◄◄ اتــــــاق مـــــــثــــــلـــــــثـ ــــات ►►

[Boye_Gan2m]

توابع مثلثاتی






تعریف روی مثلث قائم الزاویه

برای تعریف توابع مثلثاتی از یک مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم به عنوان مثال می خواهیم این توابع را برای زاویه A در شکل روبرو تعریف کنیم
ما برای استفاده از این مثلث نامگذاری زیر را انجام می دهیم.
وتر ضلعی است که روبروی زاویه قائم قرار دار که بلندترین ضلع مثلث نیز می باشد و آن را با h نشان داده شده است.
ضلع مقابل زاویه A که آن را با a نشان می دهیم.
ضلع مجاور زاویه قائمه که درشکل با b نشان داده شده است.
حال توابع مثلثاتی را برای زاویه A روی مثلث ABC تعریف می کنیم.

• sin: نسبت ضلع مقابل به وتر را سینوس می گویند یعنی:

• cos: نسبت ضلع مجاور به وتر را گویند یعنی داریم:

• tangent: نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور را گویند.

• cosecant: نسبت وتر به ضلع مقابل زاویه را گویند.

• secant: نسبت وتر به ضلع مجاور است

• cotangent: نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل را گویند.

[Boye_Gan2m]

دایره مثلثاتی
دایره مثلثاتی دایره‌ای است با درجه‌بندی و جهت حرکت مشخص که به آن جهت مثلثاتی گویند و آن پادساعت گرد یا عکس ساعت گرد است. شعاع این دایره واحد است و حداکثر مقدار توابع مثلثاتی سینوس یا کوسینوس که در این دایره بدست می‌آید می‌تواند واحد شود. هارمونیها و هماهنگها ، چرخش ، حرکت دورانی ، حرکات پریودیک و دوره‌ای ، حرکات تناوبی ، حرکات رفت و برگشتی در یک مسیر مشخص را می‌توان توسط این دایره و کمیات مثلثاتی برای بیان مکان و زمان و توصیف این حرکات و موقعیت بکار برد.
در دایره ی مثلثاتی 4 محور اصلی وجود دارد.به محور عمودی محور سینوس، و به محور افقی محور کسینوس گفته می شود.محور تانژانت همچون محور سینوس عمودی است، اما در نقطه ی صفر بر دایره مماس است و با سینوس موازی است.کحور کتانژانت نیز همچون محور کسینوس افقی است، و در نقطه ی 90 درجه بر دایره مماس است و با کسینوس موازی است.

[Boye_Gan2m]

واحدهای اندازه گیری زاویه:
واحد های اصلی برای اندازه گیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آنها می پردازیم:

• درجه:

اگر محیط یک دایره دلخواه را به 360 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است.

برای نمایش درجه از علامت استفاده می شود. لذا می توان گفت:

پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر 360 درجه و زاویه نیم صفحه برابر 180 درجه است.

• استفاده از واحد درجه(degree) برای اندازه گیری زاویه به بابلی ها منسوب است که با دستگاه اعداد در مبنای 60 کار می کردند. همچنین 360 درجه احتمالا از تعداد روزهای سال بابلی ها نشات گرفته است سالی که دارای 12 ماه 30روزه است.

اجزای درجه:
همان گونه که می دانید معمولا هر واحد دارای اجزایی می باشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازه گیری دارای اجزایی می باشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته میشوند)
هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه.

هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه.

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 درجه و 30 دقیقه و 15 ثانیه باشد می نویسیم:

[Boye_Gan2m]

• گراد

اگر محیط یک دایره را به 400 قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد می گویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویه ای به اندازه یک گراد پدید می آورد.گراد گاهی گون نیز گفته می شود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده می شود. لذا می توان گفت:

پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه یا یک دور کامل 400 گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر 200 گراد خواهد بود.

اجزای گراد:
اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr) ، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب یک دهم گراد، یک صدم گراد و یک هزارم گراد می باشند.

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای 37 گراد و 2 دسی گراد و 8 میلی گرا باشد می نویسیم:
استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.

[Boye_Gan2m]

رادیان دایره ای به شعاع L را در نظر بگیرید. می دانیم محیط این دایره است. یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است.

برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده می کنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر رادیان است. و لذا:
که در آن P محیط دایره است.
با استفاده از تعریف رادیان می توان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه برابر s و شعاع دایره r باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را می توان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد:

به عنوان مثال می خواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان محیط دایره است چند رادیان است؟
روش حل بدون استفاده از فرمول(اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع
اگر طول کمان برابر باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با رادیان حال اگر
طول کمان برابر باشد اندازه زاویه چقدر می شود؟

• لازم به توضیح است که پر کاربرد ترین واحد اندازه گیری زاویه رادیان است که بویژه در مثلثات، حساب، فیزیک کاربرد فراوان دارد.

[Boye_Gan2m]

تبدیل واحد های اندازه گیری زاویه به یکدیگر:
دایره ای به شعاع r و زاویه را در دایره در نظر بگیرید:

فرض کنید اندازه زاویه برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم:
1-

=360
=D

2-طول کمان اندازه کمان برحسب گراد
=400
G=

3--__طول کمان اندازه زاویه برحسب رادیان
=
=R

از تساوی های فوق رابطه زیر نتیجه می شود:

به عنوان مثال اگر اندازه زاویه ای برابر 20 گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه میشود:

• هر رادیان تقریبا برابر است با 57.3 درجه است.

[shape]

البته باید توجه داشت که نسبت های مثلثاتی به خودی خود وجود دارند حتی بدون وجود مثلث قائم الزاویه
ما این رو مدیون تلاش های اویلر(1707-1786) ریاضیدان بزرگ سوییسی هستیم که نشان داد :




که در این روابط:

[sanih]

که در این روابط:

که دراین صورت شما دارین از دستگاه اعداد حقیقی خارج میشین و به مجموعه اعداد موهومی وارد میشید. این هم بسط تیلور بجای اف ایکس بذار sin:



boygan2m جان انصافا" خسته نباشی
یاحق

[shape]

Boye_gan2m تلاشهای شما را ارج نهاده و بابت این تاپیک از شما تشکر میکنیم.

[shape]

باعنايت به قضيه حمار اين راه از ضلع Bc كه خط مستقيم است همواره بزرگتر بوده و در بي نهايت با ضلع Bc برابر خواهد شد.پس مي بينيم كه مشكلي نيست!

واقعا مشکلی نیست ولی نه با استدلال شما چون طول این مسیر شکسته ثابته.مشکل واقعی انجاست که

با ادامه ی این روند تا بی نهایت خواهیم داشت: AB+AC=BC

در واقع این خم به خم دیگر میل نمی کند و دوستمون اینجای استدلال رو میپیچونه
برای اطلاعات بیشتر به جلد اول حساب دیف و انتگرال اپوستل مراجعه کنید