اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**Parser** · 03-10-2009, 10:09

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد براي هر عدد فرد مانند n تعداد اعداد فرد دنباله‌ي زير، فرد است

$\binom{n}{1},\binom{n}{2},\dots,\binom{n}{\frac{n-1}{2}}$

همان طور که می دانید مجموع دو عدد فرد، عددی است زوج، همچنین مجموع دو عدد زوج عددی زوج است. و مجموع یک عدد فرد و یک عدد زوج، فرد است.

به راحتی می توان به استقرا نشان داد که اگر مجموع چند عدد طبیعی، فرد باشد، تعداد اعداد فرد، در بین اعدادی که با هم جمع شده اند، فرد است.

اکنون بسط دو جمله ای نیوتون را در نظر بگیرید.

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^nb^{n-k}$

اگر n طبیعی و بزرگتر از یک و فرد فرض شود، و a و b هر دو یک در نظر گرفته شوند،

$n=2m+1\,,\,m\in \mathbf{N}\,\,\,\,,\,\,\,\,2^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}$

$\Rightarrow 2^n=\left ( \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \right )+\left ( \binom{n}{\frac{n+1}{2}}+...+\binom{n}{n-1}+\binom{n}{n} \right )$

در سمت راست تساوی، پرانتز اوّل، $\frac{n-1}{2}$ عدد با هم جمع شده اند. ( دقّت کنید که n فرد است پس $\frac{n-1}{2}$ عددی طبیعی است. )

در پرانتز دوم نیز $\frac{n-1}{2}$ عدد با یکدیگر جمع گشته اند.

از طرفی می توان نشان داد که $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ ( k طبیعی و کوچکتر از n ) ، پس:

$n=2m+1\,\,,\,\,m\in \mathbf{N}\,\,\Rightarrow \,\,2^n=2\left ( \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \right )$
$\Rightarrow 2^{n-1}-1=\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}}$

با توجّه به اینکه n>1، $2^{n-1}$ عددی است زوج. پس $2^{n-1}-1$ فرد است. بنابراین عبارت سمت راست تساوی فوق عددی فرد است.

با توجّه به مقدّمه ی ابتدای برهان، باید در بین $\frac{n-1}{2}$ عدد سمت راست تساوی که با هم جمع گردیده اند، تعداد اعداد فرد، فرد باشد.

**Parser** · 03-10-2009, 14:56

به نام معشوق ازلی

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

عبارت زیر را در اعداد حقیقی تجزیه کنید:

$4(x^4+x^3+x^2+x+1)$

سلام

$x^4+x^3+x^2+x+1\equiv (x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)$

**mofidy1** · 03-10-2009, 23:51

نوشته شده توسط Parser [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

به نام معشوق ازلی

سلام

$4(x^4+x^3+x^2+x+1)\equiv (x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)$

با سلام

چگونه به این تجزیه رسیدید؟ راه حل را توضیح دهید.

با تشکر

11 مهر 1388

**ali_hp** · 05-10-2009, 00:11

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

احکام زیر را ثابت یا رد کنید:
الف)برای هر عدد طبیعی n،دایره ای در صفحه وجود دارد که دقیقا شامل n نقطه با مختصات صحیح باشد.
ب)برای هر عدد طبیعی n،کره ای در فضا وجود دارد که دقیقا شامل n نقطه با مختصات صحیح باشد.

راهنمایی برای حل مساله یکشنبه دهم:
ابتدا سعی کنید ثابت کنید که:
برای الف:نقطه ای در صفحه وجود دارد که از نقاط با مختصات صحیح در صفحه فواصلی متمایز دارد.
حال دایره ای به مرکز نقطه مذکور طوری در نظر بگیرید که حداقل N نقطه با مختصات صحیح داخلش باشد،حال با توجه به اینکه با کاهش شعاع این دایره هیچ دو نقطه صحیحی به طور همزمان از دایره خارج نمی شوند،می توان شعاع دایره را کاهش داد و به دایره ای رسید که دقیقا N نقطه صحیح داخلش وجود دارد.
قسمت ب نیز با استدلال مشابه حل می شود.
مساله یکشنبه یازدهم:
الف)ثابت کنید که در صفحه نقطه ای وجود دارد که از نقاط صحیح صفحه فواصلی متمایز دارد.
ب)ثابت کنید که در صفحه نقطه ای وجود دارد که از نقاط صحیح فضا فواصلی متمایز دارد.

**Parser** · 05-10-2009, 10:23

به نام معشوق ازلی

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

چگونه به این تجزیه رسیدید؟ راه حل را توضیح دهید.

سلام

عبارت تجزیه شده ی یک چند جمله ای درجه ی چهار را به صورت حاصل ضرب دو چند جمله ای درجه ی دو، یا یک عبارت درجه ی یک و یک درجه ی سه، یا مثلاً به صورت حاصل ضرب سه چند جمله ای، دو عبارت با درجه ی یک و یکی با درجه ی دو و... در نظر گرفت. ( دقّت داشته باشید ک درجه ی عبارات، طبیعی در نظر گرفته شده اند. )

از آنجا که چند جمله ای $x^4+x^3+x^2+x+1$ ریشه ی حقیقی ندارد، همچنین به دلیل اینکه در صورت سؤال نیز تجزیه در حوزه ی اعداد حقیقی مطرح است، مناسب است که تجزیه ی چند جمله ای درجه ی چهار در صورت سؤال، به فرم حاصل ضرب دو عبارت درجه ی دو باشد.

دقّت کنید که اگر حتّی یکی از عبارات، در شکل تجزیه شده، از درجه ی یک باشد، لازم است که همان عبارت با درجه ی یک، به ازای ریشه ای از $x^4+x^3+x^2+x+1$ صفر گردد، که در آن صورت، ضریب x یا مقدار ثابت ( یا هر دو ) عدد مختلط با مؤلّفه ی موهومی غیر صفر است.

حال می توان از روش اکتشافی به صورت علمی، بهره برد.

$x^4+x^3+x^2+x+1\equiv (x^2+ax+c)(x^2+bx+\frac{1}{c})$

اتّحاد فوق به ازای هر عدد حقیقی برای x برقرار است. یا به عبارتی دامنه ی اتّحاد برای تک متغیّر x ، مجموعه ی اعداد حقیقی است. به علامت $\equiv$ توجّه کنید. عبارت فوق اتّحاد است. نه صرفاً یک معادله که به ازای برخی مقادیر برای x برقرار باشد. پس تحت شرایطی ( از جمله ی شرایط مربوط به دامنه، همچنین بررسی یکتایی جواب و ... که در اینجا برقرار هستند ) می توان به موازنه ی ضرایب طرفین پرداخت.

شاید این سؤال پیش بیاید که چرا ضریب های $x^2$ ها در دو پرانتز سمت راست، برابر با یک هستند.

در جواب می توان گفت که اگر قرار باشد با ضرب دو پرانتز سمت راست، چند جمله ای سمت چپ حاصل گردد، چون رابطه ی برابری فوق، به ازای هر عدد حقیقی برای x برقرار است، لازم است که ضریب $x^4$ در طرف چپ، مانند طرف راست، یک باشد. جمله ی درجه ی چهار تنها از دو جمله ی درجه ی دو، ( $x^2$ ها ) واقع در دو پرانتز، ایجاد می شود، پس باید ضریب های حقیقی و غیر صفر ها، عکس هم باشند، با تغییر آن دو، ضریب های x ها و مقدار ها ثابت نیز به شکلی منطقی تغییر می کنند، و نتیجه ی مطلوب حاصل می شود.

$\alpha \neq 0\Rightarrow (x^2+ax+c)(x^2+bx+\frac{1}{c})=\alpha \frac{1}{\alpha }(x^2+ax+c)(x^2+bx+\frac{1}{c})$

$=(\alpha x^2+\alpha ax+\alpha c)(\frac{1}{\alpha }x^2+\frac{b}{\alpha }x+\frac{1}{\alpha c})$

اکنون می توان نوشت:

$x^4+x^3+x^2+x+1\equiv x^4+(a+b)x^3+(ab+c+\frac{1}{c})x^2+(\frac{a}{c}+bc)x+1$

عدد یک در سمت چپ نیز تنها با ضرب مقادیر غیر صفر ثابت، در دو پرانتز ایجاد می گردد. پس دو مقدار حقیقی غیر صفر ثابت گفته شده، عکس هم هستند.

حال، می شود به اکتشاف دست زد!
می توان روابط زیر را به منظور دستیابی به نتیجه ی مورد نظر در نظر گرفت.

$\left\{\begin{matrix} a+b=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ ab+c+\frac{1}{c}=1\\ \frac{a}{c}+bc=1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{matrix}\right.$

پس از حلّ دستگاه فوق ( جایگزینیa با b+1 - ) به عنوان یک جواب مطلوب، می توان در نظر گرفت c=1

اکنون باید به دنبال دو عدد گشت ( a,b ) به نحوی که جمع آن دو یک، و حاصل ضربشان منفی یک شود.

با تشکیل و حلّ معادله ی درجه ی دوم $y^2-y-1=0$ مقدار های $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ و $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ بدست می آیند.

درنتیجه می توان( پس از امتحان درستی عبارت زیر ( برای هر عدد حقیقی ) ) ، اظهار داشت

$x^4+x^3+x^2+x+1\equiv (x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1)$

تأکید دوباره: به علامت $\equiv$ توجّه نمایید. x هر عدد حقیقی می تواند باشد.

هر جایی نمی توان به موازنه ی ضرایب پرداخت....

**eh_mn** · 07-10-2009, 19:16

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ثابت كنيد براي هر عدد فرد مانند n تعداد اعداد فرد دنباله‌ي زير، فرد است

$\binom{n}{1},\binom{n}{2},\dots,\binom{n}{\frac{n-1}{2}}$

(توجه كنيد كه براي هر n و هر دو عدد حقيقي a و b داريم

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

.)
ــــــــــــــــــ
08 / 07 / 88

با سلام و درود فراوان

از Parser عزيز كه زحمت كشيدن حل اين مسأله رو با توضيحات كافي در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

انجام دادن بسيار ممنون.

موفق باشيد

ـــــــــــــــــــ
15 / 07 / 88

**eh_mn** · 07-10-2009, 19:23

نشان دهيد سري زير به عددي اصم (غير گويا) همگراست

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n!}}$

ــــــــــــــــــــ
15 / 07 / 88

**CppBuilder2006** · 08-10-2009, 08:21

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد سري زير به عددي اصم (غير گويا) همگراست

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n!}}$

ــــــــــــــــــــ
15 / 07 / 88

**mir@** · 10-10-2009, 02:21

حل مسئله شنبه یازدهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تمام ماتریس های دو در دوی B و C را بیابید که

$B^3+C^3= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\Rightarrow A^2+3A+2I=0 \Rightarrow A^3+3A^2+2A=0 \\ \Rightarrow (A+I)^3=A^3+3A^2+3A+I=A+I \Rightarrow A=(A+I)^3-I\\\Rightarrow B=A+I, C=-I$

**mir@** · 10-10-2009, 02:46

برای سه عدد حقیقی $a<b<c$ و تابع f پیوسته روی $[a,c]$ ; و مشتق پذیر روی $(a,c)$ مشتق تابع روی کل بازه مطلقا صعودی است. نشان دهید:

$(c-b)f(a)+(b-a)f(c)>(c-a)f(b)$

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

حل مساله یکشنبه دهم و مساله یکشنبه یازدهم

حل مسأله‌ی چهارشنبه‌ی يازدهم

مسأله‌ی چهارشنبه‌ی دوازدهم

مسئله شنبه دوازدهم

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن