قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)
اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:
اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:
در نتیجه k≤0 نیست.
برای k>0 ، تابع
موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.
در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.