اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 22-07-2009, 09:13

نوشته شده توسط Iron [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام. عبارت بعد از ویرگول قابل خوندن نیست.

ويرايش شد.

**saber57** · 23-07-2009, 06:58

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد كه اگر $a+\frac{1}{a}$ يك عدد صحيح باشد آنگاه براي هر n ، $a^n+\frac{1}{a^n}$ نيز عددي صحيح است.

ـــــــــــــــــــــــــ
31 / 04 / 88

فرض کنیم $a+\frac{1}{a}=m\epsilon z$ بنابراین :

$\left ( a +\frac{1}{a} \right )^2=\left (a^2+\frac{1}{a^2} \right ) +2\rightarrow \left (a^2+\frac{1}{a^2} \right )=m^2-2\epsilon z$

$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^3=\left ( a+\frac{1}{a} \right )^2.\left ( a+\frac{1}{a} \right )=\left (a^3+\frac{1}{a^3} \right ) +3\left ( a+\frac{1}{a} \right )\rightarrow \left (a^3+\frac{1}{a^3} \right ) =m^3-3m\epsilon z$

به همین ترتیب میتوان نشان داد :

$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^4=\left ( a^4+\frac{1}{a^4} \right )+4\left ( a^2+\frac{1}{a^2} \right )+6\rightarrow \left ( a^4+\frac{1}{a^4} \right )=m^4-4m^2+2\epsilon z$

$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^5=\left ( a^{5}+\frac{1}{a^5} \right )+5\left ( a^3+\frac{1}{a^3} \right )+10\left ( a+\frac{1}{a} \right )\rightarrow \left ( a^5+\frac{1}{a^5} \right )=m^5-5m^3+5m\epsilon z$

$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^6=\left ( a^{6}+\frac{1}{a^6} \right )+6\left ( a^4+\frac{1}{a^4} \right )+15\left ( a^2+\frac{1}{a^2} \right )+20\rightarrow \left ( a^6+\frac{1}{a^6} \right )=m^6-6m^4+9m^2+2\epsilon z$

نکته مهم

: در حالت کلی میتوان رابطه را به صورت زیر نشان داد :(چه n زوج باشد چه فرد)

$\left ( a+\frac{1}{a} \right )^n=\sum_{i=0}^{\left [ \frac{n}{2} \right ]} \left (a^{n-2i}+\frac{1}{a^{n-2i}} \right )\binom{n}{i}$

اگر عبارت $\left ( a^{n} +\frac{1}{a^{n}} \right )$ را از حاصل مجموع خارج کنیم ، نتیجه میشود :

$\left ( a^{n} +\frac{1}{a^{n}} \right ) = \left ( a+\frac{1}{a} \right )^n -\sum_{i=1}^{\left [ \frac{n}{2} \right ]} \left (a^{n-2i}+\frac{1}{a^{n-2i}} \right )\binom{n}{i}$

عبارت سمت راست همانطور که در بالا دیدیم ، تابعی از عدد صحیح $\left ( a +\frac{1}{a} \right )=m$ میباشد پس عبارت مساوی با آن یعنی رابطه چپ تساوی هم تابعی از اعداد صحیح هست .

روش دوم : اگر n عدد طبیعی باشد با استفاده از استقرا ثابت میکنیم :
فرض مساله : $a+\frac{1}{a}$ عددی صحیح است .

روش استقرا : اگر برای اندیس n ام $a^n+\frac{1}{a^n}$ معتبر باشد (تا اندیس n ام) برای n+1 هم حکم ثابت شود .
اثبات : میدانیم که مجموعه اعداد صحیح نسبت به عمل ضرب بسته است . طبق فرض مساله دو عدد $a^n+\frac{1}{a^n}$ و $a+\frac{1}{a}$ جزئ اعداد صحیح فرض شده اند پس حاصلضرب آنها هم به اعداد صحیح تعلق دارد :

$\left (a+\frac{1}{a} \right )\left ( a^n+\frac{1}{a^n} \right )=\left ( a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}} \right )+\left( a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}} \right )\rightarrow \left ( a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}} \right )= \left (a+\frac{1}{a} \right )\left ( a^n+\frac{1}{a^n} \right )- \left( a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}} \right )$

از طرفی $\left (a+\frac{1}{a} \right )\left ( a^n+\frac{1}{a^n} \right )\epsilon z$ و چون تا اندیس n ام حکم ثابت هست پس برای n-1 هم برقرار هست و $\left ( a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}} \right )\epsilon z$ تفاضل هر دو هم عدد صحیح هم متعلق به مجموعه اعداد صحیح است در نتیجه $\left ( a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}} \right )\epsilon z$ و حکم ثابت میشود .

1/5/88
ویرایش 5/5 88

**mofidy1** · 23-07-2009, 10:12

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

برای شماره گذاری صفحات یک کتاب بزرگ، چاپ کننده ی کتاب، 2989 رقم به کار برده است. آن کتاب چند صفحه دارد؟ (اولین صفحه ی کتاب با 1 شماره گذاری شده است.)

موفق باشید.

25 تیر 1388

با سلام

برای حل کامل و درست این مساله از saber57 تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

حل این مساله از طریق مساله:

مساله ای وابسته به مساله ی ما:

اگر کتاب 9 صفحه داشت، چاپ خانه چند رقم به کار می برد؟ جواب: 9 رقم
اگر کتاب 99 صفحه داشت، چاپ خانه چند رقم به کار می برد؟ جواب: 90*2+9=189 رقم
اگر کتاب 999 صفحه داشت، چاپ خانه چند رقم به کار می برد؟ جواب: 3*900+2*90+9=2889 رقم

حال اگر کتاب x صفحه داشته باشد باید معادله ی زیر را حل کنیم:

$2889+4(x-999) = 2989$

که پس از حل به دست می آید: x=1024

آموزش حل مساله:

بنابر این گاهی تخمین مقدماتی یک مجهول برای حل مساله لازم است.

موفق باشید.

1 مرداد 1388

**mofidy1** · 23-07-2009, 10:57

با سلام

دو عبارت زیر را برای هر عدد حقیقی مثبت a و b و c ثابت کنید:

$\begin{align} 4(a^3+b^3)&\geq (a+b)^3 \nonumber\\ 9(a^3+b^3+c^3) &\geq (a+b+c)^3 \nonumber\end{align}$

سی و دومین المپیاد ریاضی انگلستان 1996

(از کلمه ی المپیاد نترسید. مساله ی ساده اما زیبایی است!!!)

موفق باشید.

1 مرداد 1388

**CppBuilder2006** · 24-07-2009, 13:36

اولی که راحته:

کافیه نشون بدیم:

]

[

برای

نامنفیه:

[

[]

و

[

که همواره برقرار است.
برای دومی هنوز فکر نکردم.

**saber57** · 24-07-2009, 13:46

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای هر عدد حقیقی مثبت a و b و c ثابت کنید:
[centre]
$\begin{align} 4(a^3+b^3)&\geq (a+b)^3 \nonumber\\ 9(a^3+b^3+c^3) &\geq (a+b+c)^3 \nonumber\end{align}$
[centre\]
سی و دومین المپیاد ریاضی انگلستان 1996

(از کلمه ی المپیاد نترسید. مساله ی ساده اما زیبایی است!!!)

موفق باشید.

1 مرداد 1388

قسمت اول سوال :

$\left ( a+b \right )^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$
$\left ( a+b \right )^3+3\left ( a^3+b^3 \right )=4\left ( a^3+b^3 \right )+3ab\left ( a+b \right )$
$4\left ( a^3+b^3 \right )=\left ( a+b \right )^3+3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2$
$4\left ( a^3+b^3 \right )=\left ( a+b \right )^3+3a^2\left ( a-b \right )-3b^2\left ( a-b \right )$
$4\left ( a^3+b^3 \right )=\left ( a+b \right )^3+3\left ( a-b \right )\left ( a^2-b^2 \right )=\left ( a+b \right )^3+3\left ( a-b \right )^2\left ( a+b \right )$

اما عبارت $3\left ( a-b \right )^2\left ( a+b\right )$ بزرگتر یا مساوی صفر هست بنابراین :

$4\left ( a^3+b^3 \right )\geq\left ( a+b \right )^3$

**CppBuilder2006** · 24-07-2009, 14:24

حالا دومی. فرض کنید

ثابت باشند. نشان میدهیم برای هر

داریم:

تعریف میکنیم:

داریم:

و

پس ثابت شد برای هر b<=x،

به علت تقارن برای هر

داریم:

هووووووووو دیدین چه راحت بود!

این راه حل رو می شه برای حالت کلی تر این مسأله هم به کار برد.

**chessmathter** · 24-07-2009, 14:24

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

برای هر عدد حقیقی مثبت a و b و c ثابت کنید:

$\begin{align} 4(a^3+b^3)&\geq (a+b)^3 \\ 9(a^3+b^3+c^3) &\geq (a+b+c)^3 \end{align}$

سی و دومین المپیاد ریاضی انگلستان 1996

(از کلمه ی المپیاد نترسید. مساله ی ساده اما زیبایی است!!!)

موفق باشید.

1 مرداد 1388

با توجه به این که a,b,c مثبت اند

حالا واسه 2 از یک استفاده میکنیم داریم:

حالا اگر اینو اثبات کنیم مسله حله:

که اخری ام از فرمول اویلر میریم:

**mofidy1** · 24-07-2009, 20:33

با سلام

عبارات زیر را به دقت مطالعه فرمایید:

«]اولین مرحله در حل یک مساله[ فهمیدن مساله است؛ باید به صورتی آشکار بدانیم که چه چیز خواسته شده است. دوم باید ببینیم که اجزاء مساله چگونه به هم پیوسته اند و ارتباط مجهول با داده ها ی مساله از چه قرار است تا از این راه اندیشه ای در خصوص حل مساله پیدا کنیم و برای آن نقشه ریزی کنیم. سوم اجرای نقشه است. چهارم پس از پایان یافتن مساله به عقب نگاه کردن و تجدید نظر کردن و بحث کردن درباره ی آن است.»

جورج پولیا - چگونه مساله را حل کنیم -ترجمه ی احمد آرام - صفحه ی 7

-------------------------------------------------------

«حل مساله، هنری عملی است. همچون شنا کردن و این هنر را می توان یاد گرفت، تنها به شرطی که از سرمشق خوبی تقلید و دائماً تمرین کنیم.»

جورج پولیا - خلاقیت ریاضی - ترجمه ی پرویز شهریاری - صفحه ی 12

-------------------------------------------------------

«آموختن حل مساله، لذت بخش و ارزشمند است. حل مساله فرایندی است برای ایجاد و گسترش قوای ذهنی، و انبانی از فنون را در اختیار شما قرار می دهد که در مطالعات دیگر و در زندگی روزمره نیز به کارتان می آید...حتماً با معلم و هم کلاسی هایتان درباره ی مسائلی که حل می کنید و فنونی که می آموزید، گفتگو کنید. سوال کردن را یاد بگیرید.»

استیون ج. کرانتس - فنون مساله حل کردن - ترجمه ی مهران اخباریفر - صفحه ی 1

-------------------------------------------------------

«یکی از راه هایی که دانش آموز را به یک مساله کن ماهر تبدیل می کند، این است که از طریق راه بردهای گوناگون به حل مساله بپردازد. عامل دوم، حل کردن تعداد زیادی مساله است. بررسی و بحث در مورد راه حل ها، عامل سومی است که دانش آموز را به مساله حل کن ماهری تبدیل می کند. راه حل را برای دوستان و هم کلاسی های خود توضیح دهید تا مورد نقد و سوال قرا گیرید. راه حل های نادرست را کم اهمیت نشمارید، زیرا گاه نسبت به راه حل های معمولی، حاوی نکات زیبا تر و ارزشمند تری هستند. همیشه پس از این که مساله ای را حل کردید، راه حل آن را با دقت بسیار بنویسید.»

آموزش هنر حل مساله - وزارت آموزش و پرورش - چاپ سال 1379- صفحه ی 3

مطالب بالا سرمشق اصلی ما در مباحث آینده است. چهار کتابی که در بالا از آنها استفاده کردیم، منابع مهم حل مساله هستند که به دوستان خودم تهیه و مطالعه ی آن ها را قویاً سفارش می کنم. البته از کتب دیگری نیز استفاده خواهیم کرد که به مرور معرفی خواهیم کرد.

موفق و پیروز باشید.

2 مرداد 1388

**mir@** · 24-07-2009, 21:09

.
دو نفر در فاصله 20 کیلومتری هم قرار دارند و با سرعت 10 کیلومتر در ساعت به طرف هم حرکت می کنند.

هواپیمایی با سرعت 20 کیلومتر در ساعت، هم زمان با شروع حرکت دو نفر، از نفر اول شروع کرده و به سمت نفر دوم پرواز می کند. پس از رسیدن به نفر دوم بر می گردد و به سمت نفر اول می آید.

این هواپیما آن قدر بین دونفر می رود و می آید تا دو نفر به هم برسند.

این هواپیما مجموعا چند کیلومتر پرواز کرده است؟

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله ی پنج شنبه ی اول (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی دوم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

روش های حل مساله - بخش دوم

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

سوال شنبه اول

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن