حل مسئله شنبه بیست و هشتم
f9-3
فرض کنید که اعداد a1، a2 ... , an همه حقیقی باشند. بدیهی است که اگر همه مثبت باشند، n عبارت زیر همه مثبت خواهند بود.
ثابت کنید که عکس قضیه هم صحیح است.
عبارات بالا را به ترتیب s_1 ، s_2 ..., s_n بنامید. می توان دید که اینها ضرایب چند جمله ای به صورت زیر است که ریشه های آن از a_1 تا a_n است.
بنابراین چون ضرایب همه مثتبند، پس ضرایب چندجمله ای یکی در میان مثبت و منفی هستند. بنابراین این چندجمله ای هیچ ریشه منفی r ندارد، چرا که p(r)l تمام جملاتش هم علامت خواهد شد
همچنین ریشه صفر هم نخواهد داشت، چرا که ضریب ثابت چندجمله ای یعنی s_n صفر نیست. بنابراین تمام a_i ها یعنی تمام ریشه ها مثبت هستند