اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 06-03-2010, 23:54

حل مسئله شنبه بیست و دوم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.
سه میله کاملا یکسان داریم. یک قسمت را با طول تصادفی از هریک از میله ها جدا می کنیم. با چه احتمالی با سه قسمت جدا شده می توان یک مثلث با زوایای حاده (تند) ساخت؟ f6

از سه میله با طول L می توان میله هایی با طول xو y و z به دست آورد. اگر به هر میله یک محور اختصاص دهیم، مجموعه پیشامد ها به صورت یکسان روی $(0,L)\times(0,L)\times(0,L)$ توزیع شده است که حجم آن عبارتست از $L^3$ . زیرمجموعه پیشامدهایی که موردنظر است به صورت زیر بیان می شود:

$\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2>z^2 \\ x^2+z^2>y^2 \\y^2+z^2>x^2 \end{array} \right.$

حجم محصور توسط عبارات بالا به صورت زیر محاسبه می شود:

$L^3-\int_0^L \left( \frac{\pi x^2}{4} \right) dx-\int_0^L \left( \frac{\pi y^2}{4} \right) dy-\int_0^L \left( \frac{\pi z^2}{4} \right) dz=L^3 \left(1-\frac{\pi}{4}\right)$

بنابراین احتمال خواسته شده برابراست با

$\frac{L^3 \left(1-\frac{\pi}{4}\right)}{L^3}=1-\frac{\pi}{4}$

**mir@** · 07-03-2010, 00:06

.f5
حاصل عبارت زیر را بیابید:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}$

**eh_mn** · 10-03-2010, 18:41

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حدهاي زير را محاسبه كنيد

$\lim_{x\to0}\left(x^2\left(1+2+3+\dots+\left[\frac{1}{|x|}\right ]\right)\right)$

$\lim_{x\to0^+}\left(x\left(\left[\frac1x\right]+\left[\frac2x\right]+\dots+\left[\frac{k}{x}\right]\right)\right),\;\;\;k\in\mathbb{N}$

ــــــــــــــــــــــــ
12 اسفند 1388

با سلام

راهنمایی برای حد اول) با استفاده از فرمول

$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

داریم

$1+2+3+\dots+\left[\frac{1}{|x|}\right]=\frac{\left(\left[\frac{1}{|x|}\right]+1\right)\left[\frac{1}{|x|}\right]}{2}$

بنابراین حد مورد سوال به حدی شامل جزء صحیح تبدیل می‌شود. یکی از راه‌های متداول برای حل چنین حدهایی استفاده از نامساوی $x\leq [x]<x+1$ و قضیه‌ی فشار است.

راهنمایی برای حد دوم) پرانتز داخلی حد دوم را نیز با فرمولی مشابه قسمت اول به صورت بسته بنویسید و حد را محاسبه کنید.

ــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388

**eh_mn** · 10-03-2010, 22:46

فرض کنید

$\Delta_3=\det\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ x & h & -1& 0\\ x^2 & hx & h &-1 \\ x^3 & hx^2 & hx & h \end{bmatrix}$

و $\Delta_n$ را به طور مشابه تعریف کنید. نشان دهید

$\Delta_n=(x+h)^n$

ــــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388

**tofan_2050** · 13-03-2010, 13:49

با سلام میشه این مساله رو حل کنید
ریشه های مختلط معادلات زیر رابیابید

**mir@** · 21-03-2010, 01:31

حل مسئله شنبه بیست و سوم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.f5
حاصل عبارت زیر را بیابید:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}$

می دانیم :

$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

بنابراین:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{6(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{6(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=6\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2n+1})$

از آنجا که :

$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}=arctan x \qquad |x|\le 1$

خواهیم داشت:

$4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1}=4(\frac{\pi}{4}-1)$

و همچنین

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\big(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\big)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots=1$

در نتیجه:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{1^2+2^2+...+n^2}=6\big[1+4\big(\frac{\pi}{4}-1\big)\big]=6\pi-18$

**mir@** · 21-03-2010, 01:42

.s7
فرض کنید x و y و z سه عدد حقیقی در بازه $[-2,1]$ باشند به طوری که $x+y+z=0$

نشان دهید $x^2+y^2+z^2\le 6$

سال نو مبارک

**eh_mn** · 24-03-2010, 13:17

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید

$\Delta_3=\det\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ x & h & -1& 0\\ x^2 & hx & h &-1 \\ x^3 & hx^2 & hx & h \end{bmatrix}$

و $\Delta_n$ را به طور مشابه تعریف کنید. نشان دهید

$\Delta_n=(x+h)^n$

ــــــــــــــــــــــــ
19 اسفند 1388

باز هم از استقرا استفاده مي‌كنيم. به راحتي ملاحظه مي‌شود كه $\Delta_1=x+h$ . داريم

$\Delta_n=\det\begin{bmatrix} 1&-1&0&\dots&0&0\cr x&h&-1&\dots&0&0\cr x^2&hx&h&\dots&0&0\cr \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr x^{n-1}&hx^{n-2}&hx^{n-3}&\dots&h&-1\cr x^{n}&hx^{n-1}&hx^{n-2}&\dots&hx&h\cr \end{bmatrix}$

با جمع كردن ستون اول با ستون دوم (چون دترمينان تغيير نمي‌كند )

$\Delta_n=\det\begin{bmatrix} 1&0&0&\dots&0&0\cr x&h+x&-1&\dots&0&0\cr x^2&x(x+h)&h&\dots&0&0\cr \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\cr x^{n-1}&x^{n-2}(x+h)&hx^{n-3}&\dots&h&-1\cr x^{n}&x^{n-1}(x+h)&hx^{n-2}&\dots&hx&h\cr \end{bmatrix}$

اينك اگر بسط دترمينان را حول سطر اول بنويسيم و سپس براي محاسبه دترمينان زيرماتريس حاصل، از عبارت x+h فاكتور بگيريم به راحتي ملاحظه مي‌شود كه

$\Delta_n=(x+h)\Delta_{n-1}$

و اين، حكم مورد سوال را نتيجه مي‌دهد.

ـــــــــــــــــــــــ
4 فروردين 1389

**eh_mn** · 24-03-2010, 15:13

فرض كنيد $\{a_n\}$ دنباله‌اي از اعداد حقيقي نامنفي باشد به طوري كه براي هر دو عدد طبيعي m و n داشته باشيم $a_{m+n}\leq a_ma_n$ . نشان دهيد دنباله‌ي $\{\sqrt[n]{a_n}\}$ همگراست.

**mir@** · 27-03-2010, 19:00

حل مسئله شنبه بیست و چهارم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.s7
فرض کنید x و y و z سه عدد حقیقی در بازه $[-2,1]$ باشند به طوری که $x+y+z=0$

نشان دهید $x^2+y^2+z^2\le 6$

سال نو مبارک

$\begin{array}{lcl} x^2+y^2+z^2&=&6-\underbrace{(2+x)(1-x)}_{\ge 0}-\underbrace{(2+y)(1-y)}_{\ge 0} \\ &&-\underbrace{(2+z)(1-z)}_{\ge 0}-\underbrace{(x+y+z)}_{=0} \le 6 \\ \end{array}$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه بسیت و سوم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و هشتم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و نهم

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه بیست و چهارم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و نهم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ام

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن