اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 06-11-2010, 21:29

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )

$t_1+t_2+\cdots+t_n=\bigg[ \frac{n}{1}\bigg]+\bigg[ \frac{n}{2}\bigg]+\cdots+\bigg[ \frac{n}{n}\bigg]$

دوست عزیز 1233445566778899 الی آخر مسئله را به درستی در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند

**mir@** · 06-11-2010, 21:35

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

$\prod_{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i>1$

**ali_hp** · 07-11-2010, 17:23

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

عد حقيقي a ريشه معادله زير است:

$x^{13}-x^{11}+x^{9}-x^{7}+x^{5}-x^{3}+x-2 = 0$

ثابت كنيد:

$[a^{14}]=3$

سلام
از همه دوستان بخاطر تاخير زياد عذر مي خوام.
دوست عزيز 1233445566 مساله رو به درستي در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حل كردن.البته راه حل كاملا طبيعيه!و طولاني بودنش عيبي نيست. البته در انتهاي راه حل بعضي از جزئيات به عهده خواننده گذاشته شده است!
در قسمت اول راه حلشون ايده بدست آوردن تعميم اتحاد چاق و لاغر مي بينيد!(اتحاد مربوط به تفاضل دو توان n ام)
كه البته ميشه مستقيما از اون اتحاد استفاده كرد،و نيازي به اثباتش نيست.

اينم يك راه حل ديگه كه كليتش فرقي با راه حل دوستمون فرقی نداره:

$x^{13}-x^{11}+x^{9}-x^{7}+x^{5}-x^{3}+x-2 = 0\\ \Rightarrow x(x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1) = 2\Rightarrow\\ x\cdot\frac{(x^{2})^{7}+1}{x^{2}+1}= 2$

بنابر اين x مثبت است...

$\Rightarrow x^{14}=\frac{2(x^{2}+1)}{x}-1\geq 2\times2-1 = 3$

حال ثابت مي كنيم:

$x^{14}=\frac{2(x^{2}+1)}{x}-1 < 4$

دقت كنيد كه x>1 زيرا x مثبت است و:

$x^{14}\geq3 > 1$

بنابر اين:

$2 = x\cdot\frac{(x^{2})^{7}+1}{x^{2}+1}> x\Rightarrow x < 2$

داريم:

$\frac{2(x^{2}+1)}{x}-1 < 4\Longleftrightarrow\frac{2(x-\frac{1}{2})(x-2)}{x}< 0$

كه با توجه به اينكه

$1 < x < 2$

درست است.

**ali_hp** · 08-11-2010, 12:49

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.

**lebesgue** · 09-11-2010, 18:08

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید که n>=2 و x_i عضوی از (0,1) باشد، آنگاه نشان دهید:

$\prod_{i=1}^n(1-x_i)+\sum_{i=1}^nx_i>1$

برای n=2 که برقرار هست:

$[(1-x_{1})(1-x_{2})]+[x_{1}+x_{2}]=[1-x_{1}-x_{2}+x_{1}x_{2}]+[x_{1}+x_{2}]=1+x_{1}x_{2}>1$

فرض کنیم برای n=k برقرار باشد، به ترتیب زیر معلوم می شود که برای n=k+1 هم برقرار است:

$\\\prod_{i=1}^{k+1}(1-x_{i})+\sum_{i=1}^{k+1}x_{i}=(1-x_{k+1})\prod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+\sum_{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\\\\\\ =\left [ \prod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+\sum_{i=1}^{k}x_{i} \right ]+x_{k+1}-x_{k+1}\prod_{i=1}^{k}(1-x_{i})\\\\\\ =\underset{>1}{\underbrace{\left [ \prod_{i=1}^{k}(1-x_{i})+\sum_{i=1}^{k}x_{i} \right ]}}+x_{k+1}\underset{>0}{\underbrace{\left [ 1-\prod_{i=1}^{k}(1-x_{i}) \right ]}}>1$

عبارت سمت چپ که بنا به فرض بزرگتر از 1 است، عبارت سمت راست هم به این خاطر بزرگتر از صفر است که حاصلضرب تعدادی عدد بین 0 و 1، عددی بین 0 و 1 خواهد بود.

**lebesgue** · 09-11-2010, 18:30

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي هر عدد گنگ a ثابت كنيد اعداد گنگ m و n وجود دارند بطوريكه a*m و a+n هر دو گنگ باشند و a*n و a+m هر
دو گويا باشند.

وجود m :

حداقل یکی از دو مقدار $m=1-a$ یا $m=2-a$ در شرایط مورد نظر صدق می کند.

هر دو در شرط جمع که صدق می کنند، گنگ هم هستند، اگر اولی در شرط ضرب هم صدق کند، حکم ثابت شده است.

اما اگر صدق نکند، به این معنا خواهد بود که: $(1-a)a=a-a^{2}\in \mathbb{Q}$

در نتیجه دومی در شرط ضرب صدق می کند: $(2-a)a=2a-a^{2}=a+(a-a^{2})\in \mathbb{I}$

چون می دانیم حاصل جمع یک عدد گنگ و یک گویا، همواره گنگ است (به سادگی از تعریف عدد گویا و گنگ بدست می آید).

وجود n :
حداقل یکی از دو مقدار $n=\frac{1}{a}$ یا $n=\frac{2}{a}$ در شرایط مورد نظر صدق می کند.

هر دو در شرط ضرب که صدق می کنند، گنگ هم هستند، اگر اولی در شرط جمع هم صدق کند، حکم ثابت شده است.

اما اگر صدق نکند، به این معنا خواهد بود که: $\frac{1}{a}+a\in \mathbb{Q}$

در نتیجه دومی در شرط جمع صدق می کند: $\frac{2}{a}+a=\frac{1}{a}+(\frac{1}{a}+a)\in \mathbb{I}$

منظور از $\mathbb{Q}$ مجموعه اعداد گویا، و $\mathbb{I}$ مجموعه اعداد گنگ می باشد.

**mofidy1** · 11-11-2010, 19:12

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

n- امین عدد اول را p_n بنامید و ثابت کنید که p_n<2^n. (فرض کنید که n از 1 بزرگ تر است.)

موفق باشید.

6 آبان 1389

با سلام

بر اساس قضیه ی چپیشف (یا حدس برتراند) اگر n یک عدد طبیعی بزرگ تر از 1 باشد، بین n و 2n حداقل یک عدد اول وجود دارد. حال به استقراء و شروع از حالت 2 به توان n و 2 به توان n+1 ، قضیه ثابت می شود.

موفق باشید.

آموزش حل مساله:

استقراء ریاضی

موفق باشید.

20 آبان 1389

**mofidy1** · 11-11-2010, 19:27

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

$\150dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx$

موفق باشید.

20 آبان 1389

**davy jones** · 11-11-2010, 22:27

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

تابع f را تابعی حقیقی و پیوسته با دامنه ی اعداد نامنفی در نظر بگیرید به گونه ای که حد آن در بی نهایت 1 شود. عبارت زیر را محاسبه کنید:

$\150dpi \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx$

موفق باشید.

20 آبان 1389

واضح است که:

$\lim_{n \to \infty }f(n)=1\; \; \overset{if\; x\neq 0}{\rightarrow} \; \; \lim_{n \to \infty }f(nx)=1$

از طرفی چون انتگرال گیری روی متغیر x انجام میشود، پس مانعی ندارد که ابتدا حد عبارت $\lim_{n \to \infty }f(nx)$ را حساب کنیم و سپس از آن بر حسب x انتگرال گیری کنیم. پی در نتیجه داریم:

$\lim_{n \to \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx=\int_{2010}^{1389}[\lim_{n \to \infty }f(nx)]dx$

و چون بازه ی انتگرال گیری به ما میگوید که x شامل صفر نمیشود، پس حد عبارت $\lim_{n \to \infty }f(nx)$ در بازه ی مذکور همواره برابر با یک است. پس داریم:

$\lim_{n \to \infty }\int_{2010}^{1389}f(nx)dx=\int_{2010}^{1389}[\lim_{n \to \infty }f(nx)]dx=\int_{2010}^{1389}dx={\color{red} 1389-2010=-621}$

موفق باشین.
89/8/20

**lebesgue** · 13-11-2010, 15:23

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از طرفی چون انتگرال گیری روی متغیر x انجام میشود، پس مانعی ندارد که ابتدا حد عبارت $\lim_{n \to \infty }f(nx)$ را حساب کنیم و سپس از آن بر حسب x انتگرال گیری کنیم.

davy jones عزیز، ممکنه توضیح بدین چطوری این نتیجه رو گرفتید؟
متشکرم

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه چهلم و سوم

حل مساله يكشنبه بيست و پنجم

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله يكشنبه بيست و ششم

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله ی پنج شنبه ی سی و هشتم (سطح سوال: دانشگاه)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله ی پنج شنبه ی سی و نهم (سطح سوال: ریاضی عمومی دانشگاه)

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن