اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**eh_mn** · 28-10-2009, 19:25

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد

$\int_0^1\int_0^1(xy)^{xy}dx\,dy=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$

راهنمايي: $\alpha^\beta = e^{\alpha\ln \beta}$

ــــــــــــــــــــ
29 / 07 / 88

با سلام.

پيش از هر چيز به دو نكته توجه كنيد:
1) چون

$\frac{d}{dx}x^x=(1+\ln x)x^x$

بنابراين

$\int_0^1(1+\ln x)x^x\,dx=\left.x^x\right]_0^1=0$

در نتيجه

$\fbox{\displaystyle\int_0^1x^x\ln x\,dx=-\int_0^1x^x\,dx}$

2) براي محاسبه انتگرال سمت راست تساوي اخير با توجه به راهنماي و با استفاده از استقرا مي‌توان نوشت

$\int_0^1x^x\,dx=\int_0^1e^{x\ln\,x}\,dx=\int_0^1\sum_{n=0}^\infty\frac{(x\ln x)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\int_0^1\frac{(x\ln x)^n}{n!}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$

و اينك مسأله‌ي اصلي!!
ابتدا از تغيير متغير $xy=t$ استفاده كنيد و سپس جاي انتگرال‌ها را (با قواعد مربوط به خودش) تغيير دهيد تا نتيجه مطلوب با اندكي محاسبه حاصل شود.

ــــــــــــــــــــ
06 / 08 / 88

**eh_mn** · 28-10-2009, 19:28

نشان دهيد يك عدد طبيعي n را مي‌توان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت اگر و فقط اگر عدد 2n را بتوان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت.

ـــــــــــــــــــ
06 / 08 / 88

**mofidy1** · 29-10-2009, 19:27

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

اگر n عددی طبیعی باشد، ثابت کنید:

$\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\binom{n}{6}+\cdots=\frac{1}{3}\left ( 2^n+2cos\frac{n\pi}{3} \right )$

راهنمایی:

از ریشه ی سوم واحد، قضیه ی دو جمله ای و قانون دموآور استفاده کنید.

موفق باشید.

30 مهر 1388

با سلام

سمت چپ را S بنامید و w را ریشه ی سوم مناسب واحد فرض کنید. در این صورت

$e^{\frac{1}{3}n\pi i}=(1+w)^n=S+w\left \{ \binom{n}{1}+\binom{n}{4} +\cdots\right \}+w^2\left \{ \binom{n}{2}+\binom{n}{5} +\cdots \right \}$

قسمت حقیقی عبارت است از

$cos(\frac{n\pi}{3})=S-\frac{1}{2}\left \{ \binom{n}{1} +\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}+\cdots\right \}=S-\frac{1}{2}\left ( 2^n-S \right )$

S را از معادله ی بالا بیابید.

آموزش حل مساله:

مساله ی بالا کاربرد دیگری از اعداد مختلط برای حل مسائل حقیقی است.

موفق باشید.

7 آبان 1388

**mofidy1** · 29-10-2009, 22:51

با سلام

الف) اعداد طبیعی از 1 تا 10 به توان 10 را در نظر بگیرید. از میان این اعداد، آن هایی که رقم 1 دارند بیش ترند یا آن هایی که رقم 1 ندارند؟

ب) در صورتی که اعداد طبیعی 1 تا 222222222 به دنبال هم نوشته شوند، چند صفر نوشته ایم؟

موفق باشید.

7 آبان 1388

میلاد مولانا علی ابن موسی الرضا - علیه الصلاة و السلام- مبارک باد
هشت هشت هشتاد و هشت

**Iron** · 30-10-2009, 11:40

سلام

آسوناشو سوا کردم

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد يك عدد طبيعي n را مي‌توان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت اگر و فقط اگر عدد 2n را بتوان به صورت مجموع دو مربع كامل نوشت.

ـــــــــــــــــــ
06 / 08 / 88

$n=a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow 2n=2a^{2}+2b^{2}=2a^{2}+2b^{2}-2ab+2ab=(a^{2}+b^{2}+2ab)+(a^{2}+b^{2}-2ab)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یک ترازوی دیجیتال سه رقمی بر حسب گرم داریم. و یک کیسه صدتایی از گلوله های قرمز،یک کیسه صدتایی از گلوله های آبی و یک کیسه صدتایی از گلوله های سبز.می دانیم وزن گلوله های هر یک از کیسه ها عددی یک رقمی بر حسب گرم است.(وزن گلوله های داخل یک کیسه با هم برابر است.
با یک بار استفاده از ترازو وزن گلوله های هر کیسه را مشخص کنید!

یک گلوله قرمز و ده گلوله آبی رو میندازیم تو کیسه گلوله های سبز و وزنش می کنیم. رقم اول از راست میشه وزن گلوله قرمز، رقم دوم وزن گلوله آبی و رقم آخر هم وزن گلوله سبز.

**eh_mn** · 30-10-2009, 12:57

نوشته شده توسط Iron [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

آسوناشو سوا کردم

$n=a^{2}+b^{2}\Leftrightarrow 2n=2a^{2}+2b^{2}=2a^{2}+2b^{2}-2ab+2ab=(a^{2}+b^{2}+2ab)+(a^{2}+b^{2}-2ab)=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

سلام

اگر 2n مجموع دو مربع كامل باشد آيا لزومي دارد كه $2n=2a^{2}++2b^2$ ؟ چرا؟

**ali_hp** · 01-11-2009, 16:56

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یک ترازوی دیجیتال سه رقمی بر حسب گرم داریم. و یک کیسه صدتایی از گلوله های قرمز،یک کیسه صدتایی از گلوله های آبی و یک کیسه صدتایی از گلوله های سبز.می دانیم وزن گلوله های هر یک از کیسه ها عددی یک رقمی بر حسب گرم است.(وزن گلوله های داخل یک کیسه با هم برابر است.
با یک بار استفاده از ترازو وزن گلوله های هر کیسه را مشخص کنید!

سلام
Iron عزیز به درستی مساله رو حل کردند.
یک گلوله قرمز و ده تا آبی و صدتا سبزو روی ترازو میزاریم،اگر وزن گلوله های قرمز a ،و آبی ها b و سبز ها c باشد،ترازو عدد 100c+10b+a را نشان می دهد،که با توجه به اینکه a,b,c بین صفر تا نه هستند نتیجه می شود که رقم اول(یکان) عددی که ترازو نشان می دهد برابر a است و رقم دوم(دهگان) برابر b و رقم سوم(صدگان) برابر c است.

**ali_hp** · 01-11-2009, 17:06

فرض کنید $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ پیوسته و برای هر x حقیقی داشته باشیم: $f(x)=f(x^3)$ .

ثابت کنید f تابعی ثابت است.

(سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر!)

**davy jones** · 01-11-2009, 17:34

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض کنید $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ پیوسته و برای هر x حقیقی داشته باشیم: $f(x)=f(x^3)$ .

ثابت کنید f تابعی ثابت است.

(سطح سوال:سوم دبیرستان و بالاتر!)

ببخشيد يه سوال داشتم: تابع f ميتونه يك به يك باشه؟ آخه اگه باشه سوال خيلي راحت حل ميشه.

**ali_hp** · 01-11-2009, 17:53

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ببخشيد يه سوال داشتم: تابع f ميتونه يك به يك باشه؟ آخه اگه باشه سوال خيلي راحت حل ميشه.

توی فرض سوال نیومده که f یک به یکه،پس نمی تونیم از یک به یک بودنش استفاده کنیم....
باید تا میتونید از پیوستگی و خاصیت عجیبی که f داره استفاده کنید و ثابت کنید تابع ثابته!

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی چهاردهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی پانزدهم

حل مساله ی پنج شنبه ی دوازدهم (سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله ی پنج شنبه ی سیزدهم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از Iron بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله یکشنبه چهاردهم

مساله یکشنبه پانزدهم

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن