اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 11-11-2009, 23:14

براي هر عدد طبيعي n نشان دهيد

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\dots+\frac{1}{(2n-1)2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$

ــــــــــــــــــــ
20 / 08 / 88

**mir@** · 14-11-2009, 19:48

حل مسئله شنبه چهاردهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید اگر یک خودرو از حالت سکون به راه افتد و فاصله یک مایل را در 1 دقیقه طی کند و در نهایت بایستد و حداکثر سرعتش 90 مایل بر ساعت باشد، حد اقل در یک نقطه با شتاب تند شونده یا کند شونده 6.6 فوت بر مجذور ثانیه حرکت کرده است.
توجه: یک مایل 5280 فوت است.

فرض کنیم v تابع سرعت ماشین باشد. می دانیم $v(0)=v(60)=0, v(t)<132, \int_0^{60} v(t)dt=5280$
با استفاده از برهان خلف فرض کنیم در هیچ نقطه ای شتاب وسیله مقدار یاد شده نباشد. یعنی $|\tfrac{dv}{dt}|<6.6$ بنابراین
$t \in (0,20], v(t)<6.6t \Rightarrow \int_0^{20} v(t)dt < 1320$

همچنین روی بازه
$t\in [40,60) ,v(t)<-6.6t+396 \Rightarrow \int_{40}^{60}v(t)dt<1320$

نهایتا روی بازه

$t\in [20,40) ,v(t)<132 \Rightarrow \int_{20}^{40}v(t)dt<2640$

در نتیجه

$\int_0^{60} v(t)dt<1320+2640+1320=5280$

اما این یک تناقض است زیرا طول مسیر 5280 فوت می باشد. بنابراین فرض خلف صحیح نیست.

**mir@** · 14-11-2009, 22:20

یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.

**CAnZO** · 15-11-2009, 05:11

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.

با سلام.
برآیند مراکز ثقل مخروط و نیمکره باید مرکز کره ای به شعاع r باشه. اگر فرمول ایندو رو درست کش رفته باشم! به این شکل درمیاد :

$\tfrac{1}{4}h=\tfrac{3}{8}r$

$h=\frac{3}{2}r$

**ali_hp** · 15-11-2009, 21:35

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(m)=(2m-1)([\frac{(2m)!+1}{2m+1}]+[ \frac{(2m)!+1}{-2m-1}]+1)+2$

نشان دهید این تابع همه اعداد اول را تولید می کند،و فقط هم اعداد اول را تولید می کند.
سطح سوال:همه کسانی که آشنایی خیلی مقدماتی با نظریه اعداد دارند!
توجه: [x] یعنی بزرگنرین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x

لم یک.(قضیه ویلسون و عکس آن):برای p>1 عدد $(p-1)!+1$ بر p بخش پذیر است اگر و فقط اگر p عددی اول باشد.

لم دو.مقدار $[x]+[-x]+1$ برای x های صحیح برابر یک است و برای x های غیر صحیح برابر صفر!

حال با استفاده از دو لم بالا مقدار $f(m)$ را برای m های مختلف حساب می کنیم:

الف)اگر m چنان باشد که 2m+1 عددی اول باشد:

طبق قضیه ویلسون برای p=2m+1 مقدار $\frac{(2m)!+1}{2m+1}$ عددی صحیح است.پس طبق لم دو داریم:

$f(m)=(2m-1)(1)+2=2m+1$

که عددی اول است!

ب)اگر m چنان باشد که 2m+1 عددی اول نباشد:

طبق عکس قضیه ویلسون برای p=2m+1 مقدار $\frac{(2m)!+1}{2m+1}$ عددی صحیح نیست،پس طبق لم دو داریم:

$f(m)=(2m-1)(0)+2=2$

که عددی اول است.
پس در هر دو حالت الف و ب f عددی اول تولید می کند.و از آنجایی که هر m طبیعی یا حالت الف را دارد یا حالت ب، پس f برای هر m عددی اول تولید می کند.

حال باید ثابت کنیم f همه اعداد اول را تولید می کند.
دقت کنید که f(4)=2.

حال فرض کنید p>2 عددی اول و فرد باشد،قرار دهید $m=\frac{p-1}{2}$ طبق قسمت الف به سادگی بدست می آید:

$f(m)=p$

پس f فقط عدد اول تولید می کند،و همه اعداد اول را نیز تولید می کند!

**CppBuilder2006** · 15-11-2009, 21:53

ali_hp @
فک کنم بخش آخر یه خرده ویرایش بخواد. چون باید ثابت کنید f(m) = p.

**ali_hp** · 15-11-2009, 22:09

$p_1,p_2,...,p_k$ تعدادی چند جمله ای هستند،بطوریکه برای هر عدد اول p عدد طبیعی مثل m و حداقل یک i بین یک و k وجود دارد به طوریکه:

$p_i(m)=p$

(یعنی $p_i$ ها همه اعداد اول را تولید می کنند)

نشان دهید درجه حداقل یکی از $p_i$ ها برابر یک است!

راهنمایی:اگر $q_1,q_2,...,q_k,...$ دنباله اعداد اول باشد داریم:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{q_k}=\infty$

سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر(آشنایی با مفهوم حد دنباله ها و سری ها)

**eh_mn** · 18-11-2009, 23:18

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي هر عدد طبيعي n نشان دهيد

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\dots+\frac{1}{(2n-1)2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}$

ــــــــــــــــــــ
20 / 08 / 88

سلام

فرض كنيم O مجموعه‌ي اعداد فرد و E مجموعه‌ي اعداد زوج از ميان اعداد 1 تا 2n باشند. اگر به طرفين تساوي مورد سوال مقدار
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$
را اضافه كنيم به تساوي معادل زير دست مي‌يابيم

$\sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)2k} =\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}$

براي عبارت سمت راست داريم

$\begin{align}\nonumber \sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)2k} & = \sum_{k=1}^n\frac1k+\sum_{k=1}^n\frac{1}{2k-1}-\frac12\sum_{k=1}^n\frac1k \cr & =\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}+\sum_{k=1}^n\frac1{2k} \cr & =\sum_{k\in O}\frac1k+\sum_{k\in E}\frac1k \cr & = \sum_{n=1}^{2n}\frac1k \end{align}$

كه درستي حكم مسآله را نشان مي‌دهد.

ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88

**eh_mn** · 18-11-2009, 23:37

فرض كنيد r1 و ... و rn ريشه‌هاي چندجمله‌اي f باشند. حاصل دترمينان زير را بر حسب a و b و f آن دو بيابيد

$\det\begin{pmatrix} r_1 & a & a & \dots & a\\ b & r_2 & a & \dots & a\\ b & b & r_3 & \dots & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \dots & r_n \end{pmatrix}$

ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88

**mir@** · 22-11-2009, 00:08

حل مسئله شنبه پانزدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یک شیء همگن شبیه قیف بستنی متشکل از مخروطی با ارتفاع h و شعاع r و یک نیم کره به شعاع r داریم. نسبت h به r را به نحوی تعیین کنید که اگر این شیء را به هر شکلی روی میز افقی قرار دهیم به طوری که نیم کره روی سطح میز قرار بگیرد، به همان شکل در حالت تعادل باقی بماند.

نوشته شده توسط CAnZO [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام.
برآیند مراکز ثقل مخروط و نیمکره باید مرکز کره ای به شعاع r باشه. اگر فرمول ایندو رو درست کش رفته باشم! به این شکل درمیاد :

$\tfrac{1}{4}h=\tfrac{3}{8}r$

$h=\frac{3}{2}r$

همون طور که دوست عزیز فرمودند مرکز ثقل جسم باید مرکز نیم کره باشه. هرچند ظاهرا فرمول درستی رو کش نرفتند متاسفانه

با توجه به شکل زیر، مرکز ثقل جسم باید در مبدأ باشد.

لذا داریم:

$\int_{-r}^0 \pi(r^2-x^2)xdx+\int_0^h \pi \frac{h-x}{h}^2r^2xdx=0$

پس از ساده کردن:

$\frac{-\pi}{4}r^4+\frac{\pi r^2h^2}{12}=0 \\ \Rightarrow \frac{h}{r}=\sqrt{3}$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هفدهم

مسئله شنبه پانزدهم (سطح: ریاضی عمومی سال اول دانشگاه)

4 کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله یکشنبه شانزدهم

3 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از CppBuilder2006 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه هفدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هفدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هجدهم

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن