◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**skyzare** · 06-01-2012, 10:19

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.
میشه یه بار دیگه صورت سوال رو بگین؟

ممنون

با سلام ...

کلا این سه تا سوال بود .

$\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{1+e^x} \\\\\\\\ \int_{1}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{e^x-x}} \\\\\\\\ \int_{\pi }^{\infty }\frac{2+cosx}{x}$

**mjorh** · 06-01-2012, 10:33

همگرا یا واگرا بودنش صورت سئواله ....

**SuperSt@r** · 06-01-2012, 12:41

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

کلا این سه تا سوال بود .

$\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{1+e^x} \\\\\\\\ \int_{1}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{e^x-x}} \\\\\\\\ \int_{\pi }^{\infty }\frac{2+cosx}{x}$

سوال اول كه تو صفحه قبل حل شده بود ديگه نيازي به توضيح من نداره
سوال دومت رو دارم روش فك ميكنم
سوال سومت رو هم فك كنم واگراست همونطور كه تو صفحه قبل تفكيكش كرديد يكي از انتگرالها جوابش شده بود 2lnx كه اين انتگرال يه انتگرال واگراست پس كل انتگرال واگراست . فك ميكنم به اين خاطر كه يكيش واگراشده پس كار به دومي نداريم و كل انتگرال رو واگرا در نظر ميگيريم

**mjorh** · 06-01-2012, 14:09

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سوال اول كه تو صفحه قبل حل شده بود ديگه نيازي به توضيح من نداره
سوال دومت رو دارم روش فك ميكنم
سوال سومت رو هم فك كنم واگراست همونطور كه تو صفحه قبل تفكيكش كرديد يكي از انتگرالها جوابش شده بود 2lnx كه اين انتگرال يه انتگرال واگراست پس كل انتگرال واگراست . فك ميكنم به اين خاطر كه يكيش واگراشده پس كار به دومي نداريم و كل انتگرال رو واگرا در نظر ميگيريم

اون سوال اول ک حل شده راسش اصن تو کتم نمیره

میشه یه مقدار بیشتر توضیح بدید؟ (اون قسمت a , b رو چیکا کرده ؟)

سوال سومو نمیشه اونجوری گف ک واگراست بنظر من ....،2lnx ک واگراست ،برای این ک کل تابع واگرا بشه باید 2lnx کوچکتر از کل تابع باشه ،خب اینجا cosx یه بار منفی میشه یه بار مثبت ...نوسان داره،خب نمیشه گف واگراست !

**SuperSt@r** · 06-01-2012, 16:21

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اون سوال اول ک حل شده راسش اصن تو کتم نمیره

میشه یه مقدار بیشتر توضیح بدید؟ (اون قسمت a , b رو چیکا کرده ؟)

سوال سومو نمیشه اونجوری گف ک واگراست بنظر من ....،2lnx ک واگراست ،برای این ک کل تابع واگرا بشه باید 2lnx کوچکتر از کل تابع باشه ،خب اینجا cosx یه بار منفی میشه یه بار مثبت ...نوسان داره،خب نمیشه گف واگراست !

سوال اول رو كه اومده از روش تجزيه كسرها a و b رو بدست اورده كار خاصي نكرده نميدونم اگه ميخاي بيشتر توضيح بدم
در مورد سوال سوم هم ميگم كه خود انتگرال رو اومديم به دو قسمت تبديلش كرديم كه يه قسمتش واگراست نه اينكه يه تابع 2lnx رو در نظر بگيريم ببينيم كه كوچكتر هست يا نه اون 2lnx جزو جواب خود انتگرال هست ديگه نميدونم شايدم دارم اشتباه ميگم

**davy jones** · 06-01-2012, 16:40

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام ...

کلا این سه تا سوال بود .

$\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{1+e^x} \\\\\\\\ \int_{1}^{\infty }\frac{dx}{\sqrt{e^x-x}} \\\\\\\\ \int_{\pi }^{\infty }\frac{2+cosx}{x}$

سلام.

سوال اول رو مراحل انتگرال گیری و تغییر متغیر گیری رو دیگه فاکتور گرفتم و ننوشتم چون راه حل حل انتگرال نامعین رو دوستان قبلا کاملا درست توضیح داده بودند و فقط به اثبات همگراییش اشاره میکنم:

$\int_{0}^{\infty }\frac{dx}{1+e^{x}}=\lim_{t \to \infty }[\int_{0}^{t}\frac{dx}{1+e^{x}}]=...=\lim_{t \to \infty }[t-\ln (e^{t}+1)+\ln (2)]\approx \lim_{t \to \infty }[t-\ln (e^{t})+\ln (2)]=\lim_{t \to \infty }[t-t+\ln (2)]=\ln (2)$

و چون حد به سمت عدد حقیقی متناهی میل کرده پس انتگرال همگراست.

----------------------------

سوال دوم در حالت نامعین انتگرال جواب نداره بنابراین نمیشه از روش سوال اول بریم. اما هنگامی که انتگرال رو به صورت سری ریمانش مینویسیم حد عبارت داخل سری به سمت صفر میل میکنه و این شرط لازم برای اینکه سری ریمان این انتگرال (و در نتیجه خود انتگرال) همگرا باشه رو فراهم میکنه اما کافی نیست. شرط کافی از اونجایی میاد (به نظرم البته) که اگه در صورت کسر عبارت زیر انتگرال یه x هم ضرب کنیم و سپس کل کسر رو به سمت صفر میل بدیم باز هم حدش صفر میشه و این نشون دهنده ی اینه که عبارت داخل سری ریمان اکیدا به سمت صفر میل میکنه و مطمئنا همگراست.

محتوای مخفی: چه کنیم دیگه

---------------------------

سوال سوم هم انتگرال نامعینش با استفاده از سایت والفرام این به دست اومد:

$\int \frac{2+\cos (x)}{x}dx=3\ln (x)+\gamma +\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-x^{2})^{k}}{2k(2k)!}$

که گاما یه عدد ثابت خاص هستش و تو انتگرال معین حذف میشه. همونطور که میبینین حاصل انتگرال نامعین به ازای میل کردن x به سمت بینهایت به سمت بینهایت میره (هم تابع ln و هم مقدار سری) بنابراین واضحه که این انتگرال واگرا است.
یه راه دیگه هم چک کردن همون شرطیه که در سوال 2 اشاره کردم. اگه یه x تو صورت کسر زیر انتگرال ضرب کنیم و حد کل کسر رو وقتی x به سمت بینهایت میره نگاه کنیم میبینیم که برابر با صفر نمیشه (میشه 2 به علاوه ی کسینوس بینهایت که حاصل عددی متغیر بین 1 و 3 هستش) پس شرط کافی برای همگرا بودن انتگرال محقق نشده.

موفق باشین.
90/10/16

**mjorh** · 06-01-2012, 17:51

خوب بود مرسی...
واسه سئوال سوم یه دلیل بیارم ...ببینید درسه یا نه ...؟
اگه تک تک جدا کنیم درواقع به سه قسمت ،انتگرال 2 ب روی X میشه واگرا ،انتگرالCOSX هم ک واگراست ،انتگرال1 ب روی X هم ک واگراست
پس کلش میشه واگرا
(واگرا در واگرا میشه واگرا دیگه..درسه؟)
یه سئوال کوچیک :
e^x بزرگتره یا x^1/2 ?
(مقدار این عدد e خیلی برام گنگ هسش ،وقتی میبینمش ترس ورم میداره!)

**mjorh** · 06-01-2012, 18:17

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سوال اول رو كه اومده از روش تجزيه كسرها a و b رو بدست اورده كار خاصي نكرده نميدونم اگه ميخاي بيشتر توضيح بدم
در مورد سوال سوم هم ميگم كه خود انتگرال رو اومديم به دو قسمت تبديلش كرديم كه يه قسمتش واگراست نه اينكه يه تابع 2lnx رو در نظر بگيريم ببينيم كه كوچكتر هست يا نه اون 2lnx جزو جواب خود انتگرال هست ديگه نميدونم شايدم دارم اشتباه ميگم

آره اگه میشه یه توضیح مختصر بده (تجزیه کسرها)

**skyzare** · 06-01-2012, 19:15

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

آره اگه میشه یه توضیح مختصر بده (تجزیه کسرها)

این دو تا مثال رو من قبلا نوشته بودم حالا این جا هم گپی کردم ببینید یه نمونه تجزیه کسر هست بعد خودتون میتونید اون قبلی رو حل کنید .

اول مخرج کسر رو به عامل ها ی اول تجزیه میکنیم یعنی :

$\frac{1+4v}{1-4v^2}=\frac{1+4v}{(1+2v)(1-2v)}=\frac{a}{1+2v}+\frac{b}{1-2v}=\frac{v(-2a+2b)+(a+b)}{1-4v^2}$

بنابراین کسر با این عبارت برابر هست :

$\frac{1+4v}{1-4v^2}=\frac{v(-2a+2b)+(a+b)}{1-4v^2}$

خوب این دو کسر با هم برابر هستند پس صورت و مخرج هم باید با هم برابر باشند مخرج ها که دقیقا مشابه هست بنابراین صورت ها را برابر قرار میدیم تا ضرایب a و b به دست بیاد یعنی :

$1+4v=v(-2a+2b)+(a+b)$

برای این که رابطه درست باشه باید ضرایب با هم برابر باشند یعنی :

$a+b=1\\\\ -2a+2b=4\\\\ a=-\frac{1}{2}\: \: \: \: \: \: b=\frac{3}{2}$

================================================

$\frac{1}{x^{3}(x^{3}+x+1)}=\frac{Ax^2+Bx+C}{x^3}+\frac{Dx^2+Fx+G}{x^3+x+1}=$

$\frac{1}{x^{3}(x^{3}+x+1)}=\frac{Ax^5+Ax^3+Ax^2+Bx^4+Bx^2+Bx+Cx^3+Cx+C+Dx^5+Fx^4+Gx^3}{x^{3}(x^{3}+x+1)}=$

چون دو کسر با هم برابر هستند پس مخرج و صورت هم باید با هم برابر باشند بعد از برابر قرار دادن صورت ها داریم :

$\begin{matrix} A+D=0\\ F+B=0\\ A+C+G=0\\ A+B=0\\ B+C=0\\ C=1 \end{matrix}$

با حل معادله بالا هر یک از مجهولات به صورت زیر به دست میاد :

$\begin{matrix} A=1\\ B=-1\\ C=1\\ D=-1\\ F=1\\ G=-2 \end{matrix}$

پس میتونیم به جای کسر صورت سوال این جوری بنویسیم :

$\frac{1}{x^{3}(x^{3}+x+1)}=\frac{x^2-x+1}{x^3}+\frac{-x^2+x-2}{x^3+x+1}$

**ali_hp** · 06-01-2012, 19:30

نوشته شده توسط mjorh [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خوب بود مرسی...
واسه سئوال سوم یه دلیل بیارم ...ببینید درسه یا نه ...؟
اگه تک تک جدا کنیم درواقع به سه قسمت ،انتگرال 2 ب روی X میشه واگرا ،انتگرالCOSX هم ک واگراست ،انتگرال1 ب روی X هم ک واگراست
پس کلش میشه واگرا
(واگرا در واگرا میشه واگرا دیگه..درسه؟)
یه سئوال کوچیک :
e^x بزرگتره یا x^1/2 ?
(مقدار این عدد e خیلی برام گنگ هسش ،وقتی میبینمش ترس ورم میداره!)

سلام ، نه دوست من واگرا در واگرا لزوما واگرا نمیشه یکی از مثال نقض هاشم همینیه که شما گفتی!یعنی انتگرال پی تا بینهایت cosx بروی x به معنی انتگرال ناسره ریمان که در دبیرستان و دانشگاه گفته میشه همگراست، و البته همگرای مشروط، و همگراییشش مطلق نیست.مثال نقض دیگشم مثلا میشه یک بروی x و خود یک بروی x گرفت ، که انتگرال خودشون واگرا ست ولی انتگرال حاصلضربشون همگراست.
و البته مجموع دو واگرا هم لزوما واگرا نیست.
اما با تقسیم این مساله به انتگرال 2 بروی x + انتگرال cosx بروی x . با توجه به اینکه اولی وا گرا و دومی همگراست ، میشه نتیجه گرفت که کل انتگرال همگراست.(مجموع واگرا و همگرا حتما واگراست)
در مورد اون سوال کوچیک هم:e^x بزرگتره .
برای x های بین صفرو یک بوضوح e^x بزرگتر از یکه و رادیکال x کوچکتر از یک .
برای x ها بزرگتر از یک هم e^x از x بزرگتره(چرا؟) ، و x هم از رادیکال x.
خیلی لازم نیست مقدارش ملموس باشه!مثلا کافیه بدونین که مقدارش بین 2 و 3 هست و تعریفشو بدونین و اینکه مشتق تابع e^x خودش میشه و یا مشتق lnx میشه یک بروی x...در هر مساله که e ظاهر میشه معمولا خواص e و تعریفش هست که بدرد می خوره...

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

2 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از mjorh بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از SuperSt@r بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن