◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**Kesel** · 01-05-2012, 17:12

بله چون هم قضیه ی مقدار میانی و هم قضیه ی مقدار میانگین توی شرط هاشون صحبت از پیوسته بودن تابع می کنن که در اعداد مختلط پیوستگی مطرح نیست

**skyzare** · 27-06-2012, 15:04

با سلام .

اساتید این معادلاتی که سمت راست ضربه هست چه جوری باید حل کرد ؟ ( اون $G$ و $C$ ضرایب ثابت هست )

$C\frac{dv(t)}{dt}+Gv(t)=\delta (t)\: \: \: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: \: \:v(0^-)=0$

**davy jones** · 27-06-2012, 17:23

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام .

اساتید این معادلاتی که سمت راست ضربه هست چه جوری باید حل کرد ؟ ( اون $G$ و $C$ ضرایب ثابت هست )

$C\frac{dv(t)}{dt}+Gv(t)=\delta (t)\: \: \: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: \: \:v(0^-)=0$

سلام. جواب عمومی معادله ی همگن اش که واضحه چطوری بدست میاد. برای به دست آوردن یک جواب خصوصی هم مثل همون روش پیدا کردن جواب عمومی معادله ی همگن عمل میکنیم:

$C\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}+Gv(t)=\delta (t)\Rightarrow {v}'+av=b\delta (t)\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{G}{C}\\ \\ b=\frac{1}{C} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow e^{at} ({v}'+av)= be^{at}\delta (t)\Rightarrow e^{at}{v}'+ae^{at}v=be^{at}\delta (t)\Rightarrow {(e^{at}.v)}'=be^{at}\delta (t)$

$\Rightarrow \int {(e^{at}.v)}'=\int be^{at}\delta (t)\Rightarrow e^{at}.v=\int be^{at}\delta (t)$

اما از طرفی بنا بر خاصیت غربالی تابع ضربه داریم:

$\int f(t)\delta (t-t_{0})dt=f(t_{0}).u(t-t_{0})$

بنابراین داریم:

$e^{at}.v=\int be^{at}\delta (t)=be^{a\times 0}u(t-0)=b.u(t)\Rightarrow \mathbf{{\color{Golden} v(t)=be^{-at}u(t)}}$

موفق باشین.
91/4/7
مصادف با سالروز شهادت شهید مظلوم آیت الله بهشتی و 72 تن از یاران انقلاب به دست عوامل منافقین.
----------------------------

ویرایش: در انتگرالهای راه حل، عبارت dt جا افتاده است که دیگه به بزرگواری خودتون میبخشید. حوصله اش نیست که برگردم و کل فرمول رو از اول بنویسم.

**skyzare** · 27-06-2012, 19:14

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اما از طرفی بنا بر خاصیت غربالی تابع ضربه داریم:

$\int f(t)\delta (t-t_{0})dt=f(t_{0}).u(t-t_{0})$

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

ببخشید این $u(t-t_0)$ چرا توی رابطه بالا نوشته شده ؟ اخه قبلا یه بار این رابطه رو یه جای دیگه نوشته بودید این u نداشت .

نوشته شده توسط Hamid [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

تابع دیراک (یا همون تابع ضربه) با این دو مشخصه ی زیر تعریف میشه:

و

که در حقیقت این تابع، مشتق اول تابع پله واحد هستش با این شرط که همواره مساحت زیر نمودار این تابع، برابر با مقدار 1 باشه:

حالا اگه یه تابع دلخواهی مثل f در تابع ضربه، ضرب بشه، طبق همین تعریف، حاصل در همه ی نقاط برابر با صفره مگر در نقطه ای که مقدار تابع ضربه برابر با بینهایت شده. از طرفی چون مقدار y ها در نمودار حاصل ضرب، به اندازه ی مقدار f تغییر کرده، پس در حقیقت ارتفاع مستطیل جزئی در نقطه ی ضربه به اندازه ی مقدار f در نقطه ی ضربه تغییر میکند و در نتیجه مساحت اون مستطیل جزئی هم به همون نسبت تغییر میکند (چون عرض مستطیل که در واقع طول همسایگی روی محور x هستش تغییر نکرده و فقط طول مستطیل هستش که f برابر شده. پس مساحت هم همون f برابر میشه.)

با این توضیحات، پس اگر در یک تابع ضربه ی دلخواه، تابع دیگری ضرب شود، داریم:

$f(t)\delta (t-t_{0})=\begin{cases} +\infty & \text{ if } t=t_{0} \\ 0 & \text{ if } t\neq t_{0} \end{cases}$

و اگر داشته باشیم $a<t_{0}<b$ خواهیم داشت:

$\int_{a}^{b}f(t)\delta (t-t_{0})dt=f(t_{0})$

برای مطالعه ی بیشتر به لینک زیر مراجعه کنین:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
91/3/6

**davy jones** · 27-06-2012, 22:10

سلام. اون موقع اشتباه نوشته بودم

**skyzare** · 04-07-2012, 16:25

با سلام .

ببخشید اگر طرف سمت راست مشتق تابع ضربه ( حالا از هر مرتبه مشتق ) که باشه چه جوری حل میشه ؟؟؟ مثلا این یکی :

$3\frac{d\: ^2i(t)}{dt^2}+4\frac{di}{dt}+2i=\delta '(t)$

شرایط اولیه هم همه اش صفر هست .

$\\i(0^-)=0\\\\ i\: '(0^-)=0$

==================================

**lebesgue** · 04-07-2012, 18:06

میتوانید از تبدیل لاپلاس استفاده کنید.

**skyzare** · 06-07-2012, 20:55

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

میتوانید از تبدیل لاپلاس استفاده کنید.

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

پس در کل پاسخ سوال بالا این جوری میشه :

خوب از طرفین لاپلاس می گیریم :

$L(3i''+4i'+2i=L(\delta '(t))$

$L(3i'')+L(4i')+L(2i)=L(\delta '(t))$

از طرفی می دونیم که :

$L\left \{f^{(n)}(t){ \right \}}=S^nF(s)-S^{(n-1)}f(0)-S^{(n-2)}f'(0)-...-f^{(n-1)}(0)$

$L\left \{ \delta (t-t_0) \right \}=e^{-s\: t_0}$

حال با توجه به اطلاعات بالا این هر قسمت عبارت زیر رو محاسبه می کنیم :

$L(3i'')+L(4i')+L(2i)=L(\delta '(t))$

$L\left \{ i''(t) \right \}=S^2I(S)-i(0)-i'(0)=S^2I(S)$

$L\left \{ i'(t) \right \}=SI(S)-i(0)=SI(S)$

$L\left \{ i(t) \right \}=I(S)$

$L\left \{ \delta '(t) \right \}=SL\left \{ \delta (t) \right \}-\delta (0)=Se^{-s(0)}=S$

بنابراین داریم :

$\\3S^2I(S)+4SI(S)+2I(S)=S\\\\ I(S)(3S^2+4S+2)=S\\\\ I(S)=\frac{S}{3S^2+4S+2}\: \: \: \: \: \rightarrow\: \:\: \: i(t)=L^{-1}\left \{ I(S) \right \}$

که بعد از تبدیل معکوس به دست میاد :

$i(t)=e^{-\frac{2}{3}t}(\frac{1}{3}cos\frac{\sqrt{2}}{3}t-\sqrt{2}sin\frac{\sqrt{2}}{3}t)$

**lebesgue** · 10-07-2012, 11:51

گمان کنم یک ضریب 1/3 پشت sin جا افتاده باشد. همچنین توجه کنید که این پاسخ، برای t≥0 صادق است. اینکه (i(t برای t<0 چگونه است، با استفاده از این روش قابل تعیین نیست. در واقع اگر دقت کرده باشید، این پاسخ در معادله دیفرانسیل صدق نمی کند، مگر اینکه در یک (u(t ضرب شود، یا به عبارتی برای t<0 برابر صفر باشد. البته همواره اینگونه نیست، بسته به شرایط اولیه، ممکن است (i(t برای t<0 نیز مخالف صفر باشد. لازم به ذکر است که در مسائل مقدار اولیه، معمولاً پاسخ برای t<0 مورد توجه نبوده و یافتن پاسخ برای t≥0 کافی است، بنابراین جای نگرانی نیست!

نکته دیگر اینکه در لاپلاس یکطرفه، حد پایین انتگرال $0^-$ است، بنابراین در پست شما، 0 ها باید با $0^-$ جایگزین شوند، وگرنه $\delta (0)$ که بینهایت است.

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ببخشید این $u(t-t_0)$ چرا توی رابطه بالا نوشته شده ؟ اخه قبلا یه بار این رابطه رو یه جای دیگه نوشته بودید این u نداشت .

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام. اون موقع اشتباه نوشته بودم

در واقع هر دو درست است. یکی انتگرال معین است، و دیگری انتگرال نامعین.

**skyzare** · 18-07-2012, 12:02

با سلام .

اساتید این رابطه زیر چه جوری قابل اثبات هست ؟

$L(\frac{f(t)}{t})=\int_{S}^{\infty }F(u)du\\\\$

(( در صورتی که $L(f(t))=F(s)$ و تبدیل لاپلاس $\frac{f(t)}{t}$ وجود داشته باشد ))

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

این کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن