اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**CppBuilder2006** · 29-07-2009, 14:44

نوشته شده توسط zahedy2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اعضاي اجتماع بايد به صورت دسته هايي از 3 عدد ترتيبي باشند

اگه اینو ثابت کنیم و ثابت کنیم دسته های سه تایی عضو مشترک ندارن فکر می کنم استدلال درسته!

**chessmathter** · 29-07-2009, 19:54

با اسقرار حل میکنیم بر روی اعضای B اثبات میکنیم
اعضای مجموعه به طور صعودی مرتب اند
فرض کنیدB یک عضو داشته باشه $B = \left\{ {b_1 } \right\}$
$b_1 - 2$ که در B نیست پس $b_1 + 1$ در A هست
از طرفی $b_1 - 1$ در B نیست پس باید $b_1 + 2$ در A باشد
حال اگه A شامل عضو دیگری مانند x باشد چون b یک عضو دارد پس x+1 وx+2 ,...در A وA شامل بینهات عضو میشود و متناهی نیست که تناقض است پس $A = \left\{ {b_1 + 1,b_1 + 2} \right\}$
حال اگر $B = \left\{ {b_1 ,b_2 } \right\}$ که بترتیب صعودی چیده شده
طبق قبل $b_1 + 1$ و $b_1 + 2$ در A هست حالا $b_2$ , $b_2-2$ مساوی $b_1$ نیست چون بعد $b_1+2=b_2$
و $b_1 + 2$ در A بوده و دو مجموعه مجزا نمیشن پس $b_2+1$ در A هست از طرفی باز نمیتونه

$b_2+1-2=b_1\rightarrow b_2=b_1+1$
و دو مجموعه مجزا نمیشن پس $b_2+2$ درA است و چون دو مجموعه مجزا و B دو عضو دارد A نمیتواند عضو دیگری داشته باشد وگرنه نامتناهی میشود پس $A = \left\{ {b_1 + 1,b_1 + 2,b_2 + 1,b_2 + 2} \right\}$
حال فرض کنید برای $B = \left\{ {b_1 ,b_2 ,...,b_m } \right\}$
داریم $A = \left\{ {b_1 + 1,b_1 + 2,b_2 + 1,b_2 + 2,...,b_m + 1,b_m + 2} \right\}$
برای $B = \left\{ {b_1 ,b_2 ,...,b_m ,b_{m + 1} } \right\}$
تا $b_m$ اثبات شده حال به طریق مشابه
$b_{m + 1} - 2 \ne b_i \Rightarrow b_i + 2 \ne b_{m + 1} ,i \in \left\{ {1,2,...,m} \right\}$
در غیر این صورت دو مجموعه متمایز نمیشوند همچنین
$b_{m + 1}+1 - 2 \ne b_i \Rightarrow b_i + 1 \ne b_{m + 1} ,i \in \left\{ {1,2,...,m} \right\}$
چون بازهم در غیر این صورت دو مجموعه متمایز نمیشوند
پس $b_{m + 1}+1,b_{m + 1}+2$ در A هستند و A به دلایل مشابه شامل عضو دیگری نیست پس
$A = \left\{ {b_1 + 1,b_1 + 2,b_2 + 1,b_2 + 2,...,b_m + 1,b_m + 2,b_{m + 1} + 1,b_{m + 1} + 2} \right\}$
که این نشان میدهد A دوبرابر B عضو دارد همچنین ما رابطه اعضای دو مجموعه را نشان دادیم

**CppBuilder2006** · 30-07-2009, 08:01

نوشته شده توسط chessmathter [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای $B = \left\{ {b_1 ,b_2 ,...,b_m ,b_{m + 1} } \right\}$
تا $b_m$ اثبات شده حال به طریق مشابه

تا $b_m$ چی اثبات شده ؟!

**mofidy1** · 30-07-2009, 10:23

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

دو عبارت زیر را برای هر عدد حقیقی مثبت a و b و c ثابت کنید:

$\begin{align} 4(a^3+b^3)&\geq (a+b)^3 \nonumber\\ 9(a^3+b^3+c^3) &\geq (a+b+c)^3 \nonumber\end{align}$

سی و دومین المپیاد ریاضی انگلستان 1996

(از کلمه ی المپیاد نترسید. مساله ی ساده اما زیبایی است!!!)

موفق باشید.

1 مرداد 1388

با سلام

از chessmathter که [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] هر دو قسمت را به خوبی و در سطح خواسته شده (اول و دوم دبیرستان) حل کردند، تشکر می کنم.

هم چنین از saber57 که قسمت الف را [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] به درستی و به روش مشابه chessmathter حل کردند، متشکرم .(البته راه حل ایشان کمی ویرایش شد.)

راه حل CppBuilder2006 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] بر اساس حساب دیفرانسیل است. اگر مشتق تابعی نسبت به یک متغیرش نامنفی باشد،این تابع نسبت به همان متغیر صعودی است. با تشکر از ایشان. (در پست 25 با تعریف ایشان خواهیم داشت 3=(f(0 که ظاهراً یک اشتباه محاسباتی در راه حل ایشان اتفاق افتاده است. در پست 27 نیز ظاهراً در ابتدای حل مساله فرض شده است که c>=b>=a)

آموزش حل مساله:

روشی را که chessmathter برای حل قسمت ب به کار بردند، به روش استفاده از مساله ی کمکی یا معاون معروف است. مساله ی کمکی مساله ای است که آن را برای خودش حل نمی کنیم، بلکه امید داریم با توجه به حل آن بتوانیم مساله ی اصلی را حل کنیم. در این جا قسمت الف، مساله ی کمکی برای قسمت ب بود.

موفق باشید.

8 مرداد 1388

**mofidy1** · 30-07-2009, 10:38

با سلام

با در دست داشتن ارتفاع خارج شده از یک رأس مثلث و زاویه ی مربوط به این رأس و محیط مثلث، آن را رسم کنید.

موفق باشید.

8 مرداد 1388

**saber57** · 31-07-2009, 03:52

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

با در دست داشتن ارتفاع خارج شده از یک رأس مثلث و زاویه ی مربوط به این رأس و محیط مثلث، آن را رسم کنید.

موفق باشید.

8 مرداد 1388

مثلث ABC با زوایای A ,B ,C و اضلاع مقابل متناظر با هر زاویه را به ترتیب با a,b,c در نظر میگیریم . فرض کنیم ارتفاع وارد شده بر ضلع BC و خارج شده از راس A را مثلا AH با حرف d نشان دهیم و همچنین زاویه A و محیط مثلث یا همان مجموع اضلاع جزء معلومات مساله اند . بیاییم معلومات را مرور کنیم :

$\angle A$
$d=AH$
$a+b+c=p$

ارتفاع AH با اندازه d مثلث ABC را به دو مثلث قائم الزاویه ABH و ACH تقسیم نموده است . در این دو مثلث :

$\Delta ABH:d=AB.sin(B)=c.sin(B)\rightarrow sin(B)=\frac{d}{c}$
$\Delta ACH:d=AC.sin(C)=b.sin(C)\rightarrow sin(C)=\frac{d}{b}$

رابطه عمومی مثلثها (بین اضلاع و زوایا :

$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}$

با جایگذاری سینوسهای زوایای B و C در فرمول فوق :

$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{\left ( \frac{d}{c} \right )}=\frac{c}{\left ( \frac{d}{b} \right )}\rightarrow \frac{a}{sin(A)}=\frac{bc}{d}\rightarrow bc=\left ( \frac{d}{sin(A)} \right )a$

در مثلث ABC :

$a^2=b^2+c^2-2bc.cos(A)=\left ( b+c \right )^{2}-2bc-2bc.cos(A)=\left ( b+c \right )^{2}-2bc\left ( 1+cos(A) \right )=\left ( b+c \right )^{2}-4bc.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )$

بیاییم روابط را مرتب کنیم :

$a^2=\left ( b+c \right )^{2}-4bc.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )$
$bc=\left ( \frac{d}{sin(A)} \right )a$
$b+c=p-a$

حالا بجای مجموع و حاصلضرب b و c در رابطه اولی جایگذاری میکنیم :

$a^2=\left ( p-a \right )^{2}-\frac{4ad.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )}{2sin\left ( \frac{A}{2} \right ).cos\left ( \frac{A}{2} \right )}=p^2+a^2-2ap-2ad.cotan\left ( \frac{A}{2} \right )$

با ساده سازی و مرتب سازی معادله فوق a براحتی بدست می آید :

$a=\frac{p^2}{2\left ( p+d.cotan\left ( \frac{A}{2} \right ) \right )}$

با بدست آمدن a سایر پارامترها براحتی بدست می آیند جون طبق روابط فوق مجموع b+c و حاصلضرب bc را داریم پس میتوان اضلاع b و c را از دو معادله دو مجهول بدست آورد و همینطور تا آخر

8 مرداد 88

**CppBuilder2006** · 31-07-2009, 07:20

فکر کنم وقتی میگن رسم کنید منظورشون اینه که فقط میشه از خط کش بدون درجه بندی و چند پرگار که دهانشون با اندازه های داده شده باز شده استفاده کرد!

**saber57** · 31-07-2009, 09:36

نوشته شده توسط CppBuilder2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فکر کنم وقتی میگن رسم کنید منظورشون اینه که فقط میشه از خط کش بدون درجه بندی و چند پرگار که دهانشون با اندازه های داده شده باز شده استفاده کرد!

وقتی پارامترها را بدست بیاری رسمش که کاری نداره

اما اگه بخواهیم رسمش کنیم محیط هم نیاز نیست . با یک خط کش، نقاله و پرگار رسم میشه . فقط کافیه ارتفاع و زاویه رسم را داشته باشیم .
طریقه رسم بدون محاسبه پارامترها (البته منظور سوال پیدا کردن سایر پارامترهای یک مثلث با استفاده از محیط زاویه راس و ارتفاع گذرنده از راس معلوم و ضلع مقابل هست ) :

یک خط افقی رسم میکنیم و ضلعی عمود بر آن به اندازه ارتفاع AH رسم میکنیم . . در سمت راست ارتفاع AH دهانه پرگار را به گونه ای باز میکنیم که از نقاط A و H بگذرد و یک دایره رسم میکنیم تا خط افقی عمود بر ارتفاع را در نقطه مثلا C قطع کند . نقطه C ,A و مرکز دایره حتما در یک راستا خواهند بود چون زاویه H برابر 90 درجه روبرو به کمان متناظر با قطر دایره به ضلع AC هست !! . ضلع AC که رسم شد ، مرکز نقاله را روی راس A و مماس بر ضلع AC قرار داده و به اندازه زاویه معلوم A ضلعی رسم میکنیم و هر جا این ضلع خط افقی را (که یک طرفش نقطه C مشخص شده ) را قطع کند ، نقطه B مشخص خواهد شد و مثلث رسم میشود .البته این روش رسم ، مثلث یکتایی نخواهد داد بلکه مثلثها خواهیم داشت و ضمنا ممکن است شرایط a+b+c=p را فراهم نکند . بهترین کار محاسبه مستقیم پارامترهاست .

9/5/88

**chessmathter** · 31-07-2009, 18:47

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

با در دست داشتن ارتفاع خارج شده از یک رأس مثلث و زاویه ی مربوط به این رأس و محیط مثلث، آن را رسم کنید.

موفق باشید.

8 مرداد 1388

َABC همان مثلثی که میخوام رسم کنیم
AH, محیط مثلث و زاویه A معلومه
دقت کنین DB=BAوAC=CE پس DE همون محیط مثلث ABC است
اگر ADE رسم شود ABC رسم میشود چون B وC به ترتیب محل برخورد عمود منصف های AD و AE است
پس تنها باید ADE رسم شه از این مثلث زاویه یه راس A و قاعده رو به رو DE و ارتفاع AH داریم
برای رسم مثلث قاعده DE و کمان زاویه A رسم میکنیم بعد خطی موازی DE به فاصله AH رسم میکنیم تا کمان رو در نقطه قطع کنه هر کدام از این نقطه ها میتونین A بگیرین

طریقه رسم کمان A هم اینه که عمود منصف DE رسم بعد از E وD زاویه های A-90 درجه جدا کرده تا عمود منصف رو در O قطع کنه

**chessmathter** · 31-07-2009, 19:04

نوشته شده توسط saber57 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مثلث ABC با زوایای A ,B ,C و اضلاع مقابل متناظر با هر زاویه را به ترتیب با a,b,c در نظر میگیریم . فرض کنیم ارتفاع وارد شده بر ضلع BC و خارج شده از راس A را مثلا AH با حرف d نشان دهیم و همچنین زاویه A و محیط مثلث یا همان مجموع اضلاع جزء معلومات مساله اند . بیاییم معلومات را مرور کنیم :

$\angle A$
$d=AH$
$a+b+c=p$

ارتفاع AH با اندازه d مثلث ABC را به دو مثلث قائم الزاویه ABH و ACH تقسیم نموده است . در این دو مثلث :

$\Delta ABH:d=AB.sin(B)=c.sin(B)\rightarrow sin(B)=\frac{d}{c}$
$\Delta ACH:d=AC.sin(C)=b.sin(C)\rightarrow sin(C)=\frac{d}{b}$

رابطه عمومی مثلثها (بین اضلاع و زوایا :

$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{sin(B)}=\frac{c}{sin(C)}$

با جایگذاری سینوسهای زوایای B و C در فرمول فوق :

$\frac{a}{sin(A)}=\frac{b}{\left ( \frac{d}{c} \right )}=\frac{c}{\left ( \frac{d}{b} \right )}\rightarrow \frac{a}{sin(A)}=\frac{bc}{d}\rightarrow bc=\left ( \frac{d}{sin(A)} \right )a$

در مثلث ABC :

$a^2=b^2+c^2-2bc.cos(A)=\left ( b+c \right )^{2}-2bc-2bc.cos(A)=\left ( b+c \right )^{2}-2bc\left ( 1+cos(A) \right )=\left ( b+c \right )^{2}-4bc.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )$

بیاییم روابط را مرتب کنیم :

$a^2=\left ( b+c \right )^{2}-4bc.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )$
$bc=\left ( \frac{d}{sin(A)} \right )a$
$b+c=p-a$

حالا بجای مجموع و حاصلضرب b و c در رابطه اولی جایگذاری میکنیم :

$a^2=\left ( p-a \right )^{2}-\frac{4ad.cos^{2}\left ( \frac{A}{2} \right )}{2sin\left ( \frac{A}{2} \right ).cos\left ( \frac{A}{2} \right )}=p^2+a^2-2ap-2ad.cotan\left ( \frac{A}{2} \right )$

با ساده سازی و مرتب سازی معادله فوق a براحتی بدست می آید :

$a=\frac{p^2}{2\left ( p+d.cotan\left ( \frac{A}{2} \right ) \right )}$

با بدست آمدن a سایر پارامترها براحتی بدست می آیند جون طبق روابط فوق مجموع b+c و حاصلضرب bc را داریم پس میتوان اضلاع b و c را از دو معادله دو مجهول بدست آورد و همینطور تا آخر

8 مرداد 88

این راه حل درسته احتمالا هم تو محاسبه b وc اون آخر که معادله درجه 2 میشه ریشه مضاعف داره یعنی حتما

نوشته شده توسط CppBuilder2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فکر کنم وقتی میگن رسم کنید منظورشون اینه که فقط میشه از خط کش بدون درجه بندی و چند پرگار که دهانشون با اندازه های داده شده باز شده استفاده کرد!

در رسم شما خط کشی مدرج و نقله و پرگار میتونین استفاده کنین مگه اینکه ذکر کنن مثلا
یه زاویه 60 درجه رو با پرگار و خط کش به 3 قسمت کن اگه تونستی؟!

نوشته شده توسط CppBuilder2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تا $b_m$ چی اثبات شده ؟!

تا اونجا طبق فرض استقرا درست در نظر گرفتیم

نوشته شده توسط saber57 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

وقتی پارامترها را بدست بیاری رسمش که کاری نداره

اما اگه بخواهیم رسمش کنیم محیط هم نیاز نیست . با یک خط کش، نقاله و پرگار رسم میشه . فقط کافیه ارتفاع و زاویه رسم را داشته باشیم .
طریقه رسم بدون محاسبه پارامترها (البته منظور سوال پیدا کردن سایر پارامترهای یک مثلث با استفاده از محیط زاویه راس و ارتفاع گذرنده از راس معلوم و ضلع مقابل هست ) :

یک خط افقی رسم میکنیم و ضلعی عمود بر آن به اندازه ارتفاع AH رسم میکنیم . . در سمت راست ارتفاع AH دهانه پرگار را به گونه ای باز میکنیم که از نقاط A و H بگذرد و یک دایره رسم میکنیم تا خط افقی عمود بر ارتفاع را در نقطه مثلا C قطع کند . نقطه C ,A و مرکز دایره حتما در یک راستا خواهند بود چون زاویه H برابر 90 درجه روبرو به کمان متناظر با قطر دایره به ضلع AC هست !! . ضلع AC که رسم شد ، مرکز نقاله را روی راس A و مماس بر ضلع AC قرار داده و به اندازه زاویه معلوم A ضلعی رسم میکنیم و هر جا این ضلع خط افقی را (که یک طرفش نقطه C مشخص شده ) را قطع کند ، نقطه B مشخص خواهد شد و مثلث رسم میشود .البته این روش رسم ، مثلث یکتایی نخواهد داد بلکه مثلثها خواهیم داشت و ضمنا ممکن است شرایط a+b+c=p را فراهم نکند . بهترین کار محاسبه مستقیم پارامترهاست .

9/5/88

همونطور که گفتی این 2000000000000 مثلث میشه ساخت

تو رسم حتما جواب یکتاست مگه ذکر کنن تعداد جواب ها مثلا چند تا میشه

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله ی پنج شنبه ی دوم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی سوم (سطح سوال: سوم ریاضی)

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن