اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

[mir@]

f10-1


فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.

[lebesgue]

f10-1


فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.

مجموعه {6، 33، 60،...،1977} که 74 عضو دارد را می توان به 37 مجموعه دو عضوی افراز کرد، به طوری که مجموع اعضای هر مجموعه 2010 باشد، به غیر از مجموعه {6 , 1005} .
فرض کنیم A دو عضو متمایز نداشته باشد که مجموعشان 2010 شود، در نتیجه از 36 مجموعه اول حداکثر 1 عضو، و از مجموعه {6 , 1005} حداکثر دو عضو دارد. در نتیجه A دارای حداکثر 38 عضو است که این در تناقض با فرض مسئله می باشد.

[lebesgue]

با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

مشابه روش پست 460، می توان نشان داد a^b = b^a اگر و فقط اگر (a/ln(a) = b/ln(b .

فرض کنیم (f(x) = x/ln(x ،
معادله x/ln(x) = c به ازای c<0 ، تنها در بازه (1 , 0) ریشه دارد و چون تابع f در این بازه نزولی است، فقط یک ریشه دارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای (c ∈ [0 , e ، ریشه ندارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای c=e ، یک ریشه دارد.
معادله x/ln(x) = c به ازای c>e ، دو ریشه دارد؛ با استفاده از قضیه مقدار میانی می توان نشان داد که حداقل یک ریشه در بازه (e و 1) و حداقل یک ریشه در بازه (e , infinity) دارد و از یکنوا بودن تابع f در این دو بازه، نتیجه می شود که هر بازه حداکثر یک ریشه دارد و بنابراین معادله در هر کدام از این دو بازه دقیقا یک ریشه دارد.

تنها یک عدد صحیح در بازه (e و 1) موجود است که 2 می باشد، و می دانیم که 4، ریشه معادله x^2 = 2^x است.
در نتیجه، تنها دو زوج با شرایط مورد نظر وجود دارد، (2 , 4) و (4 , 2)

[ali_hp]

سلام به همه دوستان عزیز
از این که توی اتاق حل مساله رفیق نیمه راه شدم،از همه عذر می خوام.
دوباره از این هفته یکشنبه ها یک مساله میذارم که امیدوارم دوستان از حلش لذت ببرن!

یک جمع 30 نفره داریم،قرار است روی سر هر کدام از آنها یک کلاه آبی یا قر مز بگذاریم،و بعد هر کس رنگ کلاه روی سرش را حدس می زند، و به تعداد حدسهای درست به این جمع امتیاز داده می شود.
هدف این جمع این است که بیشترین امتیاز ممکن را کسب کنند..قبل از اینکه کلاه ها روی سرشان گذاشته شود می توانند با هم صحبت کنند و یک استراتژی برای حدس رنگ کلاهها در نظر بگیرند.
دقت کنید استراتژی هایی ارزشمندند که قطعا،و مستقل از اینکه کلاهها چه جوری روی سر افراد گذاشته می شوند،امتیازی را برای جمع تضمین کنند.
افراد بعد از اینکه کلاهها روی سرشان گذاشته شد دیگر نمی توانند با هم صحبت کنند،و لی هر کس که رنگ کلاهش را اعلام می کند،بقیه هم میشنوند.
مثال:یک استراتژی این است که همه رنگ قرمز را اعلام کنند،در این صورت ممکن هست مثلا همه کلاهها قرمز باشد که جمع 30 امتیاز می گیرد،ممکن است فقط نصف کلاهها قرمز باشد که جمع 15 امتیاز می گیرد،و ممکن است همه کلاهها آبی باشد که جمع صفر امتیاز می گیرد،پس با این استراتژی امتیازی جمع می تواند یقین داشته باشد که می گیرد صفر است.و این استراتژی اصلا استراتژی خوبی نیست!
بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.

[lebesgue]

بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.

اولین شخصی که مورد پرسش قرار می گیرد، هیچ گونه پیامی از طرف دیگران دریافت نکرده، بنابراین نمی تواند رنگ کلاهش را به طور قطعی تعیین نماید. تا اینجا مشخص می شود که جواب 30 نمی تواند باشد.

اما -با فرض اینکه هر کس می تواند کلاه دیگران را ببینید- اگر این استراتژی را پیاده کنند، به طور قطعی می توانند حداقل 29 امتیاز کسب کنند:
اولین شخصی که مورد پرسش قرار می گیرد، وظیفه دارد، که اگر تعداد کلاه های آبی که می بیند، عددی زوج است، رنگ آبی را اعلام کند و اگر فرد است، رنگ قرمز.
در اینصورت، هر کدام از 29 نفر باقیمانده خواهد دانست که تعداد افراد با کلاه آبی در این جمع 29 نفره ، زوج یا فرد است، پس اگر تعداد افراد با کلاه آبی که در این جمع 29 نفره (همه افراد به جز نفر اول) می بیند، با تعداد اعلام شده از سوی نفر اول، از نظر زوج یا فرد بودن یکسان باشد، کلاه او قرمز است و در غیر اینصورت آبی.

با این استراتژی، این 29 نفر به طور قطعی پاسخ درست را خواهند داد، و نفر اول هم به احتمال 50 درصد پاسخش درست خواهد بود.

[lebesgue]

با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

مسئله را برای حالتی کلی تر حل می کنیم:

تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد حقیقی مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد. (فرض می کنیم مجموعه این زوج ها، A باشد)

نشان می دهیم مجموعه زوج های که در آن k > 0 و k ≠ 1 -این مجموعه را B می نامیم- با مجموعه A برابر است.

هر عضو مجموعه B، عضو مجموعه A است، زیرا:

هر عضو مجموعه A ، عضو مجموعه B است، زیرا:

فرض کنیم b/a=c ، در نتیجه c > 0 و c ≠ 1 .

پس A زیرمجموعه B و B زیرمجموعه A است و در نتیجه A = B .

اما برگردیم به مسئله اصلی، حالت خاصی که در آن a و b دو عدد صحیح مثبت هستند.

اگر دو تابع و را بررسی کنیم، متوجه می شویم که:

به ازای (x ∈ (0 ,1 ، مقادیر g در بازه (e و 1) قرار دارد که در این بازه، تنها یک عدد صحیح یعنی 2 قرار دارد آنهم فقط به ازای x = 1/2 که داریم f(1/2) = 4 .

به ازای x > 1 ، مقادیر f در بازه (e و 1) قرار دارد که در این بازه، تنها یک عدد صحیح یعنی 2 قرار دارد آنهم فقط به ازای x=2 که داریم g(2) = 4 .

در نتیجه، مجموعه A عبارتست از:

{ (A = { (2 , 4) , (4 , 2

[mofidy1]

با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

با سلام

از 1233445566 که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساله را حل کردند، تشکر می کنم. روش بسیار زیبای دیگری را - که خودم از آن لذت بسیار بردم - تقدیم می کنم:

آموزش حل مساله:

ارائه ی راه حل تابعی برای مسائل عددی.

موفق باشید.

26 شهریور 1389

[mofidy1]

با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:

موفق باشید.

26 شهریور 1389

[lebesgue]

با سلام

فقط به روش هندسی، نشان دهید که:

موفق باشید.

26 شهریور 1389

فرض کنیم:


از آنجا که رابطه مورد نظر، به ازای x>0 برقرار است، داریم:



پس a و b دو زاویه حاده هستند:


A و B از رابطه فیثاغورث (؟) بدست می آید:



همانطور که مشاهده می شود، اضلاع مثلث در رابطه فیثاغورث صدق می کنند:



در نتیجه مثلث قائم زاویه بوده، و a + b = Pi/2

[ali_hp]

سلام به همه دوستان عزیز
از این که توی اتاق حل مساله رفیق نیمه راه شدم،از همه عذر می خوام.
دوباره از این هفته یکشنبه ها یک مساله میذارم که امیدوارم دوستان از حلش لذت ببرن!

یک جمع 30 نفره داریم،قرار است روی سر هر کدام از آنها یک کلاه آبی یا قر مز بگذاریم،و بعد هر کس رنگ کلاه روی سرش را حدس می زند، و به تعداد حدسهای درست به این جمع امتیاز داده می شود.
هدف این جمع این است که بیشترین امتیاز ممکن را کسب کنند..قبل از اینکه کلاه ها روی سرشان گذاشته شود می توانند با هم صحبت کنند و یک استراتژی برای حدس رنگ کلاهها در نظر بگیرند.
دقت کنید استراتژی هایی ارزشمندند که قطعا،و مستقل از اینکه کلاهها چه جوری روی سر افراد گذاشته می شوند،امتیازی را برای جمع تضمین کنند.
افراد بعد از اینکه کلاهها روی سرشان گذاشته شد دیگر نمی توانند با هم صحبت کنند،و لی هر کس که رنگ کلاهش را اعلام می کند،بقیه هم میشنوند.
مثال:یک استراتژی این است که همه رنگ قرمز را اعلام کنند،در این صورت ممکن هست مثلا همه کلاهها قرمز باشد که جمع 30 امتیاز می گیرد،ممکن است فقط نصف کلاهها قرمز باشد که جمع 15 امتیاز می گیرد،و ممکن است همه کلاهها آبی باشد که جمع صفر امتیاز می گیرد،پس با این استراتژی امتیازی جمع می تواند یقین داشته باشد که می گیرد صفر است.و این استراتژی اصلا استراتژی خوبی نیست!
بیشترین امتیازی را که جمع قطعا می تواند بدست آورد را تعیین کنید،و بگویید با چه استراتژی می تواند این امتیاز قطعی را کسب کند.

از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجا:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مساله رو به درستي حل كردند تشكر مي كنم،راه حل من هم دقيقا همين بود.