اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 14-04-2010, 21:22

مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

$\int_{0}^{1}(1-x^2)^4dx$

(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

$\int \cos^{2n+1}xdx=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}\frac{\sin(2n-2k+1)x}{2n-2k+1}$

)

____________
25 فردوردين 89

**davy jones** · 17-04-2010, 08:29

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

$\int_{0}^{1}(1-x^2)^4dx$

(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

$\int \cos^{2n+1}xdx=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}\frac{\sin(2n-2k+1)x}{2n-2k+1}$

)

____________
25 فردوردين 89

$(1-x^{2})^{4}=x^{8}-4x^{6}+6x^{4}-4x^{2}+1\rightarrow \int_{0}^{1}(1-x^{2})^{4}dx=\int_{0}^{1}(x^{8}-4x^{6}+6x^{4}-4x^{2}+1)dx=(\frac{x^{9}}{9}-\frac{4x^{7}}{7}+\frac{6x^{5}}{5}-\frac{4x^{3}}{3}+x)\mid _{0}^{1}=\frac{1}{9}-\frac{4}{7}+\frac{6}{5}-\frac{4}{3}+1=\frac{35-180+378-420+315}{315}=\frac{128}{315}$

**mir@** · 17-04-2010, 19:04

حل مسئله شنبه بیست و هفتم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

f6-5
نشان دهید که دو سهمی با کانون های منطبق و غیرهم محور دقیقاً در دونقطه تقاطع دارند.

فرض کنیم دو خط هادی و کانون مشترک عبارتند از d1 و d2 و F
همچنین فرض کنیم که Q نقطه مشترک دو سهمی باشند. خواهیم داشت:

$d(d_1,Q)=d(F,Q)=d(d_2,Q)$

بنابراین Q مرکز دایره ای است که از F می گذرد و خطوط d1 و d2 بر آن مماسند. از آنجا که فقط دو دایره با این خصوصیات وجود دارند، فقط دو نقطه تقاطع خواهیم داشت.

**mir@** · 17-04-2010, 19:20

f9-3
فرض کنید که اعداد a1، a2 ... , an همه حقیقی باشند. بدیهی است که اگر همه مثبت باشند، n عبارت زیر همه مثبت خواهند بود.

$\sum_ia_i\\ \sum_{i<j}a_ia_j\\ \sum_{i<j<k}a_ia_ja_k\\ \vdots \\ a_1a_2a_3\ldots\a_n$

ثابت کنید که عکس قضیه هم صحیح است.

**H.R@Wolf** · 18-04-2010, 20:25

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

می توان ثابت کرد برای n عدد نامنفی a_1 تا a_n داریم:

$(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)\geq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)$

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389

ببخشيد آقاي مفيدي ، يه اشتباه كوچيك كرديد ، توان دوم سمت راست نامساوي رو نگذاشتيد.
يعني اينجوري ميشه . از نتايج نامساوي كوشي كوارتز هم مي باشد
$(a_1+a_2+...+a_n)(a_1^3+a_2^3+...+a_n^3)\geq (a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)^2$

**H.R@Wolf** · 18-04-2010, 20:36

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389

جواب سوال رو كه گفتيد !!!
جمع اعداد رو در جمع مكعبات ضرب مي كنيم ،طبق نامساوي كه گفتيد سمت چپ و راست مساوي با هم مساوي مشند و تساوي اين نامساوي زماني اتفاق مي افتد كه : $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$
كه با جايگذاري در اين مسئله اين نتيجه مي شود كه $a_1=a_2=...=a_n$
و با جايگذاري در معادله ي اول نتيجه مي شود n=32 و $a_i$ ها 1.5 ميشوند.

**eh_mn** · 21-04-2010, 21:30

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مقدار انتگرال زير را محاسبه كنيد

$\int_{0}^{1}(1-x^2)^4dx$

(راهنمايي: ابتدا با استفاده از اعداد مختلط، نشان دهيد

$\int \cos^{2n+1}xdx=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}\frac{\sin(2n-2k+1)x}{2n-2k+1}$

)

____________
25 فردوردين 89

با تشكر از davy jones كه در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مسأله رو حل كردن.
شايد بهتر بود خود راهنمايي مستقيماً سوال مي‌شد!

ـــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

**eh_mn** · 21-04-2010, 21:43

فرض كنيد $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ به گونه‌اي باشد كه براي هر m و n صحيح داشته باشيم

$f(m^2+f(n))=f^2(m)+n$

نشان دهيد
(الف) f(0)=0،
(ب) f(1)=1،
(پ) f(n)=n براي هر عدد صحيح n.

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

**davy jones** · 22-04-2010, 22:16

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ به گونه‌اي باشد كه براي هر m و n صحيح داشته باشيم

$f(m^2+f(n))=f^2(m)+n$

نشان دهيد
(الف) f(0)=0،

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

$f(m^{2}+f(n))=f^{2}(m)+n\Rightarrow m= n\equiv 0\Rightarrow f(0+f(0))=f^{2}(0)+0\Rightarrow f(f(0))=f^{2}(0)\Rightarrow f(0)\equiv x\Rightarrow f(x)=x^{2}\Rightarrow f(0)=0^{2}=0$

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

(ب) f(1)=1،

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

$f(m^{2}+f(n))=f^{2}(m)+n\Rightarrow m=1,n=0\Rightarrow f(1^{2}+f(0))=f^{2}(1)+0\Rightarrow we,know:f(0)=0\Rightarrow f(1+0)=f^{2}(1)\Rightarrow f(1)=\left\{\begin{matrix} 0\\1 \end{matrix}\right.$

از طرفی:

$m=0,n=1\Rightarrow f(0^{2}+f(1))=f^{2}(0)+1\Rightarrow we,know:f(0)=0\Rightarrow f(0+f(1))=0^{2}+f(1)\Rightarrow f(f(1))=f(1)\Rightarrow y\equiv f(1)\Rightarrow f(y)=y\Rightarrow y=1\rightarrow f(1)=1$

در نتیجه جواب f(1)=0 قابل قبول نخواهد بود.

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

(پ) f(n)=n براي هر عدد صحيح n.

ــــــــــــــــــــــــ
1 ارديبهشت 89

$f(m^{2}+f(n))=f^{2}(m)+n\Rightarrow m=0\Rightarrow f(f(n))=f^{2}(0)+n=n,(f(0)=0)\Rightarrow x\equiv f(n)\Rightarrow f(x)=n=f^{-1}(x)\Rightarrow f(x)\equiv x\Rightarrow f(n)=n$

موفق باشین.
89/2/2

**eh_mn** · 23-04-2010, 00:23

در خط دوم راه حل قسمت (الف) از اين كه $f(x)=x^2$ چه طور با جايگذاري نتيجه مي‌شه f(0)=0. از كجا مي‌دونيم مقدار x برابر صفر هست؟

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌دوم (سطح سوال: رياضيات دانشگاهي)

مسئله شنبه بیست و هشتم

این کاربر از H.R@Wolf بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌دوم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ و سوم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن