اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**ali_hp** · 12-10-2009, 01:18

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

مساله یکشنبه یازدهم:
الف)ثابت کنید که در صفحه نقطه ای وجود دارد که از نقاط صحیح صفحه فواصلی متمایز دارد.
ب)ثابت کنید که در صفحه نقطه ای وجود دارد که از نقاط صحیح فضا فواصلی متمایز دارد.

حل:
الف)عمود منصف بین هر دو نقطه صحیح در صفحه را در نظر بگیرید،تعداد آنها شماراست(چرا؟) بنابر این تمام صفحه را نمی پوشانند( در غیر اینصورت یک خط غیر از این عمود منصفها را در نظر بگیرید،هرکدام از این شمارا عمود منصف این خط را حداکثر در یک نقطه قطع می کند،پس این خط با شمارا نقطه پوشانده شده است که
تناقض است!)پس نقطه ای وجود دارد که روی این عمود منصف ها نیست،و از نقاط صحیح صفحه فواصلی متمایز دارد.
ب)صفحه عمود منصف بین هر دو نقطه صحیح در فضا را در نظر بگیرید،تعداد آنها شماراست(چرا؟)بنابر این تمام صفحه را نمی پوشانند.(در غیر این صورت یک صفحه غیر از این صفحات عمود منصفها را در نظر بگیرید،هریک از این صفحات عمود منصف این صفحه را حداکثر در یک خط قطع می کند،پس این صفحه حداکثر با تعداد متناهی خط پوشانده شده است که طبق الف تناقض است!) پس نقطه ای وجود دارد که روی این عمود منصف ها نیست،و از نقاط صحیح فضا فواصلی متمایز دارد.

**ali_hp** · 12-10-2009, 01:24

مجموع تعدادی عدد طبیعی برابر هزار است،بیشترین مقدار ممکن برای حاصلضرب آنها چقدر است؟

**eh_mn** · 14-10-2009, 13:32

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد سري زير به عددي اصم (غير گويا) همگراست

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n!}}$

ــــــــــــــــــــ
15 / 07 / 88

سلام

از CppBuilder2006 به خاطر اين كه زحمت كشيدن و در

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

نظرشون رو اعلام كردن ممنونم.
اصلا واضح نيست كه

$\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=0}^mb_i10^{i-n!}$

عددي اعشاري است. توجه كنين كه در حساب يك مجموع نامتناهي حدگيري انجام مي‌شود. براي اين كه منظورم واضح تر بشه راه حل CppBuilder2006 رو براي همين مجموع وقتي به جاي n فاكتوريل خود n رو بذاريم بازنويسي كنين.

اما راه حل:

مشابه CppBuilder2006، بدون اين كه به كليت آسيبي برسد ما هم به جاي 2 از 10 استفاده مي‌كنيم. همگرا بودن سري واضح است چون

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{10^{n!}}<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{10^{n}}=\frac{1}{9}$

مي‌دانيم كه بسط اعشاري يك عدد گنگ، تناوب ندارد. حال مجموع مورد سوال را در نظر مي‌گيريم. فرض كنيد بخواهيم بسط اعشاري آن را بنويسيم. بايد در مكان اول، در مكان دوم، در مكان 6ام و ... و در مكان $n!$ ام و ... عدد يك را قرار دهيم. فاصله مكان يكِ n ام تا فاصله‌ي مكان يكِ n+1 ام برابر n+1 است و از اين رو اين بسط اعشاري هيچ تناوبي ندارد.

موفق باشيد

ــــــــــــــــــ
22 / 07 / 88

**eh_mn** · 14-10-2009, 13:43

فرض كنيم A يك ماتريس m در n ( $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ )و b يك بردار ستوني m تايي ( $y\in\mathbb{R}^{m}$ )و همگي داراي درايه‌هاي حقيقي باشند. نشان دهيد

دستگاه $Ax=b$ جواب دارد اگر و تنها اگر براي هر $y\in\mathbb{R}^m$ كه $y^TA=0$ داشته باشيم $y^Tb=0$ .

ـــــــــــــــــــــــ
22 / 07 / 88

**CppBuilder2006** · 14-10-2009, 14:07

اصلا واضح نيست كه ...

بله اثبات دقیق داره ولی برای من واضحه. البته وقتی !n باشه. توجه کنید که وقتی n به اندازۀ کافی بزرگ باشه حداقل یه رقم بعد از اعشار هست که غیر صفره چون فقط یه بار جمع میشه. مجموع
$\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=0}^mb_i10^{i-n!}$
تا حدی نمایش اعشاری (یا بهتره بگم دو دویی) رو مشخص میکنه.

**mofidy1** · 15-10-2009, 20:17

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

عبارت زیر را در اعداد حقیقی تجزیه کنید:

$4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

موفق باشید.

9 مهر 1388

با سلام

ازParser که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساله را به درستی حل کردند، تشکر می کنم. راه حل نسبتاً ساده تری هم هست که عرض می کنم:

از x^2 که فاکتور بگیرید، به عبارت زیر می رسید:

$4x^2\left [ \left (x^2+\frac{1}{x^2} \right )+ \left (x+\frac{1}{x} \right )+ 1 \right ]$

اگر داخل پرانتز دوم را t فرض کنید و پرانتز اول را هم بر حسب t بنویسید(به وسیله ی اتحاد مربع دو جمله ای)، عبارت بالا به صورت زیر در می آید:

$4x^2(t^2+t-1)$

اگر ریشه های چند جمله ای داخل پرانتز را به دست آورید، عبارت بالا به صورت زیر تجزیه می شود:

$4x^2\left ( t+\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right )\left ( t-\frac{\sqrt{5}-1}{2} \right )$

حال اگر به جای t مقدارش را قرار دهید و عبارت را ساده کنیم، تجزیه ی مطلوب به صورت زیر به دست می آید:

$\left [ 2x^2+\left ( \sqrt{5}+1 \right )x+2 \right ]\left [ 2x^2-\left ( \sqrt{5}-1 \right )x+2 \right ]$

روش حل مساله:

یکی از روش های قدرتمند حل مسائل جبری، تغییر متغیر است که در بالا نمونه ای از آن را دیدید.

موفق باشید.

23 مهر 1388

**mofidy1** · 15-10-2009, 21:12

با سلام

ضریب x^2 وقتی عبارت زیر را بسط می دهیم و ساده می کنیم، چیست؟

$\left ( \cdots \left (\left (\left ( x-2 \right )^2-2 \right )^2-2 \right )^2-\cdots- 2 \right )^2$

موفق باشید.

23 مهر 1388

**mir@** · 17-10-2009, 00:30

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای سه عدد حقیقی $a<b<c$ و تابع f پیوسته روی $[a,c]$ ; و مشتق پذیر روی $(a,c)$ مشتق تابع روی کل بازه مطلقا صعودی است. نشان دهید:

$(c-b)f(a)+(b-a)f(c)>(c-a)f(b)$

با استفاده از قضیه مقدار میانی، اعداد حقیقی u و v وجود دارند به نحوی که

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(u), a<u<b$
$\frac{f(c)-f(b)}{c-b}=f'(v), b<v<c$

از آنجا که $a<u<v<c$ مشتق هم صعودی است، $f'(v)>f'(u)$ و در نتیجه

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$

که عبارت خواسته شده را نتیجه می دهد.

**mir@** · 17-10-2009, 02:54

اگر a,b,c اضلاع یک مثلث باشند نشان دهید:

$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \ge \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+3$

**اليادران** · 17-10-2009, 09:42

اصلا سوال چيه جايزه چيه

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله یکشنبه یازدهم

مساله یکشنبه دوازدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی دوازدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی سيزدهم

حل مساله ی پنج شنبه ی دهم (سطح سوال: اول و دوم دبیرستان)

مساله ی پنج شنبه ی یازدهم (سطح سوال: ریاضیات گسسته ی دانشگاه)

حل مسئله شنبه دوازدهم

مسئله شنبه سیزدهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن