 %7D%29%27=%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5C;&space;ln%28x%2 9%29%7D%27%5CRightarrow&space;%5Cfrac%7B%7By%7D%27%7D%7B y%7D=%5Cfrac%7B-1%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%5C;&space;ln%28x%29&plus;%5Cfrac%7B1%7D %7Bx%5E%7B2%7D%7D%5CRightarrow&space;%7By%7D%27=%5Cfrac% 7B1%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%281-ln%28x%29%29%28%5Csqrt%5Bx%5D%7Bx%7D%29=0%5CRighta rrow&space;%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;x_%7B1%7D=0 &space;%5C%5C&space;x_%7B2%7D=e&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Crigh t.


در نتیجه تابع مورد نظر ما بعد از x=e نزولی است.



شکل این تابع به این صورت است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همانطور که واضح است تابع بعد از x=e نزولی است. بنابراین داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %3E%5Csqrt%5B%5Cpi&space;%5D%7B%5Cpi&space;%7D

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] %3E%5Csqrt%5B%5Cpi&space;%5D%7B%5Cpi&space;%7D%5CRightarrow&space;%2 8%5Csqrt%5B3%5D%7B3%7D%29%5E%7B3%5Cpi&space;%7D%3E%28%5C sqrt%5B%5Cpi&space;%5D%7B%5Cpi&space;%7D%29%5E%7B3%5Cpi&space;%7D%5C Rightarrow&space;3%5E%7B%5Cpi&space;%7D%3E%5Cpi&space;%5E%7B3%7D


موفق باشین.
89/6/13
lebesgue
04-09-2010, 22:41
با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389
با سلام
تابع f(x) = x/lnx رو در نظر می گیریم. مشتق این تابع:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{df}{dx}=%5Cfrac{ln(x)-1}{ln^2(x)}
به ازای x>e مثبته. بنابراین تابع به ازای x>e صعودی است.
پس اگر داشته باشیم a>b>e :
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{a}{ln(a) }%3E%5Cfrac{b}{ln(b)}%20%5Crightarrow%20aln(b)%3Eb ln(a)%5Crightarrow%20ln(b^{a})%3Eln(a^{b})%5Cright arrow%20b^{a}%3Ea^{b}
mir@
05-09-2010, 08:43
حل مسئله شنبه سی و هفتم



سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

دوست عزیز، davy jones مسئله را با تفصیل کامل در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])حل کرده اند. با سپاس فراوان
mir@
05-09-2010, 08:48
s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=4a_n^3-6a_n^2+a_n+1\qquad%200\le%20a_0%20\le%201
mehdi_7070
05-09-2010, 09:32
s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]



[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] B1%7D%7B2%7D%281-%5Csqrt%7B3%7D%29,%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%281+%5Csqr t%7B3%7D%29%20%5Cto%20%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinf ty%20%7D%20a_%7Bn%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D
lebesgue
07-09-2010, 18:05
با اجازه دوستان، من یه سوال میذارم:

.............................

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
با سلام

مساله ی شما به اتاق ریاضیات منتقل شد.

مفیدی

17 شهریور 1389
eh_mn
08-09-2010, 23:49
براي چه مقاديري از [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\alpha x-|x| يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

كاربر محترم 1731 لطف كردن و در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
فقط به جواب اشاره كردن. در ادامه حل كامل رو با هم مي‌بينيم
داريم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=\begin{cases}(\alpha-1)x&space;&&space;x\geq0\\&space;(\alpha&plus;1)x&space;&&space;x<0\end{cases}
ابتدا فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|\alpha|\leq1.در حالت [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] واضح است كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك‌به‌يك نيست. پس فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در اين صورت


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{\alpha-1}{1&plus;\alpha}<0
در نتيجه


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](\frac{\alpha-1}{1&plus;\alpha}\right)=\alpha-1=f(1)
كه نشان مي‌دهد تابع يك‌به‌يك نيست.

حال فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|\alpha|>1. مي‌خواهيم نشان دهيم در اين حالت تابع، يك‌به‌يك است. فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(y). اگر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هر دو مثبت يا منفي باشند واضح است كه [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] پس فرض كنيم هم علامت نباشند. بدون اين كه به كليت خللي وارد شود مي‌توان فرض كرد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] در اين صورت


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{x}{y}=\frac{\alpha-1}{\alpha&plus;1}>0
كه تناقضي آشكار است (با اين فرض كه دو عدد غيرهم علامت با مقدار تابع مساوي وجود دارند). بنابراين [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] يك‌به‌يك است.


_____________
17 شهريور 1389
eh_mn
08-09-2010, 23:54
فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چهار عدد مثبت كمتر از يك باشند. نشان دهيد هر چهار عدد زير همزمان نمي‌توانند از يك بيشتر باشند


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-b),\;4b(1-c),\;4c(1-d),\;4d(1-a)


_____________
17 شهريور 1389
lebesgue
09-09-2010, 12:51
فرض کنیم p حاصلضرب این 4 عدد باشد.

هر 4 عدد همزمان بزرگتر از 1 هستند --> p بزرگتر از یک است.

بنا به قانون عکس نقیض:

p بزرگتر از یک نیست --> هر 4 عدد همزمان بزرگتر از 1 نیستند.

پس کافی است ثابت کنیم p بزرگتر از 1 نیست.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-b)%5Ctimes4b(1-c)%5Ctimes4c(1-d)%5Ctimes4d(1-a)

می توان نوشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{4}%5Ctimes%20a(1-a)%5Ctimes%20b(1-b)%5Ctimes%20c(1-c)%5Ctimes%20d(1-d)

می دانیم که ماکزیمم تابع (f(x)=x(1-x در بازه (1 , 0) برابر است با 1/4، در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](p)=4^{4}%5Ctimes%20%5Cfrac{1}{4}%5Ct imes%20%5Cfrac{1}{4}%5Ctimes%20%5Cfrac{1}{4}%5Ctim es%20%5Cfrac{1}{4}=1

در نتیجه p بزرگتر از 1 نیست.
mofidy1
10-09-2010, 19:49
با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

با سلام

روش davy jones در پست 459 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) کاملاً درست است که از ایشان تشکر می کنم. البته 4 تابع دیگر نیز وجود دارد که با اعمال همین روش روی آن ها می توان به نتیجه ی دلخواه رسید. این راه حل ها را در تصویر زیر مطالعه فرمایید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در ضمن 1233445566 در پست 460 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])حالت کلی تر این مساله را اثبات کردند، با تشکر از ایشان.

آموزش حل مساله:

ارائه ی راه حل تابعی برای مسائل عددی.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431
mofidy1
10-09-2010, 20:02
با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در پست 460 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431
mir@
11-09-2010, 01:05
حل مسئله شنبه سی و هشتم



s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=4a_n^3-6a_n^2+a_n+1\qquad%200\le%20a_0%20\le%201



دوست عزیز mehdi_7070 مسئله را در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) حل کردند. با تشکر فراوان از ایشان، پاسخ کمی کامل تر در ادامه می آید:




[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
mir@
11-09-2010, 01:15
f10-1


فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.
lebesgue
11-09-2010, 11:33
f10-1


فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.




مجموعه {6، 33، 60،...،1977} که 74 عضو دارد را می توان به 37 مجموعه دو عضوی افراز کرد، به طوری که مجموع اعضای هر مجموعه 2010 باشد، به غیر از مجموعه {6 , 1005} .
فرض کنیم A دو عضو متمایز نداشته باشد که مجموعشان 2010 شود، در نتیجه از 36 مجموعه اول حداکثر 1 عضو، و از مجموعه {6 , 1005} حداکثر دو عضو دارد. در نتیجه A دارای حداکثر 38 عضو است که این در تناقض با فرض مسئله می باشد.
lebesgue
11-09-2010, 13:12
با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در پست 460 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431
مشابه روش پست 460، می توان نشان داد a^b = b^a اگر و فقط اگر (a/ln(a) = b/ln(b .

فرض کنیم (f(x) = x/ln(x ،
معادله x/ln(x) = c به ازای c<0 ، تنها در بازه (1 , 0) ریشه دارد و چون تابع f در این بازه نزولی است، فقط یک ریشه دارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای (c ∈ [0 , e ، ریشه ندارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای c=e ، یک ریشه دارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای c>e ، دو ریشه دارد؛ با استفاده از قضیه مقدار میانی می توان نشان داد که حداقل یک ریشه در بازه (e و 1) و حداقل یک ریشه در بازه (e , infinity) دارد و از یکنوا بودن تابع f در این دو بازه، نتیجه می شود که هر بازه حداکثر یک ریشه دارد و بنابراین معادله در هر کدام از این دو بازه دقیقا یک ریشه دارد.

تنها یک عدد صحیح در بازه (e و 1) موجود است که 2 می باشد، و می دانیم که 4، ریشه معادله x^2 = 2^x است.
در نتیجه، تنها دو زوج با شرایط مورد نظر وجود دارد، (2 , 4) و (4 , 2)
ali_hp
12-09-2010, 10:38
سلام به همه دوستان عزیز
از این که توی اتاق حل مساله رفیق نیمه راه شدم،از همه عذر می خوام.
دوباره از این هفته یکشنبه ها یک مساله میذارم که امیدوارم دوستان از حلش لذت ببرن!

یک جمع 30 نفره داریم،قرار است روی سر هر کدام از آنها یک کلاه آبی یا قر مز بگذاریم،و بعد هر کس رنگ کلاه روی سرش را حدس می زند، و به تعداد حدسهای درست به این جمع امتیاز داده می شود.
هدف این جمع این است که بیشترین امتیاز ممکن را کسب کنند..قبل از اینکه کلاه ها روی سرشان گذاشته شود می توانند با هم صحبت کنند و یک استراتژی برای حدس رنگ کلاهها در نظر بگیرند.
دقت کنید استراتژی هایی ارزشمندند که قطعا،و مستقل از اینکه کلاهها چه جوری روی سر افراد گذاشته می شوند،امتیازی را برای جمع تضمین کنند.
افراد بعد از اینکه کلاهها روی سرشان گذاشته شد دیگر نمی توانند با هم صحبت کنند،و لی هر کس که رنگ کلاهش را اعلام می کند،بقیه هم میشنوند.
مثال:یک استراتژی این است که همه رنگ قرمز را اعلام کنند،در این صورت ممکن هست مثلا همه کلاهها قرمز باشد که جمع 30 امتیاز می گیرد،ممکن است فقط نصف کلاهها قرمز باشد که جمع 15 امتیاز می گیرد،و ممکن است همه کلاهها آبی باشد که جمع صفر امتیاز می گیرد،پس با این استراتژی امتیازی جمع می تواند یقین داشته باشد که می گیرد صفر است.و این استراتژی اصلا استراتژی خوبی نیست!
بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.
lebesgue
12-09-2010, 18:02
بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.
اولین شخصی که مورد پرسش قرار می گیرد، هیچ گونه پیامی از طرف دیگران دریافت نکرده، بنابراین نمی تواند رنگ کلاهش را به طور قطعی تعیین نماید. تا اینجا مشخص می شود که جواب 30 نمی تواند باشد.

اما -با فرض اینکه هر کس می تواند کلاه دیگران را ببینید- اگر این استراتژی را پیاده کنند، به طور قطعی می توانند حداقل 29 امتیاز کسب کنند:
اولین شخصی که مورد پرسش قرار می گیرد، وظیفه دارد، که اگر تعداد کلاه های آبی که می بیند، عددی زوج است، رنگ آبی را اعلام کند و اگر فرد است، رنگ قرمز.
در اینصورت، هر کدام از 29 نفر باقیمانده خواهد دانست که تعداد افراد با کلاه آبی در این جمع 29 نفره ، زوج یا فرد است، پس اگر تعداد افراد با کلاه آبی که در این جمع 29 نفره (همه افراد به جز نفر اول) می بیند، با تعداد اعلام شده از سوی نفر اول، از نظر زوج یا فرد بودن یکسان باشد، کلاه او قرمز است و در غیر اینصورت آبی.

با این استراتژی، این 29 نفر به طور قطعی پاسخ درست را خواهند داد، و نفر اول هم به احتمال 50 درصد پاسخش درست خواهد بود.
lebesgue
12-09-2010, 23:28
با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در پست 460 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

مسئله را برای حالتی کلی تر حل می کنیم:

تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد حقیقی مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد. (فرض می کنیم مجموعه این زوج ها، A باشد)

نشان می دهیم مجموعه زوج های [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](k^{%5Cfrac{1}{k-1}},k^{%5Cfrac{k}{k-1}}) که در آن k > 0 و k ≠ 1 -این مجموعه را B می نامیم- با مجموعه A برابر است.

هر عضو مجموعه B، عضو مجموعه A است، زیرا:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](k^{%5Cfrac{1}{k-1}})^{(k^{%5Cfrac{k}{k-1}})}=k^{%5Cfrac{k^{%5Cfrac{k}{k-1}}}{k-1}}

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](k^{%5Cfrac{k}{k-1}})^{(k^{%5Cfrac{1}{k-1}})}=k^{%5Cfrac{k%5Ctimes%20k^{%5Cfrac{1}{k-1}}}{k-1}}=k^{%5Cfrac{k^{%5Cfrac{k}{k-1}}}{k-1}}

هر عضو مجموعه A ، عضو مجموعه B است، زیرا:

فرض کنیم b/a=c ، در نتیجه c > 0 و c ≠ 1 .


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{b}=b^{a}%5Crightarrow%20a^{ac}=(ac)^{ a}%5Crightarrow%20a^{c}=ac

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{c-1}=c%5Crightarrow%20a=c^{%5Cfrac{1}{c-1}}

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{b}=b^{a}%5Crightarrow%20a^{ac}=b^{a}% 5Crightarrow%20b=a^{c}

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{%5Cfrac{c}{c-1}}

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](a,b)=(c^{%5Cfrac{1}{c-1}},c^{%5Cfrac{c}{c-1}})

پس A زیرمجموعه B و B زیرمجموعه A است و در نتیجه A = B .

اما برگردیم به مسئله اصلی، حالت خاصی که در آن a و b دو عدد صحیح مثبت هستند.

اگر دو تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^{%5Cfrac{1}{x-1}} و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=x^{%5Cfrac{x}{x-1}} را بررسی کنیم، متوجه می شویم که:

به ازای (x ∈ (0 ,1 ، مقادیر g در بازه (e و 1) قرار دارد که در این بازه، تنها یک عدد صحیح یعنی 2 قرار دارد آنهم فقط به ازای x = 1/2 که داریم f(1/2) = 4 .

به ازای x > 1 ، مقادیر f در بازه (e و 1) قرار دارد که در این بازه، تنها یک عدد صحیح یعنی 2 قرار دارد آنهم فقط به ازای x=2 که داریم g(2) = 4 .

در نتیجه، مجموعه A عبارتست از:

{ (A = { (2 , 4) , (4 , 2
mofidy1
17-09-2010, 19:31
با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در پست 460 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

با سلام

از 1233445566 که در پست 473 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])و پست 476 ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) مساله را حل کردند، تشکر می کنم. روش بسیار زیبای دیگری را - که خودم از آن لذت بسیار بردم - تقدیم می کنم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آموزش حل مساله:

ارائه ی راه حل تابعی برای مسائل عددی.

موفق باشید.

26 شهریور 1389
mofidy1
17-09-2010, 19:44
با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] tan^{-1}(x)+tan^{-1}(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}.

موفق باشید.

26 شهریور 1389
lebesgue
18-09-2010, 23:12
با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] tan^{-1}(x)+tan^{-1}(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}.

موفق باشید.

26 شهریور 1389

فرض کنیم:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{-1}(%5Cfrac{1}{x})%5C%5C%20b=tan^{-1}(x)

از آنجا که رابطه مورد نظر، به ازای x>0 برقرار است، داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{%5Cpi%20}{2}

پس a و b دو زاویه حاده هستند:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

A و B از رابطه فیثاغورث (؟) بدست می آید:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2}=x^{4}+x^{2}%20%5C%5CB^{2}=x^ {2}+1

همانطور که مشاهده می شود، اضلاع مثلث در رابطه فیثاغورث صدق می کنند:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x^{4}+x^{2})+(x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{2}

در نتیجه مثلث قائم زاویه بوده، و a + b = Pi/2
ali_hp
19-09-2010, 07:42
سلام به همه دوستان عزیز
از این که توی اتاق حل مساله رفیق نیمه راه شدم،از همه عذر می خوام.
دوباره از این هفته یکشنبه ها یک مساله میذارم که امیدوارم دوستان از حلش لذت ببرن!

یک جمع 30 نفره داریم،قرار است روی سر هر کدام از آنها یک کلاه آبی یا قر مز بگذاریم،و بعد هر کس رنگ کلاه روی سرش را حدس می زند، و به تعداد حدسهای درست به این جمع امتیاز داده می شود.
هدف این جمع این است که بیشترین امتیاز ممکن را کسب کنند..قبل از اینکه کلاه ها روی سرشان گذاشته شود می توانند با هم صحبت کنند و یک استراتژی برای حدس رنگ کلاهها در نظر بگیرند.
دقت کنید استراتژی هایی ارزشمندند که قطعا،و مستقل از اینکه کلاهها چه جوری روی سر افراد گذاشته می شوند،امتیازی را برای جمع تضمین کنند.
افراد بعد از اینکه کلاهها روی سرشان گذاشته شد دیگر نمی توانند با هم صحبت کنند،و لی هر کس که رنگ کلاهش را اعلام می کند،بقیه هم میشنوند.
مثال:یک استراتژی این است که همه رنگ قرمز را اعلام کنند،در این صورت ممکن هست مثلا همه کلاهها قرمز باشد که جمع 30 امتیاز می گیرد،ممکن است فقط نصف کلاهها قرمز باشد که جمع 15 امتیاز می گیرد،و ممکن است همه کلاهها آبی باشد که جمع صفر امتیاز می گیرد،پس با این استراتژی امتیازی جمع می تواند یقین داشته باشد که می گیرد صفر است.و این استراتژی اصلا استراتژی خوبی نیست!
بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.
از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجا:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنیدمساله رو به درستي حل كردند تشكر مي كنم،راه حل من هم دقيقا همين بود.
ali_hp
19-09-2010, 07:48
سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
eh_mn
22-09-2010, 15:22
فرض كنيم [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]، [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] چهار عدد مثبت كمتر از يك باشند. نشان دهيد هر چهار عدد زير همزمان نمي‌توانند از يك بيشتر باشند


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](1-b),\;4b(1-c),\;4c(1-d),\;4d(1-a)


_____________
17 شهريور 1389

با تشكر از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
مسأله را به خوبي حل كرده‌اند.


ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
eh_mn
22-09-2010, 15:35
نشان دهيد براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد زير بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2(n^2-1)(n^2-4)

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389
lebesgue
22-09-2010, 19:29
نشان دهيد براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد زير بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2(n^2-1)(n^2-4)

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-4)=n%5Ctimes%20n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

از هر پنج عدد صحیح متوالی:

1- دستکم دو تا بر 2 بخش پذیرند که دستکم یکی از آنها بر 4 بخش پذیر می باشد، در نتیجه A بخش پذیر بر 8 است.

2- یکی بر 5 بخش پذیر است، در نتیجه A بخش پذیر بر 5 است.

3- از دو حالت زیر خارج نیست:
الف- یکی از آنها بر 3 بخش پذیر است، که در اینصورت آن عدد وسطی می باشد.
ب- دو تا از آنها بر 3 بخش پذیر است.
که در هر دو حالت، A بخش پذیر بر 9 است.

پس A بر 9*5*8 = 360 بخش پذیر است.

------------------------------------------------------
از آنجا که اینجانب به حل مسائل در حالت کلی علاقه مندم! :31:
بزرگترین عددی که حاصلضرب n عدد صحیح متوالی همواره بر آن بخش پذیر است، به روشی مشابه بدست می آید:
[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{j=1}^{%5 Cinfty%20}%5Cprod_{i=1}^{%5Cinfty%20}p_{j}^{%5Clef t%20%5Clfloor%20%5Cfrac{n}{(p_{j})^{i}}%20%5Cright %20%5Crfloor}
در اینجا p_j ، نشان دهنده j امین عدد اول است.
mir@
25-09-2010, 19:00
حل مسئله شنبه سی و نهم


f10-1


فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.







دوست عزیز، 12233445566 مسئله را به درستی در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]) حل کرده اند. خدا به ایشان خیر دهد.
mir@
25-09-2010, 19:10
حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با بهره مرکب ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.
lebesgue
25-09-2010, 23:20
حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با بهره مرکب ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.

فرض کنیم مقدار پول اولیه A_0 و مقدار پول بعد از n سال A_n باشد.

با استقراء ریاضی، به کمک رابطه بازگشتی زیر:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}=(1+i)A_{n-1}-n^{2}

ثابت می شود که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}=(1+i)^{n}(A_{0}-%5Csum_{k=1}^{n}%5Cfrac{k^2}{(1+i)^{k}})

برای اینکه شرط مسئله برقرار باشد، لازم و کافی است که به ازای هر n، مقدار A_n مثبت باشد.

می توان محاسبه کرد که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{%5Cinfty%20}%5 Cfrac{k^2}{(1+i)^{k}}=%5Cfrac{(1+i)(2+i)}{i^{3}}

در نتیجه حداقل مقدار A_0 (پول اولیه) برابر است با:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{(1+i)(2+i)}{i^{3}}
ali_hp
26-09-2010, 21:42
سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.
سلام
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.

این n عدد را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.

تعداد مضارب کوچکتر از هزار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][\frac{1000}{a_i}]است.پس داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\\\\\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}(\frac{1000}{ a_{i}}-1)\leq\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\l eq\frac{1000&plus;n}{1000}<2
ali_hp
26-09-2010, 21:49
همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\longrightarrow\math bb{R} موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x))=kx^9
lebesgue
27-09-2010, 21:55
همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\longrightarrow\math bb{R} موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x))=kx^9

قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.

بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)

اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}%3Ex_{2}%5Crightarrow%2 0f(x_{1})%3Ef(x_{2})%5Crightarrow%20f(f(x_{1}))%3E f(f(x_{2}))

اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}%3Ex_{2}%5Crightarrow%2 0f(x_{1})%3Cf(x_{2})%5Crightarrow%20f(f(x_{1}))%3E f(f(x_{2}))

در نتیجه k≤0 نیست.

برای k>0 ، تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=k^{%5Cfrac{1}{4}}x^{3} موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.

در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.
lebesgue
27-09-2010, 22:44
سلام
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.

این n عدد را [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.

تعداد مضارب کوچکتر از هزار [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]برابر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ][\frac{1000}{a_i}]است.پس داریم:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\\\\\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}(\frac{1000}{ a_{i}}-1)\leq\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\l eq\frac{1000&plus;n}{1000}<2

می توان نشان داد که n حداکثر 500 است و در نتیجه عدد 1.5 را به عنوان یک کران بالای بهتر بدست آورد.
اگر m تا از این اعداد در [1,499] باشند، هر کدام حداقل یک مضرب متمایز در [500,999] دارند، در نتیجه
حداقل m عدد از [500,999] را از دست می دهیم. بنابراین حداکثر مقدار n برابر است با m + (500-m) = 500

یک پرسش دشوار، پیدا کردن ماکزیمم مجموع معکوسات است.
eh_mn
29-09-2010, 21:30
نشان دهيد براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] عدد زير بر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بخش‌پذير است.

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]^2(n^2-1)(n^2-4)

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389


دوست گرامي 1233445566 اين سوال رو در اينجا

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
حل كردن. با تشكر فراوان از ايشان.




ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389
eh_mn
29-09-2010, 21:48
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R} تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)
نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389
lebesgue
30-09-2010, 19:58
فرض كنيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\to\mathbb{R} تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R} داشته باشيم


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)
نشان دهيد [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

دنباله زیر را:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n}=q_{n}%5Csqrt{2}-p_{n}

که در آن:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n+1}=p_{n}^{2}+2q_{ n}^{2}%20%5C%5Cq_{n+1}=2p_{n}q_{n}%20%5C%5Cp_{1}=q _{1}=1

در نظر بگیرید.
با استقراء ریاضی نشان می دهیم که برای هر n طبیعی داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|%20a_{n}%20%5Crig ht%20|%3C%5Cfrac{1}{2^{2^{n-1}}}

برای n=1 برقرار است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|%20q_{1}%5Csqrt{2 }-p_{1}%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{1}{2}

اگر برای n برقرار باشد، برای n+1 هم برقرار است:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]|%20q_{n}%5Csqrt{2 }-p_{n}%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{1}{2^{2^{n-1}}}%5C%5C%20%5C%5C%5Crightarrow%20%5Cleft%20|%20q _{n}%5Csqrt{2}-p_{n}%20%5Cright%20|^{2}%3C%5Cfrac{1}{2^{2^{n}}}%5 C%5C%20%5C%5C%5Crightarrow%20%5Cleft%20|%202q_{n}^ {2}+p_{n}^{2}-2p_{n}q_{n}%5Csqrt{2}%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{1}{ 2^{2^{n}}}%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20%5Cleft%2 0|%20%5C(2p_{n}q_{n})%5Csqrt{2}-(2q_{n}^{2}+p_{n}^{2})%5C%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac {1}{2^{2^{n}}}%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20%5Cle ft%20|%20q_{n+1}%5Csqrt{2}-p_{n+1}%20%5Cright%20|%3C%5Cfrac{1}{2^{2^{n}}}

پس به سادگی به دست می آید که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow %20%5Cinfty%20}a_{n}=0%20%5C%5C%5Clim_{n%5Crightar row%20%5Cinfty%20}%5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{x_ {0}}{a_{n}}%20%5Cright%20%5Crfloor%20a_{n}=x_{0}

که x_0 عددی حقیقی است.

فرض کنیم f(0) = k، در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=f(x+1)=f(x+%5Csqr t{2})%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20%5Cforall%20m, n%5Cin%20%5Cmathbb{Z}:f(x+m%5Csqrt{2}+n)=f(x)%5C%5 C%5C%5C%20%5Crightarrow%20%5Cforall%20n%5Cin%20%5C mathbb{N}:%20f(%5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{x_{0} }{a_{n}}%20%5Cright%20%5Crfloor%20a_{n})=f(0)=k

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow%20%5C infty%20}f(%5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{x_{0}}{a_ {n}}%20%5Cright%20%5Crfloor%20a_{n})=%5Clim_{n%5Cr ightarrow%20%5Cinfty%20}k=k

از طرفی چون f در هر نقطه x_0 پیوسته است، می توان نوشت:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{n%5Crightarrow%20%5C infty%20}f(%5Cleft%20%5Clfloor%20%5Cfrac{x_{0}}{a_ {n}}%20%5Cright%20%5Crfloor%20a_{n})=%5Clim_{x%5Cr ightarrow%20x_{0}%20}f(x)=f(x_{0})

در نتیجه برای هر x_0 عضو دامنه f داریم f(x_0) = k و این یعنی f تابع ثابت f(x) = k است.
mir@
02-10-2010, 22:14
حل مسئله شنبه چهلم



حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با بهره مرکب ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.



دوست عزیز 1233445566 مسئله را در اینجا ([ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ])به خوبی حل کرده اند. شاید نحوه محاسبه مجموع برای عده ای مبهم باشد که در سوال بعدی مطرح می شود.
mir@
02-10-2010, 22:17
مجموع زیر را محاسبه کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{%5Cinfty%20}%5 Cfrac{k^2}{(1+i)^{k}}}
baran91
03-10-2010, 12:19
سلام من در امار مشکلاتی دارم شما میتونید کمکم کنید؟سال دوم رشته ی اقتصاد بهشتی کتاب امار 2 دکتر محمد نوفرستی هم میخونم میتونید
lebesgue
03-10-2010, 19:56
مجموع زیر را محاسبه کنید:


[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{k=1}^{%5Cinfty%20}%5 Cfrac{k^2}{(1+i)^{k}}}

برای عدد صحیح m ، با فرض 1 > |x| ، تعریف می کنیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m}(x)=%5Csum_{k=1}^{%5Cin fty%20}k^{m}x^{k}

می دانیم که:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{0}(x)=%5Cfrac{x}{1-x}
نشان می دهیم برای هر m صحیح داریم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{m+1}(x)=x%5Cfrac{%5Cmathr m{d}%20f_{m}}{%5Cmathrm{d}%20x}

اثبات:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{%5Cmathrm{d}%2 0f_{m}}{%5Cmathrm{d}%20x}=%5Cfrac{%5Cmathrm{d}%20} {%5Cmathrm{d}%20x}%5Csum_{k=1}^{%5Cinfty%20}k^{m}x ^{k}=%5Csum_{k=1}^{%5Cinfty%20}%5Cfrac{%5Cmathrm{d }%20}{%5Cmathrm{d}%20x}(k^{m}x^{k})=%5Csum_{k=1}^{ %5Cinfty%20}k^{m+1}x^{k-1}%5C%5C%5C%5C%20%5Crightarrow%20x%5Cfrac{%5Cmathr m{d}%20f_{m}}{%5Cmathrm{d}%20x}=%5Csum_{k=1}^{%5Ci nfty%20}k^{m+1}x^{k}=f_{m+1}(x)

در نتیجه:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}(x)=x%5Cfrac{%5Cm athrm{d}%20f_{0}}{%5Cmathrm{d}%20x}=%5Cfrac{x}{(1-x)^{2}}%5C%5C%5C%5C%20f_{2}(x)=x%5Cfrac{%5Cmathrm{ d}%20f_{1}}{%5Cmathrm{d}%20x}=%5Cfrac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}%5C%5C%5C%5C%20%5Cleft%20|%20%5Cfrac{1}{1+i }%20%5Cright%20|%3C1%5Crightarrow%20f_{2}(%5Cfrac{ 1}{1+i})=%5Cfrac{(1+i)(2+i)}{i^{3}}

برای آشنایی با تابع Polylogarithm -که تقریبا مشابه تابع f بحث ماست- میتوانید لینک زیر را ببینید:


برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید
ali_hp
04-10-2010, 15:41
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 مساله رو به درستی حل کردند، راه حلشونو در ادامه می بینین،دقت کنید که شرط یک به ی بودن هم شرطی اضافه است،یعنی اگر در مساله قید نشده بود که f یک به یک است،با توجه به رابطه ای که f در ان صدق می کند،نتیجه می شد f یک به یک است.


همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{R}\longrightarrow\math bb{R} موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](f(x))=kx^9


قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.

بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)

اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}%3Ex_{2}%5Crightarrow%2 0f(x_{1})%3Ef(x_{2})%5Crightarrow%20f(f(x_{1}))%3E f(f(x_{2}))

اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:

[ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]{1}%3Ex_{2}%5Crightarrow%2 0f(x_{1})%3Cf(x_{2})%5Crightarrow%20f(f(x_{1}))%3E f(f(x_{2}))

در نتیجه k≤0 نیست.

برای k>0 ، تابع [ برای مشاهده لینک ، لطفا با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ](x)=k^{%5Cfrac{1}{4}}x^{3} موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.

در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.
ali_hp
04-10-2010, 15:52
سلام
آیا می توان صد کره (نه لزوما هم اندازه) را طوری در فضا قرار داد که هیچ دوتایی متقاطع نباشند،و هر کره بر حداقل یک سوم بقیه کره ها مماس باشد؟