اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**lebesgue** · 26-11-2010, 15:43

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آیا دنباله ای از عددهای به صورت $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به $\sqrt{2}$ میل کند؟

بله، دنباله روبرو:

$\120dpi a_n=\sqrt[3]{n+\left \lfloor 3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}} \right \rfloor}-\sqrt[3]{n}$

بنا به خواص تابع کف می توان نوشت:

$\120dpi \120dpi \sqrt[3]{n+3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}}-1}-\sqrt[3]{n}\: \: \<<a_n\leq \: \: \sqrt[3]{n+3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{n}$

حد طرف راست را محاسبه می کنیم.
برای این منظور از اتحاد روبرو استفاده می شود:

$\120dpi a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}=\frac{a-b}{a^\frac{2}{3}+a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}$

$\120dpi \\\lim_{n\rightarrow\infty }\sqrt[3]{n+3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{n}=\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}}}{(n+3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}})^\frac{2}{3}+(n+3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}})^\frac{1}{3}n^\frac{1}{3}+n^\frac{2}{3}}\\\\\\ =\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{3\sqrt{2}n^{\frac{2}{3}}}{n^\frac{2}{3}[(1+3\sqrt{2}n^{\frac{-1}{3}})^\frac{2}{3}+(1+3\sqrt{2}n^{\frac{-1}{3}})^\frac{1}{3}+1]}\\\\\\ =3\sqrt{2}\lim_{n\rightarrow\infty }\frac{1}{(1+3\sqrt{2}n^{\frac{-1}{3}})^\frac{2}{3}+(1+3\sqrt{2}n^{\frac{-1}{3}})^\frac{1}{3}+1}=3\sqrt{2}(\frac{1}{3})=\sqrt{2}$

به طور کاملا مشابه حد سمت چپ نیز محاسبه شده و در نتیجه از قضیه فشردگی نتیجه می شود:

$\120dpi \\\lim_{n\rightarrow\infty }a_n=\sqrt{2}$

**ali_hp** · 28-11-2010, 15:50

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آیا دنباله ای از عددهای به صورت $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ (که mو n طبیعیند)وجود دارد که به $\sqrt{2}$ میل کند؟

با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که در پست بالا مساله رو خیلی زیبا حل کردن.من یک راه حل دیگه هم میگم:
کافی است ثابت کنیم برای هر t>0 عددی به فرم مورد نظر وجود دارد که فاصله اش از رادیکال دو کمتر از t است.

برای هر k صحیح و نامنفی تعریف کنید:

$a_k=\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}$

با توجه به اینکه :
$a_k=\sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}=\frac{1}{\sqrt[3]{(k+1)^2}+\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{(k+1)k}}$

به وضوح جملات این دنباله مثبتند و حد این دنباله برابر صفر می شود.
پس N طبیعی وجود دارد که برای k های بزرگتر یا مساوی N جمله k ام دنباله کوچکتر از t شود.
حال بزرگترین R صحیح نامنفی را در نظر بگیرید که

$\sum_{k=M}^{R}a_k=\sqrt[3]{R+1}-\sqrt[3]{M}<\sqrt{2}$

به وضوح عدد بالا عددی به فرم مورد نظر است که فاصله اش از رادیکال دو کمتر از t است.

**ali_hp** · 28-11-2010, 18:52

فرض کنید:
$f(x)=\sum_{k=1}^na_k\tan(b_kx)$

که در آن $b_i$ ها اعداد حقیقی مثبت و دو به دو متمایز باشند و $a_i$ ها نیز اعداد حقیقی دلخواهی باشند.
اگر f در سرتاسر دامنه تعریفش برابر صفر باشد،ثابت کنید همه $a_i$ ها صفرند.(منظور از دامنه تعریف f بزرگترین زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که f با ضابطه داده شده در آن با معنی ا ست.)

**ali_hp** · 05-12-2010, 12:52

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید:
$f(x)=\sum_{k=1}^na_k\tan(b_kx)$

که در آن $b_i$ ها اعداد حقیقی مثبت و دو به دو متمایز باشند و $a_i$ ها نیز اعداد حقیقی دلخواهی باشند.
اگر f در سرتاسر دامنه تعریفش برابر صفر باشد،ثابت کنید همه $a_i$ ها صفرند.(منظور از دامنه تعریف f بزرگترین زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی است که f با ضابطه داده شده در آن با معنی ا ست.)

فرض کنید همه a_i ها صفر نباشند.
در بین همه i هایی که a_i ناصفر است،i ای را درنظر بگیرید که b_i متناظر با آن مینیمم باشد.و آن را k بنامید.حال به سادگی می توان دید که با نزدیک کردن x از پایین به
$\frac{\pi}{2b_k}$
می توان مقدارf را از هر عدد دلخواهی بیشتر کرد.که تناقض است.

**ali_hp** · 05-12-2010, 16:49

فرض کنید $\pi(x)$ برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
$\pi(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

**lebesgue** · 10-12-2010, 14:44

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید $\pi(x)$ برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
$\pi(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

خیر.
بنا به قضیه اعداد اول داریم:

$\120dpi \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\pi (x)}{x/ln(x)}=1$

فرض کنیم دو چند جمله ای P و Q با شرط مورد نظر وجود داشته باشند:

$\120dpi \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_nx^n+...+a_0}{b_mx^m+...+b_0}$

در اینصورت خواهیم داشت:

$\120dpi \\\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\pi (x)}{x/ln(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{P(x)/Q(x)}{x/ln(x)}\\\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln(x)P(x)}{xQ(x)}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln(x)(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...)}{x(a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...)}\\\\\\ =\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln(x)x^n(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+...)}{x^{m+1}(a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+...)}=\frac{a_n}{a_m}\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln(x)}{x^{m+1-n}}$

اگر m+1 ≤ n باشد، حد بالا موجود نیست (به بینهایت میل می کند).
اگر m > n ، با استفاده از قاعده هوپیتال خواهیم داشت:

$\120dpi \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ln(x)}{x^{m+1-n}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1/x}{(m+1-n)x^{m-n}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{(m+1-n)x^{m+1-n}}=0$

که هر دو حالت در تناقض با قضیه اعداد اول می باشد.

**mir@** · 11-12-2010, 05:36

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهید که اگر a و b اعداد حقیقی بوده و اعداد u_0, u_1, ... دنباله زیر را تولید کنند:

$u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}, n\ge1$

آنگاه تابع $f(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n\frac{x^n}{n!}$ شرط زیر را ارضا می کند:

$f(x)=-e^{ax}f(-x)$

دوست عزیز 1233445566 مسئله را به درستی در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند باتشکر از ایشان. ضمنا همان طور که تذکر دادند u_0 وجود ندارد و دنباله از u_1 شروع می شود

**mir@** · 11-12-2010, 05:45

نشان دهید که اگر r_1, r_2, r_3 ریشه های چندجمله ای $p(x)=x^3-2x^2+ax+b$ رابطه $0<r_i<1, i=1,2,3$ را ایجاب کنند آنگاه:
1) $2\sqrt{1-r_i}.\sqrt{1-r_j}\le r_k$ به ازاء تمام ترکیبات مختلف آنها از 1,2,3
2) $8a+9b\le8$
3) نامساوی شماره 2) بهترین نامساوی ممکن است

**ali_hp** · 12-12-2010, 11:05

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید $\pi(x)$ برابر تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی x باشد.آیا دو چند جمله ای P و Q با ضرایب حقیقی وجود دارند که برای هر x طبیعی داشته باشیم:
$\pi(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که در اینجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

به درستی مساله رو حل کردن.راه حل ایشون بر مبنای سرعت رشد تابع توزیع اعداد اوله،منم یک راه حل میگم که با استفاده از اینه که تابع توزیع اعداد اول در هر بازه ای از اعداد مرکب ثابت می ماند.
حل مساله:
فرض کنید P,Q دو چند جمله ای با شرایط مورد نظر باشند،و فرض کنید که k عددی طبیعی باشد که از درجه هر دو چندجمله ای P , Q اکیدا بزرگتر باشد.
به وضوح همه k عدد زیر مرکب اند:

$(k+1)!+2 , (k+1)!+3,...,(k+1)!+k, (k+1)!+k+1$

پس داریم:

$\pi((k+1)!+2)=\pi((k+1)!+3)=...=\pi((k+1)!+k+1)=c$

پس چند جمله ای P-cQ برای k مقدار متمایز برابر صفر می شود،اما این چند جمله ای از درجه حداکثر k-1 است،پس باید متحد با صفر باشد.بنابر این همواره داریم:

$\pi(x)=\frac{p(x)}{Q(x)}=c$
که به وضوح نادرست است،زیرا مثلا داریم:

$\pi(2)=1,\pi(3)=2$

**ali_hp** · 13-12-2010, 11:44

n , b ا عدادی طبیعی هستند،به طوری که برای هر عدد طبیعی k ، عدد طبیعی مثل x وجود دارد که عبارت زیر عددی صحیح شود:

$\frac{x^n-b}{k}$

نشان دهید b برابر توان n ام یک عدد طبیعی است.

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله یکشنبه بیست و هفتم

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله یکشنبه بیست و هشتم

حل مساله یکشنبه بیست و هشتم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه بیست و نهم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مسئله شنبه چهل و چهارم

مسئله شنبه چهلم و پنجم

حل مساله یکشنبه بیست و نهم

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله یکشنبه سی ام

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن