اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 13-10-2010, 20:18

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ تابعي پيوسته باشد به طوري كه براي هر $x\in\mathbb{R}$ داشته باشيم

$f(x)=f(x+1)=f\left(x+\sqrt{2}\right)$

نشان دهيد $f$ تابعي ثابت است.

ـــــــــــــــــــــ
7 مهر 1389

جناب 1233445566 به زيبايي اين مسأله رو در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

حل كردن. از راه حل زيباي ايشان تشكر مي‌كنم.

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

**eh_mn** · 13-10-2010, 20:30

دو دنباله‌ي $\{x_n\}$ و $\{y_n\}$ به صورت زير تعريف شده‌اند

$\\x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_n^2},\\\\ y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_n^2}},\\\\ x_1=y_1=\sqrt{3}$

نشان دهيد $2<x_ny_n<3$ براي هر $n>1$ .

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

**lebesgue** · 13-10-2010, 20:46

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای هر عدد صحیح و مثبت n فرض کنید t_n نشان دهنده تعداد مقسوم علیه های n باشد که شامل 1 و n هم می شود. نشان دهید ( [] یعنی جزء صحیح )

$t_1+t_2+\cdots+t_n=\bigg[ \frac{n}{1}\bigg]+\bigg[ \frac{n}{2}\bigg]+\cdots+\bigg[ \frac{n}{n}\bigg]$

دنباله $m_{i}(j)$ را برای اعداد طبیعی i و j چنین تعریف می کنیم:
مقدارش برابر با 1 است اگر i بر j بخش پذیر باشد و 0 است اگر نباشد.

در اینصورت دو نتیجه بدست می آید:
$\\\sum_{j=1}^{i}m_{i}(j)=t_{i}\\\\ \sum_{i=1}^{n}m_{i}(j)=\left \lfloor \frac{n}{j} \right \rfloor$

دومی، تعداد مضارب j در میان اعداد نابزرگتر از n می باشد.
همچنین چون $m_{i}(j)$ به ازای j > i برابر با صفر است، برای اولی می توان نوشت:
$t_{i}=\sum_{j=1}^{n}m_{i}(j)$

از طرف چپ تساوی شروع می کنیم:
$t_{1}+t_{2}+...+t_{n}=\sum_{i=1}^{n}t_{i}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}m_{i}(j)$

که بنا به خواص $\sum$ می توان نوشت:
$=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}m_{i}(j)=\sum_{j=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{j} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \frac{n}{n} \right \rfloor$

که این، طرف راست تساوی می باشد.

**lebesgue** · 13-10-2010, 21:42

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:

$x+y+z=2\\$

$xy+yz+zx=1$

$xyz=p$

یک معادله درجه 3 در حالت کلی، دارای 3 ریشه (مختلط) می باشد. یک معادله درجه 3 با ریشه های r1 و r2 و r3 را در نظر بگیرید، در اینصورت:

$\\(t-r_{1})(t-r_{2})(t-r_{3})=0 \\\\ \rightarrow (t^{2}-(r_{1}+r_{2})t+r_{1}r_{2})(t-r_{3})=0\\\\ \rightarrow t^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})t^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})t-r_{1}r_{2}r_{3}=0$

بنابراین، ریشه های معادله زیر، در دستگاه مورد نظر صدق می کنند و برعکس:

$\\t^{3}-2t^{2}+t-p=0\\\\ \rightarrow t^{3}-2t^{2}+t=p$

جواب مسئله برابر است با مقادیر حقیقی p که به ازای آن، هر سه ریشه معادله بالا حقیقی باشند.

برای این منظور، p باید بین ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع $\100dpi \small t^{3}-2t^{2}+t$ باشد، یعنی $\100dpi \small 0\leq p\leq \frac{4}{27}$ .

**lebesgue** · 14-10-2010, 19:11

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دو دنباله‌ي $\{x_n\}$ و $\{y_n\}$ به صورت زير تعريف شده‌اند

$\\x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_n^2},\\\\ y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_n^2}},\\\\ x_1=y_1=\sqrt{3}$

نشان دهيد $2<x_ny_n<3$ براي هر $n>1$ .

ــــــــــــــــــــ
21 مهر 1389

از اتحادهای مثلثاتی می دانیم:

$\frac{sin(a)}{1+cos(a)}=tan(\frac{a}{2})\: \: \: ,\: \: \: \frac{1+cos(a)}{sin(a)}=cot(\frac{a}{2})$

قرار می دهیم:

$x_{n}=cot(a)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0<a<90\\\\ \rightarrow x_{n+1}=cot(a)+\sqrt{1+cot^{2}(a)}\\\\ =cot(a)+\frac{1}{sin(a)}=\frac{1+cos(a)}{sin(a)}=cot(\frac{a}{2})\\\\ x_{1}=\sqrt{3}=cot(30)\rightarrow x_{n}=cot(\frac{30}{2^{n-1}})$

بطور مشابه:

$y_{n}=tan(a)\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0<a<90\\\\ \rightarrow y_{n+1}=\frac{tan(a)}{1+\sqrt{1+tan^{2}(a)}}\\\\\\\ =\frac{tan(a)}{1+\frac{1}{cos(a)}}=\frac{sin(a)}{1+cos(a)}=tan(\frac{a}{2})\\\\ y_{1}=\sqrt{3}=tan(60)\rightarrow y_{n}=tan(\frac{60}{2^{n-1}})$

در نتیجه:

$x_{n}y_{n}=cot(\frac{30}{2^{n-1}})tan(\frac{60}{2^{n-1}})\\\\ =cot(b)tan(2b)=cot(b)(\frac{2tan(b)}{1-tan^{2}(b)})=\frac{2}{1-tan^{2}(b)}\\\\ n>1\rightarrow 0<b<30\rightarrow 2<\frac{2}{1-tan^{2}(b)}<3\rightarrow 2<x_{n}y_{n}<3$

**mofidy1** · 15-10-2010, 15:42

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:

$\150dpi tan^{-1}(x)+tan^{-1}(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}.$

موفق باشید.

26 شهریور 1389

با سلام و عذر تقصیر به علت تأخیر زیاد

از 1233445566 که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساله را حل کردند، تشکر می کنم. البته استدلال ساده تر از این هم وجود دارد: یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع غیر وتر x و 1 در نظر بگیرید؛ x و معکوس x را بر حسب تانژانت دو زاویه ی غیر قائم بنویسید. حال اگر این دو زاویه را بر حسب تانژانت معکوس x و معکوس x دوباره نویسی کنید، مطلب با جمع طرفین به دست می آید.

آموزش حل مساله:

«استدلالات» هندسی برای قضایای مثلثاتی.

موفق باشید.

23 مهر 1389

**mofidy1** · 15-10-2010, 15:58

با سلام

سه مرد گرسنه در حالی که کیسه ای سیب به همراه داشتند، در جایی به خواب رفتند. در نیمه های شب یکی از مردها بیدار شد و یک سوم سیب ها را خورد و خوابید. کمی بعد دومی بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد و خوابید. بالاخره مرد سوم بیدار شد و یک سوم باقی مانده ی سیب ها را خورد. وقتی خوردن او تمام شد، 8 سیب در کیسه باقی مانده بود. در ابتدا چند سیب در کیسه بوده است؟

توضیح:

مساله را فقط به روش جبری حل نکنید؛ راه حل های زیبا و خوش ساخت نیز وجود دارند.

موفق باشید.

23 مهر 1389

**ali_hp** · 18-10-2010, 20:42

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همه عددهای حقیقی p را بیابید که دستگاه معادلات زیر دارای در مجموعه اعداد حقیقی جواب داشته باشد:

$x+y+z=2\\$

$xy+yz+zx=1$

$xyz=p$

سلام
با تشکر از دوست عزیز 1233445566 که مساله رو به زیبایی حل کردند.
راه حلشونو دراینجا می ببنید:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**ali_hp** · 18-10-2010, 20:47

مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.

**lebesgue** · 22-10-2010, 19:21

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مجموع معکوسات همه اعداد طبیعی را بدست آورید که فقط عوامل اول کوچکتر از ده دارند.

$\120dpi \\\sum_{a_{1}=0}^{\infty }\sum_{a_{2}=0}^{\infty }\sum_{a_{3}=0}^{\infty }\sum_{a_{4}=0}^{\infty }\frac{1}{2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}7^{a_{4}}}=(\sum_{a_{1}=0}^{\infty }\frac{1}{2^{a_{1}}})(\sum_{a_{2}=0}^{\infty }\frac{1}{3^{a_{2}}})(\sum_{a_{3}=0}^{\infty }\frac{1}{5^{a_{3}}})(\sum_{a_{4}=0}^{\infty }\frac{1}{7^{a_{4}}})\\\\\\ =(\frac{1}{1-\frac{1}{2}})(\frac{1}{1-\frac{1}{3}})(\frac{1}{1-\frac{1}{5}})(\frac{1}{1-\frac{1}{7}})=\frac{35}{8}$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی پنجاهم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله‏ی چهارشنبه‏ی پنجاه و يكم

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله ی پنج شنبه ی سی و ششم (سطح سوال: سوم ریاضی)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی سی و هفتم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله یکشنبه بیست و سوم

مساله یکشنبه بیست و چهارم

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن