اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 27-03-2010, 19:05

.s4
نشان دهید که عدد $10^{2008}-10^8$ بر 2008 بخش پذیر است.

**eh_mn** · 31-03-2010, 14:53

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $\{a_n\}$ دنباله‌اي از اعداد حقيقي نامنفي باشد به طوري كه براي هر دو عدد طبيعي m و n داشته باشيم $a_{m+n}\leq a_ma_n$ . نشان دهيد دنباله‌ي $\{\sqrt[n]{a_n}\}$ همگراست.

پيش از مطالعه‌ي راه حل، اگر با مفاهيم lim sup و lim inf آشنايي نداريد اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

را ببينيد. خواص ديگري از آنها در كتاب «فضاهاي متريك با طعم توپولوژي» نوشته‌ي دكتر مجيد ميرزاوزيري آمده است.

مي‌خواهيم از تغيير متغير $b_n=\ln a_n$ استفاده كنيم.
اين تنها در صورتي امكان‌پذير است كه هيچ $a_n$ اي صفر نباشد. اگر براي يك p داشته باشيم $a_p=0$ آنگاه براي هر n>p مي‌توان نوشت $a_{(n-p)+p}\leq a_{n-p}a_p=0$ بنابراين $\lim_{n\to\infty}a_n^{\frac1n}=0$ . پس فرض كنيم $a_n$ ها همگي ناصفرند و در اين حالت تغيير متغير ذكر شده معتبر است.
بنا به فرض داريم $b_{n+m}\leq b_n+b_m$ از اين رو $b_{km+t}\leq kb_m+b_t$ . فرض كنيم m يك عدد طبيعي و از اين پس ثابت باشد. عدد طبيعي n را بر m تقسيم مي‌كنيم.
خارج قسمت را $k(n)$ و باقيمانده را $r(n)$ مي‌ناميم يعني
$n=k(n)m+r(n)$ كه در آن $0\leq r(n)<m$ . بنابراين مي‌توان نوشت

$b_n=b_{k(n)m+r(n)}\leq k(n)b_m+b_{r(n)} \leq k(n)b_m+c$

كه در آن $c=\max(b_0,b_1,\dots,b_{m-1})$
در نتيجه

$\frac{b_n}{n}\leq\frac{k(n)}{n}b_m+\frac{c}{n}$

به راحتي مي‌توان نشان داد كه $\lim_{n\to\infty}\frac{k(n)}n=\frac1m$ و $\lim_{n\to\infty}\frac{c}{n}=0$ بنابراين

$\lim\sup\frac1n b_n\leq \frac{1}{m}b_m$

در نتيجه

$\lim\sup\frac1n b_n\leq\lim\inf\frac1n b_n$

كه نشان مي‌دهد دنباله‌ي $\frac{b_n}{n}$ حد دارد. (ممكن است حد برابر $-\infty$ باشد) و اين حكم مسأله را نتيجه مي‌دهد.

اين مسأله و راه حل آن را از كتاب The William Lowell Putnam Mathematical Competition. Problems and solutions نوشته‌ي A. Gleason و سايرين انتخاب كرده‌ام. با تلاشي كه انجام دادم نتوانستم راه حل مقدماتي‌ براي اين مسأله پيدا كنم. خوشحال مي‌شم دوستان در اين زمينه كمك كنن.

ـــــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 1389

**eh_mn** · 31-03-2010, 17:55

فرض كنيد n يك عدد طبيعي باشد. حاصل عبارت زير را به دست آوريد

$\frac11\binom{n}{0}-\frac13\binom{n}{1}+\frac15\binom{n}{2}-\dots+(-1)^n\frac{1}{2n+1}\binom{n}{n}$

ــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 89

**mofidy1** · 01-04-2010, 18:49

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

آیا تابعی از R به R که همه ی توان های دوم، سوم، چهارم و ... آن، چندجمله ای است، می تواند خودش چند جمله ای نباشد؟!

موفق باشید.

13 اسفند 1388

با سلام

این تابع را f فرض کنید و p/q را ساده ترین صورت f^3/f^2. بنابر این p^2/q^2 ساده ترین صورت f^2 است. چون f^2 نیز یک چند جمله ای است، بنابر این q واحد است.

آموزش حل مساله:

استفاده از حالت های جزئی برای اثبات حالت کل تر.

موفق باشید.

12 فروردین 1389

**mofidy1** · 01-04-2010, 19:42

با سلام

می توان ثابت کرد برای n عدد نامنفی a_1 تا a_n داریم:

$(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3)\geq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)^2$

با استفاده از نامساوی بالا، ثابت کنید که اگر مجموع n عدد مثبت، 96 و مجموع مربعات آن ها 144 و مجموع مکعبات آن ها 216 باشد، آن گاه همه ی این اعداد با هم مساوی اند و n=32.

موفق باشید.

12 فروردین 1389

**mir@** · 03-04-2010, 20:52

حل مسئله شنبه بیست و پنجم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

.s4
نشان دهید که عدد $10^{2008}-10^8$ بر 2008 بخش پذیر است.

2008=251x8 و 251 عددی اول است. طبق قضیه فرما ( $a^p\equiv a \pmod{p}$ ) $10^{2008}-10^8=10^{8\times 251}-10^8=\big( 10^8\big)^251-10^8\equiv\big( 10^8-10^8\big) \pmod{251} = 0 \pmod{251}$

به وضوح، $8|10^{2008}$ و $8|10^{8}$ و 8 نسبت به 251 اول است، بنابراین $8\times 251 = 2008| (10^{2008}-10^8)$

**mir@** · 03-04-2010, 20:57

. s1
نشان دهید که دقیقا سه مثلث قائم الزاویه وجود دارد که اضلاعی با طول عدد طبیعی دارند و مساحت آنها دو برابر محیط آنهاست.

**mir@** · 10-04-2010, 22:37

حل مسئله شنبه بیست و ششم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

. s1
نشان دهید که دقیقا سه مثلث قائم الزاویه وجود دارد که اضلاعی با طول عدد طبیعی دارند و مساحت آنها دو برابر محیط آنهاست.

فرض کنیم a و b اضلاع قائمه مثلث و نتیجتا اعدادی صحیح و مثبت باشند. خواهیم داشت:

$\frac{1}{2}ab=2(a+b+\sqrt{a^2+b^2})\Rightarrow ab-4a-4b=4\sqrt{a^2+b^2}\\ \Rightarrow (ab-4a-4b)^2=16(a^2+b^2)\Rightarrow (a-8)(b-8)=32=1\times 32=4\times 8=2\times 16\\ \Rightarrow (a,b)=(9,40)\or (10,24) \or (12,16)$

**mir@** · 10-04-2010, 23:06

f6-5
نشان دهید که دو سهمی با کانون های منطبق و غیرهم محور دقیقاً در دونقطه تقاطع دارند.

**eh_mn** · 14-04-2010, 21:14

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد n يك عدد طبيعي باشد. حاصل عبارت زير را به دست آوريد

$\frac11\binom{n}{0}-\frac13\binom{n}{1}+\frac15\binom{n}{2}-\dots+(-1)^n\frac{1}{2n+1}\binom{n}{n}$

ــــــــــــــــــــــ
11 فروردين 89

مي‌دانيم $\frac{1}{2k+1}=\int_0^1x^{2k}dx$ . با جايگذاري، مجموع مورد سوال را مي‌توان به صورت زير نوشت

$\int_0^1\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{2k}(-1)^{k}dx=\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx$

محاسبه‌ي انتگرال، موضوع سوال بعدي است!

ـــــــــــــــــــــــ
25 فروردين 89

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه بیست و پنجم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌ام

مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌يكم

حل مساله ی پنج شنبه ی بیست و یکم (سطح سوال: جبر دانشگاه)

مساله ی پنج شنبه ی بیست و دوم (سطح سوال: سوم دبیرستان)

مسئله شنبه بیست و ششم

مسئله شنبه بیست و هفتم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی سی‌يكم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن