اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 22-11-2009, 00:14

برای چه تعداد عدد طبیعی $x\le 10,000$ عبارت $2^x-x^2$ بر 7 بخش پذیر نیست؟ پاسخ خود را بدون استفاده از رایانه توجیه کنید.

**ali_hp** · 22-11-2009, 10:53

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$p_1,p_2,...,p_k$ تعدادی چند جمله ای هستند،بطوریکه برای هر عدد اول p عدد طبیعی مثل m و حداقل یک i بین یک و k وجود دارد به طوریکه:

$p_i(m)=p$

(یعنی $p_i$ ها همه اعداد اول را تولید می کنند)

نشان دهید درجه حداقل یکی از $p_i$ ها برابر یک است!

راهنمایی:اگر $q_1,q_2,...,q_k,...$ دنباله اعداد اول باشد داریم:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{q_k}=\infty$

سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر(آشنایی با مفهوم حد دنباله ها و سری ها)

تعریف کنید :

$S_i=\{n|p_i(n)\neq0\}$

دقت کنید که داریم:

$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{q_i}<\sum_{n\in{S_1}}\frac{1}{|p_1(n)|}+\sum_{n\in{S_2}}\frac{1}{|p_2(n)|}+...+\sum_{n\in{S_k}}\frac{1}{|p_k(n)|}$

(چون $p_i$ ها همه اعداد اول را تولید می کنند،پس هر جمله ای که در سمت چپ هست،در سمت راست نیز هست)

حال فرض کنید درجه همه چند جمله ایهای مذکور بزرگتر مساوی دو باشد،به سادگی می توان ثابت کرد که در اینصورت سمت راست نامساوی همگرا و کراندار است!(چگونه؟) بنابر این سمت چپ نیز که سری معکوسات اعداد اول است نیز باید کراندار باشد،اما طبق راهنمایی سوال می دانیم که چنین نیست!
یک نتیجه این مساله این است که تنها چند جمله ایهای درجه یک هستند که می توانند همه اعداد اول را تولید کنند...

**ali_hp** · 22-11-2009, 10:56

نشان دهید عدد طبیعی n اول است،اگر و تنها اگر بر هیچیک از اعداد کمتر مساوی جذرش،بخش پذیر نباشد.
سطح سوال:اول دبیرستان و بالاتر
توجه:این مساله اساس غربال اراتستن برای پیدا کردن اعداد اول است....

**mofidy1** · 26-11-2009, 20:20

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

الف) اعداد طبیعی از 1 تا 10 به توان 10 را در نظر بگیرید. از میان این اعداد، آن هایی که رقم 1 دارند بیش ترند یا آن هایی که رقم 1 ندارند؟

ب) در صورتی که اعداد طبیعی 1 تا 222222222 به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

موفق باشید.

7 آبان 1388

میلاد مولانا علی ابن موسی الرضا - علیه الصلاة و السلام- مبارک باد
هشت هشت هشتاد و هشت

با سلام

الف) دقت کنید تعداد اعدادی که دارای رقم 1 نیستند عبارت است از:

$8+8\times 9+8\times 9^2+\cdots+8\times 9^{10}=9^{11}-1$

بنابر این تعداد اعدادی که حداقل دارای یک رقم 1 هستند، برابر است با

$10^{10}-9^{11}+1$

می توان دید که اولی بزرگ تر است.

ب) راهنمایی: اگر همه ی اعداد n رقمی را در یک سطر بنویسید تعداد صفرها عبارت اند از:

$\binom{n-1}{1}\cdot 9^{n-1}+\binom{n-1}{2}\cdot 9^{n-2}+\cdots+\binom{n-1}{n-1}\cdot 9$

(n حداقل 2 است.)

آموزش حل مساله:

استفاده از اصل ضرب برای حل مسائل ترکیبیاتی

موفق باشید.

5 آذر 1388

**mofidy1** · 26-11-2009, 21:47

با سلام

ثابت کنید اگر a و b و c اعداد صحیح فردی باشند، معادله ی زیر جواب گویا ندارد:

$ax^2+bx+c=0$

نتیجه بگیرید ریشه ی دوم 5، اصم است.

موفق باشید.

5 آذر 1388

**mir@** · 29-11-2009, 08:12

حل مسئله شنبه شانزدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای چه تعداد عدد طبیعی $x\le 10,000$ عبارت $2^x-x^2$ بر 7 بخش پذیر نیست؟ پاسخ خود را بدون استفاده از رایانه توجیه کنید.

$\\ n =1 \pmod{7}\Rightarrow 2n =2 \pmod{7} \\ n =2 \pmod{7}\Rightarrow 2n =4 \pmod{7} \\ n =4 \pmod{7}\Rightarrow 2n =1 \pmod{7}$

در نتیجه $2^n\pmod{7}$ دوره ای است با دوره تناوب 3

از آنجا که $n^2=(n+7)^2 \pmod{7}$ بنابراین $n^2\pmod{7}$ دوره است با تناوب 7

لذا $2^n-n^2 \pmod{7}$ تناوبی است با دوره 21

می توان دبد برای اعداد 1 تا 21، عبارت فوق برای 15 مقدار n بر 7 بخش پذیر نیست. از آنجا که $1000=476\times 21 + 4$ و عبارت فوق به ازاء 2 مقدار از 4 مقدار اول n بر 7 بخش پذیر است، لذا به ازاء $475\times 15 + 2 = 7142$ تعداد عدد صحیح کوچک تر یا مساوی 10000، عبارت بر 7 بخش پذیر نیست.

**mir@** · 29-11-2009, 08:17

مجموعه $\{3,5,9,29\}$ دارای این ویژگی است که مجموع هر سه عضو دلخواه از آن عددی اول است. نشان دهید مجموعه ای پنج عضوی شامل اعداد طبیعی متمایز با چنین ویژگی وجود ندارد.

**eh_mn** · 02-12-2009, 21:52

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيد r1 و ... و rn ريشه‌هاي چندجمله‌اي f باشند. حاصل دترمينان زير را بر حسب a و b و f آن دو بيابيد

$\det\begin{pmatrix} r_1 & a & a & \dots & a\\ b & r_2 & a & \dots & a\\ b & b & r_3 & \dots & a\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \dots & r_n \end{pmatrix}$

ــــــــــــــــــــــ
27 / 08 / 88

قرار مي‌دهيم

$g(x)= \det \begin{pmatrix} r_1-x & a-x & a-x & \dots & a-x\\ b-x & r_2-x & a-x & \dots & a-x\\ b-x & b-x & r_3-x & \dots & a-x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b-x & b-x & b-x &\dots & r_n-x \end{pmatrix}$

با كم كردن ستون اول از همه‌ي ستون‌ها ماتريسي حاصل مي‌شود كه دترمينان با g برابر است. از طرفي ماتريس حاصل فقط در ستون اول x دارد. بنابراين g تابعي خطي بر حسب x است. داريم

$g(a)= \det \begin{pmatrix} r_1-a & 0 & \dots & 0\\ b-a & r_2-a & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b-a & b-a & \dots & r_n-a \end{pmatrix}=(r_1-a)\dots(r_n-a)=f(a)$

و به طور مشابه $g(b)=f(b)$ .
بنابراين g خط واصل نقطه‌هاي $(a,f(a))$ و $(b,f(b))$ خواهد بود. يعني

$g(x)= f(b) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$

دترمينان صورت سوال مقدار تابع g در x=0 است كه عددي بر حسب a و b و f آن دو مي‌باشد.

ــــــــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88

**eh_mn** · 02-12-2009, 21:55

تمام جواب‌هاي حقيقي معادله‌ي زير را بيابيد

$(x+y)^2=(x+1)(y-1)$

ــــــــــــــــــ
11 / 09 / 88

**mir@** · 05-12-2009, 22:40

حل مسئله شنبه هفدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مجموعه $\{3,5,9,29\}$ دارای این ویژگی است که مجموع هر سه عضو دلخواه از آن عددی اول است. نشان دهید مجموعه ای پنج عضوی شامل اعداد طبیعی متمایز با چنین ویژگی وجود ندارد.

فرض کنیم 5 عدد طبیعی با چنین ویژگی وجود دارد و باقیمانده آنها را در تقسیم بر 3 در نظر بگیریم. اگر یک باقیمانده سه بار تکرار شود، در نتیجه مجموع سه عدد متناظر آن باقیمانده ها بر 3 بخش پذیر است. تنها عدد اول بخش پذیر بر 3 خود 3 است که مجموع سه عدد طبیعی متمایز نیست.

بنابراین هیچ باقیمانده ای بیش از 2 بار تکرار نمی شود. اما از آنجا که 5 عدد داریم و سه مقدار ممکن باقیمانده در تقسیم بر 3، هر سه باقیمانده را باید در تقسیم پنج عضو مجموعه بر 3 به دست بیاوریم. اما در این صورت مجموع این سه عدد بر 3 بخش پذیر است ( $0+1+2=0\pmod{3}$ ) که این تناقض است و لذا چنین مجموعه ای نداریم.

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مسئله شنبه شانزدهم

حل مساله یکشنبه هفدهم

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله یکشنبه هجدهم

حل مساله ی پنج شنبه ی سیزدهم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

مساله ی پنج شنبه ی چهاردهم (سطح سوال: سوم دبیرستان)

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه هفدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی هجدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی نوزدهم

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن