◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**ali_hp** · 09-01-2012, 00:48

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این سوال رو از کجا گیر اوردی؟؟
من تو mathmatica زدم این جواب رو داد

اصلا نمیدونم یعنی چی

اینجا رو بیبنید:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

تابع FrenselC همون تابع C که در لینک بالا تعریف شده هست.این انتگرالی که دوستمون پرسیدن ، گویا قابل بیان به صورت جبری بر حسب توابعی که میشناسیم نیست.تعریف این تابع franselC تقریبا همون انتگرالیه که دوستمون پرسیدن...بعضی وقتها بعضی انتگرالها که به صورت جبری بر حسب توابع مقدماتی قابل بیان نیستن ، و انتگرالهای مهمی هستن ، نام خاصی براشون در نظر گرفته میشه ، و خواصشون بررسی میشه.

یک مثال دیگه انتگرال sinx/x هست:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**skyzare** · 09-01-2012, 12:50

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینجا رو بیبنید:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

تابع FrenselC همون تابع C که در لینک بالا تعریف شده هست.این انتگرالی که دوستمون پرسیدن ، گویا قابل بیان به صورت جبری بر حسب توابعی که میشناسیم نیست.تعریف این تابع franselC تقریبا همون انتگرالیه که دوستمون پرسیدن...بعضی وقتها بعضی انتگرالها که به صورت جبری بر حسب توابع مقدماتی قابل بیان نیستن ، و انتگرالهای مهمی هستن ، نام خاصی براشون در نظر گرفته میشه ، و خواصشون بررسی میشه.

یک مثال دیگه انتگرال sinx/x هست:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما ...

منظورتون از این که میفرمایید نام خاصی براشون در نظر گرفته چیه ؟ یعنی چون انتگرال این تابع نمیشه با توابع جبری بیان بشه میام حاصلش رو برابر یه چیز خاصی که خودمون تعریف کردیم میکنیم ؟ اخه این که منطقی نیست

**davy jones** · 09-01-2012, 20:45

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما ...

منظورتون از این که میفرمایید نام خاصی براشون در نظر گرفته چیه ؟ یعنی چون انتگرال این تابع نمیشه با توابع جبری بیان بشه میام حاصلش رو برابر یه چیز خاصی که خودمون تعریف کردیم میکنیم ؟ اخه این که منطقی نیست

سلام
منظور اینه که تابع C رو طوری تعریف میکنیم که خاصیت مورد نظرمون رو ارضا کنه. در حقیقت داریم روی یک انتگرال اسم میذاریم چون خیلی کاربرده و جوابی نداره. یا به عبارت دیگه تابع C رو اینطوری تعریف میکنیم:

تابع $C(x)$ تابعی است که در آن داشته باشیم: $\frac{\mathrm{d} C(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{\cos (x)}{x}$

موفق باشین.
90/10/19

**skyzare** · 10-01-2012, 18:42

با سلام ...

من یه انتگرال رو حل میکنم ولی جوابم با جواب نهایی که توی کتاب نوشته یکی نمیشه میشه اساتید یه بفرمایید مشکل کجاست ؟؟

توی کتاب این رو نوشته :

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\\\\\\$

حالا من این انتگرال زیر رو با راه تغییر متغیر مثلثاتی حل میکنم ولی جواب اخرم مثل این بالا یی نمیشه .

$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=ln(x+\sqrt{4+x^2})\\\\\\$

================================================== =

این جوری نوشتم :

$\\x=2tan\theta \rightarrow dx=2(1+tan^{2}\theta )d\theta \\\\\\ =\int\frac{2(1+tan^2\theta )d\theta }{\sqrt{4+4tan^2\theta }}=\int \frac{d\theta }{cos\theta } \rightarrow cos\theta =\frac{1-tan^2{\frac{\theta }{2}}}{1+tan^2{\frac{\theta }{2}}}\rightarrow \\\\\\ =\int\frac{1+tan^2{\frac{\theta }{2}}}{1-tan^2{\frac{\theta }{2}}}d\theta \rightarrow tan\frac{\theta }{2}=t\: \: \rightarrow \frac{1}{2}(1+tan^2\frac{\theta }{2})d\theta =dt\\\\\\ =\int \frac{2}{1-t^2}dt=\int (\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t})dt=ln|\frac{1+t}{1-t}|=ln|\frac{1+tan\frac{\theta }{2}}{1-tan\frac{\theta }{2}}|$

$=ln|tan(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}tan^{-1}\frac{x}{2})|$

**skyzare** · 11-01-2012, 00:21

با سلام ...

من یه سوال دارم یه جای یه مطلب رو درست متوجه نمیشم که چی میشه یه جورایی به پست قبلی مربوط میشه . میخوام مشتق تابع معکوس سینوس هایپربولیک رو به دست بیارم یعنی :

$y=sinh^{-1}x \: \: \: \rightarrow y'=??$

خوب کتاب این جوری توشته :

$x=sinh(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2} \: \: \rightarrow e^y-2x-e^{-y}=0$

حالا طرفین بالا رو داخل e^y ضرب کرده و شده :

$\left (e^y \right )^2-2x(e^y)-1=0$

حالا فرض کرده که e^y=t هست یعنی :

$e^y=t\: \:\: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \: t^2-2xt-1=0$

خوب بعد از حل معادله بالا داریم :

$\\\\t=x\pm \sqrt{x^2+1 }\: \: \: \: t=e^y\\\\\\ e^y=x\pm \sqrt{x^2+1 }\: \: \: \: \rightarrow$

خوب حالا گفته چون e^y>0 هست پس جواب منفی رو در نظر نگرفته پس این جوری نوشته :

$e^y=x+ \sqrt{x^2+1 }\: \: \: \: \rightarrow y=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

======================

خوب حالا گفته با توجه به $x=sinh(y)$ و مشتق ضمنی مینونیم این جوری بنویسیم :

$\\x=sinh(y)\rightarrow \\\\\\ 1=cosh(y)\frac{dy}{dx}\: \: \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh(y)}$

خوب تا این جا رو متوجه میشوم ولی این تکه اخرش رو که الان مینویسم نمیدونم چه جوری شده این :

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh(y)}=\frac{1}{\pm \sqrt{1+x^2}}$

من متوجه نمیشم چه جوری عکس کسینوس هیپربولیک با این عبارت رادیکالی برابر شد ؟؟؟؟

در انتها هم گفته که چون $cosh(y)\geq 1> 0$ پس داریم :

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh(y)}=\frac{1}{ \sqrt{1+x^2}}$

================================================== ==

خوب حالا طبق این مطالب بالا اومده نتیجه گیری کرد و این مواردی رو که منویسم رو نوشته :

گفته فرض کنید که u تابعی از x باشه :

$\\\frac{d}{dx}(sinh^{-1}(u))=\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\\\\\\ \int \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=ln(u+\sqrt{1+u^2})$

خوب تا این جا طبق موارد بالا درسته حالا گفته اگه در حالت کلی به جای عدد یک در بالا عددی دیگه باشه مثلا a^2 حاصل مبشه :

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}=ln(u+\sqrt{a^2+u^2})$

================================================== =

به نظرم این نتیجه گیری اخری اشتباه هست من یه چیز دیگه به دست میارم ...

من این جوری میگم :

$\\\int \frac{du}{\sqrt{a^2(1+(\frac{u}{a})^2)}}=\int \frac{\frac{1}{a}du}{\sqrt{(1+(\frac{u}{a})^2)}} \\\\\\ =ln(\frac{u}{a}+\sqrt{1+\left (\frac{u}{a} \right )^2})=ln(\frac{1}{a}(u+\sqrt{1+u^2}))$

**SuperSt@r** · 11-01-2012, 00:33

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

من یه انتگرال رو حل میکنم ولی جوابم با جواب نهایی که توی کتاب نوشته یکی نمیشه میشه اساتید یه بفرمایید مشکل کجاست ؟؟

توی کتاب این رو نوشته :

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=ln(x+\sqrt{a^2+x^2})\\\\\\$

حالا من این انتگرال زیر رو با راه تغییر متغیر مثلثاتی حل میکنم ولی جواب اخرم مثل این بالا یی نمیشه .

$\int \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=ln(x+\sqrt{4+x^2})\\\\\\$

================================================== =

این جوری نوشتم :

$\\x=2tan\theta \rightarrow dx=2(1+tan^{2}\theta )d\theta \\\\\\ =\int\frac{2(1+tan^2\theta )d\theta }{\sqrt{4+4tan^2\theta }}=\int \frac{d\theta }{cos\theta } \rightarrow cos\theta =\frac{1-tan^2{\frac{\theta }{2}}}{1+tan^2{\frac{\theta }{2}}}\rightarrow \\\\\\ =\int\frac{1+tan^2{\frac{\theta }{2}}}{1-tan^2{\frac{\theta }{2}}}d\theta \rightarrow tan\frac{\theta }{2}=t\: \: \rightarrow \frac{1}{2}(1+tan^2\frac{\theta }{2})d\theta =dt\\\\\\ =\int \frac{2}{1-t^2}dt=\int (\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t})dt=ln|\frac{1+t}{1-t}|=ln|\frac{1+tan\frac{\theta }{2}}{1-tan\frac{\theta }{2}}|$

$=ln|tan(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}tan^{-1}\frac{x}{2})|$

سلام دوست عزيز شما اگه از تغيير متغير هياپربوليك بري به جوابتون ميرسيد كه البته حلش كردم بفرمائيد

$x=2sinh\theta \rightarrow dx=2cosh\theta d\theta \rightarrow I=\int \frac{2cosh\theta }{\sqrt{4+4sinh^{2}\theta }}d\theta \rightarrow I=\int d\theta =\theta +c=sinh^{-1}(\frac{x}{2})+c=ln(x+\sqrt{4+x^{2}})$

**skyzare** · 11-01-2012, 00:44

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوست عزيز شما اگه از تغيير متغير هياپربوليك بري به جوابتون ميرسيد كه البته حلش كردم بفرمائيد

$x=2sinh\theta \rightarrow dx=2cosh\theta d\theta \rightarrow I=\int \frac{2cosh\theta }{\sqrt{4+4sinh^{2}\theta }}d\theta \rightarrow I=\int d\theta =\theta +c=sinh^{-1}(\frac{x}{2})+c=ln(x+\sqrt{4+x^{2}})$

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما .

این یکی خیلی راحت تر هست

خوب با این حساب جواب اخر ی که شما نوشتید باید ( منظورم عبارت جلوی ln هست باید x هاش به یه 2 تقسیم بشه دیگه درسته ؟

========================

ولی خوب چرا مال من از این راه به نتیجه نمیرسه

**SuperSt@r** · 11-01-2012, 01:07

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما .

این یکی خیلی راحت تر هست

خوب با این حساب جواب اخر ی که شما نوشتید باید ( منظورم عبارت جلوی ln هست باید x هاش به یه 2 تقسیم بشه دیگه درسته ؟

========================

ولی خوب چرا مال من از این راه به نتیجه نمیرسه

نه ديگه شما اگه از عبارت $sinh^{-1}(\frac{x}{2})$ مشتق بگيري به تابع اوليت ميرسي پس جواب درسته

در مورد اينكه شما چرا به اين جواب نرسيدي هم اينه كه ممكنه اگه شما انتگرال رو به روشهاي متفاوت درست حل كنيد به جوابهايي برسيد كه از نظر ظاهر شبيه نيستند ولي اگه ازشون مشتق بگيريد به همون تابع اوليه ميرسي

**skyzare** · 11-01-2012, 01:17

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نه ديگه شما اگه از عبارت $sinh^{-1}(\frac{x}{2})$ مشتق بگيري به تابع اوليت ميرسي پس جواب درسته

در مورد اينكه شما چرا به اين جواب نرسيدي هم اينه كه ممكنه اگه شما انتگرال رو به روشهاي متفاوت درست حل كنيد به جوابهايي برسيد كه از نظر ظاهر شبيه نيستند ولي اگه ازشون مشتق بگيريد به همون تابع اوليه ميرسي

با تشکر از پاسخ شما .

نه به نظرم باید تقسیم بشه .

من تو پست قبلی ام
این موضوع رو اثباتش از توی کتاب دیدم نوشتم . ولی الان هم با سایت ولفرام چک کردم دیدم باید بشه .

=======================

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**SuperSt@r** · 11-01-2012, 01:18

خوب تا این جا رو متوجه میشوم ولی این تکه اخرش رو که الان مینویسم نمیدونم چه جوری شده این :

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh(y)}=\frac{1}{\pm \sqrt{1+x^2}}$

من متوجه نمیشم چه جوری عکس کسینوس هیپربولیک با این عبارت رادیکالی برابر شد ؟؟؟؟

خب اومده اين كارو كرده ديگه

$coshy =\sqrt{1+sinh^{2}y}$

$x=sinhy\rightarrow coshy=\sqrt{1+x^{2}}$

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

4 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن