اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 03-02-2010, 23:35

فرض كنيد $x_1,x_2,\dots,x_n$ اعداد حقيقي متمايزي باشند. چندجمله‌اي هاي $p_1,p_2,\dots,p_n$ را به صورت زير تعريف مي‌كنيم

$p_k(x)=\prod_{j\neq k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j},~~~~x\in\mathbb{R}$

نشان دهيد براي هر x حقيقي داريم

$\sum_{k=1}^np_k(x)=1$

ــــــــــــــــــــ
14 بهمن 1388

**mir@** · 07-02-2010, 10:02

حل مسئله شنبه بیستم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید که مربع واحد با دو خط عمود بر هم که با اضلاع مربع موازی هستند به 4 قسمت تقسیم شده است. نشان دهید که حداقل دو قسمت از این چهار قسمت مساحتشان از ¼ بزرگتر نیست. f9

فرض کنیم رئوس مربع روی (1و1) (0و1) (1و0) و (0و0) قرارگرفته باشد و خطوط تقسیم کننده عبارتند از x=a , y=b و بدون از دست دادن کلیت حل $a\le 1/2, b\le1/2, a\le b$

مساحت گوشه پایین سمت چپ عبارتست از ab که حتما از ¼ بزرگتر نیست
مساحت گوشه بالا سمت چپ هم برایر است با a-ab که کوچکتر است از $a-a^2\le\tfrac{1}{4}, a\in [0,1/4]$

بنابراین حکم ثابت می شود

**mir@** · 07-02-2010, 10:10

.
فرض کنید سه نقطه به تصادف روی محیط دایره واحد (دایره ای به شعاع یک) انتخاب می شود. با چه احتمالی مرکز این دایره داخل مثلثی است که رئوسش سه نقطه مزبور هستند؟ f7

**mofidy1** · 11-02-2010, 17:31

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

ده نفر برای خریدن کتاب راهی کتاب فروشی شدند. هر یک از آن ها سه کتاب مختلف و هر دو تا از آن ها دست کم یک کتاب مثل هم خریده اند. کتابی را در نظر بگیرید که تعداد بیشتری از این ده نفر آن را خریده اند. کمترین مقدار این بیشترین تعداد، چه قدر است؟!!

راهنمایی: از اصل لانه ی کبوتری استفاده کنید.

موفق باشید.

8 بهمن 1388

با سلام

از davy jones برای حل مساله تشکر می کنم. به حل دقیق تر مساله می پردازیم:

فرض کنید 7 کتاب مختلف خریده شده باشد. کتاب ها را از 1 تا 7 شماره گذاری کنید. این 10 نفر ممکن است کتاب های زیر را خریده باشند:

1و2و3
1و4و5
1و6و7
2و4و6
2و5و7
3و4و7
3و5و6

بنابر شکل زیر هر دو نفر حداقل یک کتاب مانند هم خریده اند:

هر کتاب را حداکثر 5 نفر خریده اند. فرض کنید A یکی از این 10 نفر باشد. هر یک از نه نفر دیگر، دست کم یک کتاب مثل سه کتاب A خریده است. در نتیجه بناب اصل لانه ی کبوتری، دست کم یک کتاب را حداقل سه نفر دیگر به جز A خریده اند.

بنابر این کمترین مقدار مورد نظر حداقل 4 است. اگر این مقدار برابر 4 باشد، بنابر تقارن، هر کتاب را دقیقاً 4 نفر خریده اند. اما کلاً 30 کتاب فروخته شده است و چون 30 بر 4 بخش پذیر نیست، کمترین مقدار مورد نظر 5 است.

آموزش حل مساله:

حل مساله به وسیله ی اصل لانه ی کبوتری.

موفق باشید.

22 بهمن 1388

**mofidy1** · 11-02-2010, 17:49

با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟

$tan(x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)$

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388

**dr rezayi** · 11-02-2010, 23:42

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟

$tan(x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)$

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388

**eh_mn** · 17-02-2010, 21:09

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $x_1,x_2,\dots,x_n$ اعداد حقيقي متمايزي باشند. چندجمله‌اي هاي $p_1,p_2,\dots,p_n$ را به صورت زير تعريف مي‌كنيم

$p_k(x)=\prod_{j\neq k}\frac{x-x_j}{x_k-x_j},~~~~x\in\mathbb{R}$

نشان دهيد براي هر x حقيقي داريم

$\sum_{k=1}^np_k(x)=1$

ــــــــــــــــــــ
14 بهمن 1388

به چندجمله‌اي‌هايي كه به صورت فوق تعريف مي‌شوند، چندجمله‌اي لاگرانژ گفته مي‌شود. به راحتي ملاحظه مي‌شود كه اگر $i\neq j$ آنگاه $p_i(x_j)=0$ .
فرض كنيم $y_1,y_2,\dots,y_n$ ، اعداد حقيقي باشند. به چندجمله‌اي‌

$L(x)=\sum_{k=1}^{n}y_kp_k(x)$

چندجمله‌اي درونياب لاگرانژ مقادير yi در نقاط xi گفته مي‌شود. علت اين نامگذاري اين است كه مقدار L در نقطه‌ي xi برابر yi خواهد شد.

همه‌ي yi ها را مساوي هم و برابر با يك قرار دهيد. در اين صورت داريم

$L(x)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x)$

از طرفي چندجمله‌اي L در دونقطه با چندجمله‌اي درجه صفر 1 برابر است. در نتيجه L=1. بنابراين

$\sum_{i=1}^{n}p_i(x)=1$

در اينجا از قضيه‌ي اساسي جبر استفاده شده است:

قضيه: هر چندجمله‌اي درجه‌ي n غيرثابت داراي n ريشه است.
نتيجه: فرض كنيم p و q دوچندجمله‌اي از درجه‌ي حداكثر n باشند. اگر p و q در n+1 نقطه با هم مساوي باشند آنگاه p=q.

ـــــــــــــــــــ
28 بهمن 1388

**eh_mn** · 17-02-2010, 21:30

ماتريس n-1 در n-1 زير را در نظر بگيريد

$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \cr 1 & 4 & 1 & 1 & \dots & 1 \cr 1 & 1 & 5 & 1 & \dots & 1 \cr 1 & 1 & 1 & 6 & \dots & 1 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \cr 1 & 1 & 1 & 1 & \dots & n+1 \cr \end{pmatrix}$

فرض كنيم $D_n$ دترمينان A باشد. آيا دنباله‌ي $\{D_n/n!\}$ كراندار است؟ (آيا با ديدن n ياد استقرا مي‌افتيد؟(!))

ــــــــــــــــــــــــ
28 بهمن 1388

**mofidy1** · 18-02-2010, 22:57

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

معادله ی زیر حداقل چند جواب دارد؟

$tan(x)=tan(x+10)\cdot tan(x+20)\cdot tan(x+30)\;\;\;\;(0<x<60)$

توجه کنید که زاویه ها بر حسب درجه اند.

موفق باشید.

22 بهمن 1388

با سلام

از dr rezayi برای حل مساله در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] تشکر می کنم. البته می توانستیم همبن نتیجه را با توجه به این که طرفین معادله، توابعی اکیداً صعودی هستند، با استفاده از قضیه ی مقدار میانی، نیز به دست آوریم.

آموزش حل مساله:

حل معادله بدون حل آن!!! با تحلیل اجزاء آن

موفق باشید.

29 بهمن 1388

**mofidy1** · 18-02-2010, 23:15

با سلام

ثابت کنید:

$sin(\frac{x}{2})+cos(x)<\frac{\pi-x}{2}\;\;\;\;(0<x<\pi)$

موفق باشید.

29 بهمن 1388

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و ششم

مسئله شنبه بیست و یکم

حل مساله ی پنج شنبه ی هفدهم (سطح سوال: سوم دبیرستان)

مساله ی پنج شنبه ی هجدهم (سطح سوال: پیش دانشگاهی)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و ششم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی بيست و هفتم

حل مساله ی پنج شنبه ی هجدهم (سطح سوال: پیش دانشگاهی)

مساله ی پنج شنبه ی نوزدهم(سطح سوال: پیش دانشگاهی)

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن