اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

[CppBuilder2006]

با سلام

سعی کنید شکل زیر را با حرکت پیوسته ی قلم، بدون این که از یک مسیر، دوبار عبور نمایید، رسم کنید:

موفق باشید.

5 شهریور 1388

یه بار با این جور شکلا بازی می کردم دیدم همۀ شکلایی رو که با حرکت پیوسته ی قلم، بدون این که مسیری دوبار طی بشه، رسم میکنیم و به نقطۀ اول بر میگردیم با دو تا رنگ میشه رنگ کرد. مثل قضیۀ چهار رنگ. حالا اگه این حدس من درست باشه و ثابت بشه، چون گوَشه شکل (مربع بزرگ) بالا رو با دو رنگ نمیشه رنگ کرد پس رسم پیوسته ی بدون تکرار با بازگشت به نقطۀ اول امکان نداره.

[maziar92142]

تایید میشه
برای اتفاق افتادن باید مرتبه ی 2 راس فرد وبقیه زوج باشه که اینجا 4 راس فرده

[mir@]

حل مسئله شنبه پنجم

.
فرض کنید M نقطه ای است داخل مثلث ABC . ثابت کنید داریم:

از جمع دو نامساوی بالا و با توجه به اینکه داریم:



و بعد از ساده شدن:

جناب آقای amintnt -مدظله العالی-
آفرین بر نفست باد که خوش بردی بوی

[mir@]

.
مقدار مجموع زیر را برای تمامی n های مثبت بیابید:

راهنمایی: عبارت زیر را ساده کرده و از قاعده تلسکوپی استفاده کنید:

[ali_hp]

زیرمجموعه ی A از اعداد طبیعی را ضعیف می نامیم، هر گاه مجموع هیچ دو عضوی از A بر عضوی از A بخش پذیر نباشد. در ضمن، یک مجموعه را بزرگ می نامیم، هر گاه هیچ زیرمجموعه ی ضعیف دیگری شامل آن نباشد. درستی و نادرستی هریک از گزینه های زیر را بررسی کنید.
الف) نامتناهی مجموعه ی ضعیف نامتناهی داریم.
ب) مجموعه ی ضعیف نامتناهی وجود دارد که بزرگ است.
ج) نامتناهی مجموعه ی ضعیف متناهی داریم که بزرگ هستند.
د) مجموعه ی ضعیف نامتناهی وجود دارد که همه ی اعضای آن بر 1381 بخش پذیر اند.
ﻫ) مجموعه ای ضعیف وجود دارد که از هر سه عدد متوالی حداقل یکی را دارا است.

الف)درست است.با استفاده ازقضیه باقیمانده چینی و به صورت استقرایی ،با شروع از هر عدد بزرگتر از دو،می توان یک مجموعه ضعیف نامتناهی صعودی درست کر د!
ب)درست است.مجموعه ضعیفی را در نظر بگیرید که با شروع از سه ساخته می شود،و در هر مرحله کوچکترین عدد ممکن به آن اضافه می شود!
ج)درست است.فرض کنید فقط تعدادی متناهی مجموعه ضعیف نامتناهی بزرگ داریم،حاصلضرب کوچکترین عضو این مجموعه ها را به عنوان عضو شروع یک مجموعه جدید در نظر بگیرید!
د)درست است .یک مجموعه ضعیف نامتناهی در نظر بگیرید و اعضای آن را در 1381 ضرب کنید!
ه)درست نیست.اگر چنین مجموعه ای وجود داشته باشد پس 3 اولین عضو آن است،حال اگر عضو بعدی مثلا به صورت 3k+1 باشد،همه اعضا باید به همین صورت باشند،پس همه 3k+1 ها عضو این مجموعه هستند!(چرا؟)
که تناقض است!(چرا؟)

[ali_hp]

27) در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه است (B=90o) و AB=10-π و BC=6. نیم استوانه ای با شعاع واحد و محور عمود بر AB، بین نقاط A وC مانع شده است.

مورچه بنا به دلایلی (!) باید هر چه سریع تر از نقطه ی A به لانه اش در نقطه ی C برود. طول کوتاه ترین مسیر ممکن چقدر است؟
(مساله مرحله اول بیست یکمین المپیاد ریاضی ایران،برای دیدن کلیه مساِیل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
بروید.)

[amintnt]

.
مقدار مجموع زیر را برای تمامی n های مثبت بیابید:

راهنمایی: عبارت زیر را ساده کرده و از قاعده تلسکوپی استفاده کنید:

وقتی ساده میکنیم و از قاعده ی تلسکوپی استفاده میکنیم در مخرج کسر دوم به !(1-) میرسیم که تعریف نشده... چی کارش کنیم؟
بعد این دومیه معادل بالاییه؟

[CppBuilder2006]

۲۷) در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه است (B=90o) و AB=10-π و BC=6. نیم استوانه ای با شعاع واحد و محور عمود بر AB، بین نقاط A وC مانع شده است.

مورچه بنا به دلایلی (!) باید هر چه سریع تر از نقطه ی A به لانه اش در نقطه ی C برود. طول کوتاه ترین مسیر ممکن برابر است با

الف) ب) ج) 10

د) 7+π ﻫ) 11

فک کنم جواب بشه رادیکال 136 یعنی الف
البته منظور از AB=10-pio رو بدون احتساب تکۀ زیر استوانه می گیریم.

[mir@]

وقتی ساده میکنیم و از قاعده ی تلسکوپی استفاده میکنیم در مخرج کسر دوم به !(1-) میرسیم که تعریف نشده... چی کارش کنیم؟
بعد این دومیه معادل بالاییه؟

من که حلشو میبینم به نظرم این طوری نیست. شما یه کم بیشتر دقت کن. دومیه تقریبا معادل بالاییه.

[saber57]

27) در شکل مقابل مثلث ABC قائم الزاویه است (B=90o) و AB=10-π و BC=6. نیم استوانه ای با شعاع واحد و محور عمود بر AB، بین نقاط A وC مانع شده است.

مورچه بنا به دلایلی (!) باید هر چه سریع تر از نقطه ی A به لانه اش در نقطه ی C برود. طول کوتاه ترین مسیر ممکن چقدر است؟
(مساله مرحله اول بیست یکمین المپیاد ریاضی ایران،برای دیدن کلیه مساِیل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بروید.)

کوتاهترین مسیر همون AC هست پس کافیه مقدار وتر بدست بیاد . محیط نیم دایره برابر pi هست . با توجه به شکل مشخصه که اختلاف طول وترAC و ضلع مقابلش AB برابر محیط نیم استوانه یا pi هست !!بنابراین:

AC-AB=pi ---->AC=AB+pi----->AC=10-pi+pi----->AC=10

بنابراین گزینه ج صحیح میباشد