اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**Iron** · 02-11-2009, 20:41

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

اگر 2n مجموع دو مربع كامل باشد آيا لزومي دارد كه $2n=2a^{2}++2b^2$ ؟ چرا؟

تکمیل می کنم.
اگر

$2n=x^{2}+y^{2}$

آنگاه

$2n=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

که

$a=\frac{x+y}{2}$

$b=\frac{x-y}{2}$

از اونجا که 2n عدد زوج هست، $x^{2}$ و $y^{2}$ هردو زوج یا هردو فردند و بنابراین x و y نیز هردو زوجند یا هردو فردند، پس a و b معرفی شده در بالا اعداد صحیح خواهند بود.

بقیه اثبات همون رابطه برگشت در پست قبلیه.

**eh_mn** · 04-11-2009, 10:09

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد يك عدد طبيعي n را مي‌توان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت اگر و فقط اگر عدد 2n را بتوان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت.

ـــــــــــــــــــ
06 / 08 / 88

با سلام

Iron زحمت كشيدن و در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

راه حل كامل رو ارائه دادن. با تشكر از ايشان.

ـــــــــــــــــــــــ
13 / 08 / 88

**eh_mn** · 04-11-2009, 10:14

نشان دهيد عدد $2222^{5555}+5555^{2222}$ بر 7 بخش‌پذير است.

ـــــــــــــــــــــ
13 / 08 / 88

**Mahmood_N** · 05-11-2009, 01:14

این پست اشتباه فرستاده شد ، چرا نمی شه پست رو حذف کرد ؟!

...

**only4u-m** · 05-11-2009, 13:55

با استفاده از همنهشتی اثبات می کنم.

5555 و 2222 را به پیمانه 7 کاهش می دهیم:

از طرفی داریم:

حالا 5555 و 2222 را به شکل 3k+r می نویسیم (هر دو را بر سه تقسیم می کنیم - الگوریتم تقسیم -):

بنابراین:

پس عدد مورد نظر بر 7 بخشپذیر است.

**mir@** · 07-11-2009, 02:34

مسئله شنبه چهاردهم

نشان دهید اگر یک خودرو از حالت سکون به راه افتد و فاصله یک مایل را در 1 دقیقه طی کند و در نهایت بایستد و حداکثر سرعتش 90 مایل بر ثانیه باشد، حد اقل در یک نقطه با شتاب تند شونده یا کند شونده 6.6 فوت بر مجذور ثانیه حرکت کرده است.
توجه: یک مایل 5280 فوت است.

حل مسئله شنبه سیزدهم گم شده است!!

**CppBuilder2006** · 08-11-2009, 00:16

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ پیوسته و برای هر x حقیقی داشته باشیم: $f(x)=f(x^3)$ .

ثابت کنید f تابعی ثابت است.

(سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر!)

اگر a صفر نباشد، چون f پیوسته است،f(a^(1/3^n))o به f(1)o میل میکنه.
از طرفی
f(a^(1/3^n))=f(a)o
پس
f(a)= f(1)o
برای صفر هم از پیوستگی نتیجه میشه f(0)=f(1)o.

**ali_hp** · 08-11-2009, 13:44

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ پیوسته و برای هر x حقیقی داشته باشیم: $f(x)=f(x^3)$ .

ثابت کنید f تابعی ثابت است.

(سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر!)

با تشکر از CppBuilder2006 عزیز که در پست 247 مساله رو حل کردند،ایده حل مساله دقیقا همونیه که دوستمون گفتن،من فقط یکم دقیقتر و کاملترشو میگم:
حل:
ابتدا دقت کنید که برای هر a دلخواه داریم:

$f(a)=f(a^3)=f(a^{3^2})=...=f(a^{3^n})\\ f(a)=f(a^\frac{1}{3})=f(a^{(\frac{1}{3})^2})=...=f(a^{(\frac{1}{3})^n})$

برای هر a>0 باتوجه به پیوستگیf و با توجه به اینکه $\lim_{n\rightarrow\infty}{a^{(\frac{1}{3})^n}}=1$ داریم:

$f(a)=f(1)$

با استدلال مشابه برای هر a<0 بدست می آید:

$f(a)=f(-1)$

از طرفی برای هر a که $|a|<1$ با توجه به پیوستگی f و با توجه به اینکه $\lim_{n\rightarrow\infty}{a^{3^n}}=0$

داریم:

$f(a)=f(0)$

با توجه به رابطه های بدست آمده برای f به سادگی نتیجه می شود که f در سرتا سر اعداد حقیقی تابعی ثابت است.و برای هر a داریم:

$f(a)=f(1)=f(0)=f(-1)$ .

**ali_hp** · 08-11-2009, 15:33

تابع زیر را در نظر بگیرید:

$f(m)=(2m-1)([\frac{(2m)!+1}{2m+1}]+[ \frac{(2m)!+1}{-2m-1}]+1)+2$

نشان دهید این تابع همه اعداد اول را تولید می کند،و فقط هم اعداد اول را تولید می کند.
سطح سوال:همه کسانی که آشنایی خیلی مقدماتی با نظریه اعداد دارند!
توجه: [x] یعنی بزرگنرین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی x

**eh_mn** · 11-11-2009, 23:08

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد عدد $2222^{5555}+5555^{2222}$ بر 7 بخش‌پذير است.

ـــــــــــــــــــــ
13 / 08 / 88

سلام.

ضمن تشكر از only4u-m كه در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

يك راه حل مقدماتي و زيبا براي اين مسأله نوشتن، راه ديگري را با هم مي‌بينيم:
مي‌دانيم كه اگر n فرد باشد آنگاه $a^n+b^n$ بر $a+b$ بخش‌پذير است. همچنين براي هر n طبيعي $a^n-b^n$ بر $a-b$
بخش‌پذير است. اينك داريم
داريم

$5555^{2222}+2222^{55555}=(55555^{2222}-4^{2222}) + (2222^{5555}+4^{5555})-(4^{5555}-4^{2222})$

پرانتز اول و دوم با استفاده از نكات گفته شده بر 7 بخش‌پذيرند. براي پرانتز سوم داريم

$(4^{5555}-4^{2222})=4^{2222}(4^{3333}-1)=4^{2222}(64^{1111}-1)$

كه بنا به دليل مشابه، بر 63 بخش‌پذير است.

ـــــــــــــــــــــــ
20 / 08 / 88

منبع :

D.O.S hklarskyN, .N .C hent zov, and l.M.Yaglo, The USSR Olympiad Problem Book, DOVER Publications Inc.

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

این کاربر از Iron بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی پانزدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی شانزدهم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

پاسخ مساله چهارشنبه شانزدهم

این کاربر از CppBuilder2006 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله یکشنبه پانزدهم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه شانزدهم(فرمول اعداد اول!)

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی شانزدهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن