اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 05-12-2009, 23:11

اگر p یک چند جمله ای با ضزائب صحیح باشند. اگر $p(0) , p(1)$ مقادیر فرد باشند، نشان دهید که p ریشه صحیح ندارد.

**eh_mn** · 09-12-2009, 22:21

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تمام جواب‌هاي حقيقي معادله‌ي زير را بيابيد

$(x+y)^2=(x+1)(y-1)$

ــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88

با سلام

تغيير متغير x=ty را در نظر بگيريد. با اين جايگذاري داريم

$(t^2+t+1)y^2+(t-1)y+1=0$

مبين اين معادله‌ي درجه‌ي 2 برحسب y به صورت زير به دست مي‌آيد

$\Delta = -3(t+1)^2$

بنابراين اگر t برابر منهاي 1 نباشد جواب حقيقي براي اين معادله وجود ندارد. و اگر t=-1 آنگاه داريم

$-x = y = 1$

بنا براين تنها جوابهاي حقيقي معادله ، $(1,-1) , (-1,1)$ هستند.

_____________
18 / 09 / 88

**eh_mn** · 09-12-2009, 22:52

براي چه مقدار حقيقي x تساوي زير برقرار است؟

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{2000}$

ــــــــــــــــــــــ
18 / 09 / 88

**eh_mn** · 16-12-2009, 19:11

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي چه مقدار حقيقي x تساوي زير برقرار است؟

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{2000}$

ــــــــــــــــــــــ
18 / 09 / 88

داريم

$n^x-(n-1)^x=n^{x-1}+n^{x-2}(n-1)+n^{x-3}(n-1)^{2}+\dots+(n-1)^{x-1}$

بنابراين

$\frac{n^{1999}}{n^x-(n-1)^x}=\frac{1}{\frac{n^{x-1}}{n^{1999}}+\frac{n^{x-2}(n-1)}{n^{1999}} +\dots+\frac{(n-1)^{x-1}}{n^{1999}}}$

اگر x-1>1999 آنگاه حد برابر صفر و اگر x-1<1999 آنگاه حد برابر بينهايت است. بنابراين x-1=1999 و با اين فرض چون حد هر يك از جمله‌هاي مخرج برابر 1 است و تعداد آنها 2000تاست x مورد نظر برابر 2000 خواهد بود.

ـــــــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88

**eh_mn** · 16-12-2009, 19:21

فرض كنيد $\{a_n\}$ دنباله‌اي از اعداد نامنفي باشد:
(الف) نشان دهيد اگر
$\sum_{n=1}^\infty a_n$
همگرا باشد آنگاه سري
$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{a_na_{n+1}}$
همگراست،

(ب) نشان دهيد اگر $\{a_n\}$ نزولي باشد عكس قسمت (الف) نيز درست است.

ــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88

**eh_mn** · 23-12-2009, 18:29

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد $\{a_n\}$ دنباله‌اي از اعداد نامنفي باشد:
(الف) نشان دهيد اگر
$\sum_{n=1}^\infty a_n$
همگرا باشد آنگاه سري
$\sum_{n=1}^\infty \sqrt{a_na_{n+1}}$
همگراست،

(ب) نشان دهيد اگر $\{a_n\}$ نزولي باشد عكس قسمت (الف) نيز درست است.

ــــــــــــــــــ
25 / 09 / 88

(الف) با استفاده از نامساوي ميانگين حسابي-ميانگين هندسي داريم

$2\sqrt{a_na_{n+1}}\leq a_n+a_{n+1}$

با استفاده از آزمون مقايسه نتيجه‌ي مطلوب به راحتي به دست مي‌آيد.
(ب) اگر دنباله نزولي باشد آنگاه با توچه به نامنفي بودن a_n داريم

$a_{n+1}\leq \sqrt{a_na_{n+1}}$

باز هم آزمون مقايسه نتيجه مي‌دهد كه سري مورد سوال همگراست.

ــــــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

**eh_mn** · 23-12-2009, 18:33

فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار $x\in\mathbb{R}^n$ داشته باشيم $x^T(C+C^T)x=0$ نشان دهيد

$C+C^T=0$

ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

**ramTn** · 28-12-2009, 00:49

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد C ماتريسي مربعي با بعد n باشد كه براي هر بردار $x\in\mathbb{R}^n$ داشته باشيم $x^T(C+C^T)x=0$ نشان دهيد

$C+C^T=0$

ـــــــــــــــــــ
02 / 10 / 88

$A=C+C^T$ یک ماتریس متقارن است.

اگه برای ماتریس $A$ فرض مسئله برقرار باشه، برای ماتریس $Q$ که از حذف سطر و ستون آخر $A$ بدست می آید هم فرض مسئله بر قراره (کافیه درایه ی آخر $x$ رو صفر فرض کنید)

همچنین اگه برای ماتریس $A$ فرض مسئله برقرار باشه، برای ماتریس $R$ که از حذف سطر و ستون اول $A$ بدست می آید هم فرض مسئله بر قراره (کافیه درایه ی اول $x$ رو صفر فرض کنید)

حالا اگر بر روی $n$ استقرا بزنیم، بنا به فرض استقرا همه ی درایه های $Q$ و $R$ صفر خواهند بود و دو درایه ی گوشه ای $A$ که عضو این دو ماتریس نیستند هم به وضوح صفر خواهند بود.

**mofidy1** · 31-12-2009, 19:24

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

ثابت کنید اگر a و b و c اعداد صحیح فردی باشند، معادله ی زیر جواب گویا ندارد:

$ax^2+bx+c=0$

نتیجه بگیرید ریشه ی دوم 5، اصم است.

موفق باشید.

5 آذر 1388

با سلام و عرض پوزش بسیار به علت تاخیر زیاد در ارسال مسائل.

مشخص است که ریشه های این معادله فقط وقتی گویا هستند که دلتای آن مربع کامل باشد. بنابر این با فرض این که ضرایب همگی فرد هستند، باید داشته باشیم:

$b^2-4ac=(2n+1)^2$

می توان دید که

$b^2-1=4(n(n+1)+ac)$

اما طرف چپ بر 8 بخش پذیر است و طرف راست نیست، که این تناقض است.

برای حل قسمت آخر، کافی است، معادله ی $x^2-5=0$ و ریشه های آن را در نظر بگیریم.

آموزش حل مساله:

اثبات به برهان خلف

موفق باشید.

10 دی ماه 1388

**mofidy1** · 31-12-2009, 19:37

با سلام

انتگرال معین زیر را محاسبه کنید:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+(tan\,x)^{\sqrt{2}}}$

موفق باشید

10 دی ماه 1388

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه هجدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی نوزدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی بيستم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی بيستم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی بيستم و يكم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی بيستم و يكم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی بيستم و دوم

حل مساله ی پنج شنبه ی چهاردهم (سطح سوال: سوم دبیرستان)

مساله ی پنج شنبه ی پانزدهم (سطح سوال: ریاضی عمومی دانشگاه)

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن