اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 02-06-2010, 21:43

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد براي هر عدد طبيعي مثبت مانند $n$ عددي طبيعي $m$ موجود است به طوري كه

$(1+\sqrt{2})^n=\sqrt{m}+\sqrt{m+1}$

ــــــــــــــــــ
5 خرداد 89

ضمن تشكر از H.R@Wolf كه تعميم اين مسأله رو در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مطرح كردن.

با استفاده از استقراي رياضي مي‌توان نشان داد كه براي هر $n$ اعداد طبيعي $a_n$ و $b_n$ موجودند به طوري كه

$\begin{align} \nonumber (1+\sqrt{2})^n&=a_n+\sqrt{2}b_n \qquad(1)\cr (1-\sqrt{2})^n&=a_n-\sqrt{2}b_n \qquad(2) \end{align}$

يعني $(1+\sqrt{2})^n=\sqrt{a_n^2}+\sqrt{2b_n^2}$ . بنابراين كافي است نشان دهيم كه اعداد $a_n^2$ و $2b_n^2$ يك واحد با هم اختلاف دارند. با ضرب طرفين روابط (1) و (2) داريم

$a^2_n-2b_n^2=(-1)^n$

كه درستي حكم را نشان مي‌دهد.

گمان كنم تعميمش رو هم بشه با همين روش حل كرد.

ــــــــــــــــــ
12خرداد 89

**eh_mn** · 02-06-2010, 22:37

نشان دهيد فقط يك تابع مانند $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ وجود دارد كه همزمان در شرايط زير صدق مي‌كند

(1) براي هر $x,y\in\mathbb{N}$ ، $f(x,y)=f(y,x)$ ،

(2) براي هر $x\in\mathbb{N}$ ، $f(x,x)=x$ ،

(3) براي هر $x,y\in\mathbb{N}$ كه $y>x$ ، $(y-x)f(x,y)=yf(x,y-x)$ .

(توجه كنيد كه در اينجا $\mathbb{N}=\{1,2,\dots,\}$ )

ــــــــــــــــــ
12خرداد 89

**mofidy1** · 10-06-2010, 21:25

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

فرض کنید f تابعی نامنفی با دامنه ی [0.1] باشد به طوری که 1=(f(1 و (f(x)+f(y)<= f(x+y. ثابت کنید (2x >= f(x.

موفق باشید.

23 اردیبهشت 1389

با سلام و معذرت خواهی به علت تأخیر زیاد

می توان دید که با فرض y>x :

$f(y)\geq f(x)+f(y-x)$

پس f صعودی است. با استقراء روی k>=0 می توان ثابت کرد که:

$f(2^{-k})\leq 2^{-k}, \,\,\2f(2^{-k})\leq f( 2^{-(k-1)})$

حال فرض کنید x عددی مثبت و k عددی طبیعی باشد طوری که

$2^{-k}<x<2^{-(k-1)}$

بنابر این

$f(x)\leq f(2^{-(k-1)})\leq 2^{-(k-1)}<2x$

حال چون تصویر صفر تحت f صفر است، حل مساله کامل می شود.

آموزش حل مساله:

استقراء ریاضی

موفق باشید.

20 خرداد 1389

**mofidy1** · 10-06-2010, 22:50

با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389

**davy jones** · 10-06-2010, 23:40

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389

سلام آقای مفیدی!

از این که اینقدر زود سوال رو جواب میدم و در حقیقت فرصت فکر کردن رو از دوستان میگیرم عذر میخوام ولی بنده چندی پیش این موضوع رو قالب یک دانستنی در تاپیک اتاق ریاضیات نوشته ام. البته برای این که دوستانی که میخواهن خودشون روی ایم سوال فکر کنن، حقشون زیاد ضایع نشه، جواب رو اینجا قرار نمیدم و دوستان میتونن برای دیدن جواب مساله به آدرس زیر مراجعه کنن:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

موفق باشین.
89/3/21

**Parser** · 13-06-2010, 11:21

به نام معشوق ازلی متعال

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

سلام

بله امکان دارد

احتمالاً راجع به برف دانه ی کخ شنیده اید.

با ادامه ی روند افزایش دندانه ها محیط شکل به بی نهایت میل می کند در صورتی که مساحتش کراندار است.

یک ایده برای بیان حوزه ای با حجم متناهی و مساحت جانبی بی نهایت یک منشور به قاعده ی یک برف دانه ی کخ است.

**eh_mn** · 16-06-2010, 13:32

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد فقط يك تابع مانند $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ وجود دارد كه همزمان در شرايط زير صدق مي‌كند

(1) براي هر $x,y\in\mathbb{N}$ ، $f(x,y)=f(y,x)$ ،

(2) براي هر $x\in\mathbb{N}$ ، $f(x,x)=x$ ،

(3) براي هر $x,y\in\mathbb{N}$ كه $y>x$ ، $(y-x)f(x,y)=yf(x,y-x)$ .

(توجه كنيد كه در اينجا $\mathbb{N}=\{1,2,\dots,\}$ )

ــــــــــــــــــ
12خرداد 89

براي سوالاتي از اين دست (معادلات تابعي) اولين چيزي كه به ذهن مي‌رسد محاسبه تابع براي مقادير خاص است.
براي توابع يك متغيره معمولا ابتدا سعي مي‌كنيم مقدار $f(0)$ ، $f(1)$ يا نظير آنها را به دست بياوريم.
پيش از اين مرحله ممكن است اثبات پوشا بودن يا يك‌به‌يك بودن تابع يا حتي صعودي و نزولي بودن آن مفيد باشد. توجه كنيد كه براي اثبات اين خاصيت‌ها لزومي ندارد كه رابطه‌ي صريح تابع بر حسب متغيرهايش معلوم باشند.
براي توابع چند متغيره نيز با همين روند آغاز مي‌كنيم. به علاوه مثلا اگر تابع برحسب $x$ و $y$ باشد مقادير خاصي نظير $x=ny$ يا $x=y+k$ را بررسي مي‌كنيم.
اگر تابع متقارن نباشد و امكان تعويض $x$ و $y$ باشد نتايج حاصل از تعويض $x$ و $y$ را نيز بررسي مي‌كنيم.
در بعضي مسائل نيز تغيير متغيرهاي مناسب موجب مي‌شوند كه مسأله‌ي بسيار ساده‌تري حاصل شود.
ــــــــــــــــــــ

با بررسي چند مثال مي‌بينيم كه تابع ك.م.م (كوچكترين مضرب مشترك) مي‌تواند حدس خوبي باشد.
براي حل اين سوال از استقراي قوي استفاده مي‌كنيم. حكم كلي كه مي‌خواهيم اثبات كنيم اين است كه

براي هر $y\in\mathbb{N}$ اگر $x<y$ آنگاه $f(x,y)=\mbox{ lcm}(x,y)$

كه در آن $\lcm$ تابع كوچكترين مضرب مشترك است. ( $\mbox{ lcm}$ حاصل از كنار هم قرار دادن حرف اول كلمات Least Common Multiple است)
حكم به وضوح براي $y=1$ برقرار است. فرض كنيم براي اعداد طبيعي از $1$ تا $y$ نيز چنين باشد.
فرض كنيم $x<y+1$ . در اين صورت

$\begin{align}\nonumber (y+1-x)f(x,y+1)&=(y+1)f( x,(y+1-x))\cr &=(y+1)\mbox{ lcm}(x,y+1-x)\cr & =(y+1)\frac{x(y+1-x)}{\gcd(x,y+1-x)} \end{align}$

كه در آن $\gcd$ تابع كوچكترين مضرب مشترك است.
از طرفي $\gcd(x,y+1-x)=\gcd(x,y+1)$ . بنابراين

$\begin{align}\nonumber f(x,y+1)=\frac{x(y+1)}{\gcd(x,y+1)}=\mbox{ lcm}(x,y+1) \end{align}$

و اين درستي حكم را نشان مي‌دهد.

ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89

**eh_mn** · 16-06-2010, 23:03

تمام توابع مانند $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ‌ را بيابيد به طوري كه براي هر $x,y\in\mathbb{R}$ داشته باشيم

$f(f(x)+y)=f(f(x)-y)+4f(x)y$

ــــــــــــــــــ
26 خرداد 89

**mofidy1** · 17-06-2010, 21:06

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

آیا امکان دارد که حجم جسمی متناهی اما مساحت سطح جانبی آن نامتناهی باشد؟!

موفق باشید.

20 خرداد 1389

با سلام و تشکر بسیار از davy jones و Parser که در پست های [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روی مساله به خوبی بحث کردند. ضمناً لازم است از davy jones تشکر ویژه کنم که انصافاً جور ما را می کشند و بسیاری از سوالات مطرح شده در انجمن را به خوبی و با دقت پاسخ می دهند. خدا قوت.

درباره ی این مساله هم عرض کنم که باید این مطلب را بپذیریم که نمی توان به شهود اطمینان صددرصد کرد و آن چه که تصورات ما غیر ممکن می داند، واقعاً غیر ممکن باشد؛ مثالش هم، همین مساله.

موفق باشید.

27 خرداد 1389

**mofidy1** · 17-06-2010, 21:19

با سلام

در مثلث ABC به اضلاع a و b و c ثابت کنید:

$sin(\frac{A}{2})\leq \frac{a}{b+c}$

که A زاویه ی روبه به ضلع a است.

موفق باشید.

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ و ششم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ و هفتم

حل مساله ی پنج شنبه ی بیست و سوم (سطح سوال: پیش دانشگاهی)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله ی پنج شنبه ی بیست و چهارم (سطح سوال: آزاد)

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از Parser بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ و هفتم

2 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ و هشتم

حل مساله ی پنج شنبه ی بیست و چهارم (سطح سوال: آزاد)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی بیست و پنجم (سطح سوال: سوم ریاضی)

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن