◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**daniel300** · 01-01-2012, 13:58

سلام دوستان

کسی معادلات دیفرانسیلی سراغ داره که به روش سری ها حل شده باشه و ان سری دارای ریشه های مختلط باشه‌؟!

ممنون میشم اگه مثالهای حل شده در این زمینه ارايه دهید.

با تشکر از شما

**hts1369** · 01-01-2012, 14:38

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

درود بر همه عزیزان
از کجا میشه فهمید که هر کدوم از این انتگرالا با کدوم روش جز به جز یا روش تجزیه کسر میشه حل کرد
$\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx$
$\int \frac{1}{1+e^{x}}dx$ البته جوابای اینارو دارم
اهان یه چیزی.من جواب انتگرال دومی رو تا اینجا به دست اوردم و مرحله اخرش موندم میشه ادامه جواب رو از اونجایی که نوشتم با توضیح بگید که چه اتفاقی میفته.ممنون

$ln\left | e^x \right |-ln\left | 1+e^x \right |=?$

در مورد انتگرال اول احتمالا راه حل کوتاهتری هم باشه ولی به ذهن!!! من نرسید

در مورد اینکه چطور میشه فهمید هر انتگرال رو از چه روشی باید حل کرد نمیشه با قاطعیت حرفی زد ولی با تمرین زیاد و مطالعه ی دقیق کتب مرجع حساب دیفرانسیل و انتگرال (مثله لیتهلد و توماس) میشه به تسلط نسبی رسید.
البته من خودم خوب بلد نیستم انتگرال بگیرم.

**davy jones** · 01-01-2012, 16:19

نوشته شده توسط mani_irani_68 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

معادلات تفکیک پذیر . لطفا به روش تغییر متغیر با توضیح حل کنید
$y=\int (x+y)^{2}$
ممنون

سلام. با استفاده از تغییر متغیری که داخل پرانتز رو برای ما ساده کنه به راحتی حل شد. بفرمایین:

$y=\int (x+y)^{2}dx\Rightarrow {y}'=(x+y)^{2}\rightarrow u(x)=y(x)+x\rightarrow {u}'={y}'+1\rightarrow {y}'={u}'-1\Rightarrow {u}'-1=u^{2}\Rightarrow \frac{du}{u^{2}+1}=dx\Rightarrow \int \frac{du}{u^{2}+1}=\int dx\Rightarrow \tan^{-1}(u)=x+c\Rightarrow {\color{Golden} y(x)=\tan (x+c)-x}$

موفق باشین.
90/10/11

**mani_irani_68** · 01-01-2012, 20:07

معادلات خطی مرتبه اول
این مدل کلی معلادت خطی مرتبه اول هست
$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$
که در این قسمت A را که انتگرال px میشه را در تک تک جملات بالا ضرب می کنیم
$A=\int (px) dx$
که $e^{a(x)}$ را در همه معادله اول ضرب می کنیم .

$e^{A(x)}(\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x))\rightarrow e^{A(x)}\frac{dy}{dx}+p(x)e^{A(x)}y=e^{A(x)}q(x)$
جواب ساده شده اینجور بدست میاد .

$\frac{d}{dx}(e^{a(x)} y)=(e^{a(x)} y)q(x)$

حالا من میخوام بدونم این جواب چجوری بدست اومد ؟ اون y کجا رفت
میشه بصورت کامل توضیح بدید ؟
ممنون

**mani_irani_68** · 01-01-2012, 23:46

سلام مجدد
ببخشید با سوالای مبتدی خودم وقت شمارو میگیرم

$\int xe^{\frac{-1}{2}x^{2}}dx$
جوابش میشه
$-e^{\frac{-1}{2}x^{2}}$
که در نهایت جوابش 1- میشه
میشه این انتگرال با توضیح حل کنید

**skyzare** · 02-01-2012, 00:07

نوشته شده توسط mani_irani_68 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام مجدد

ببخشید با سوالای مبتدی خودم وقت شمارو میگیرم

$\int xe^{\frac{-1}{2}x^{2}}dx$

جوابش میشه

$-e^{\frac{-1}{2}x^{2}}$

که در نهایت جوابش 1- میشه

میشه این انتگرال با توضیح حل کنید

در حالت کلی در عبارت هایی که شما توانی از e باشه اگه مشتق کنارش باشه حاصل انتگرال میشه خود عبارت e . این رو نگاه کن : ( البته با تغییر متغیر هم میشه حل کرد )

$\int u'e^udu=e^u$

مثلا این رو ببین :

$\int \left (8x \right ) \: e ^{4x^2+7}dx=e ^{4x^2+7}$

در این مثال بالا $u=4x^2+7$ که مشتق این میشه $u'=8x$ که در کنار e موجود هست بنابراین حاصل

انتکرال میشه همون $e^u$ که در واقع میشه $e^{4x^2+7}$

حالا گاهی اوقات ممکنه که اون $u'$ دقیقا کنار e نباشه اما قابل ساختن باشه . همون مثال بالا رو فرض کن این جوری باشه :

$\int (x)e^{4x^2+7}dx$

خوب الان $u=4x^2+7$ این هست که مشتقش هم میشه $u'=8x$ . در صورتی که ما اون 8 رو نداریم . میتونیم x رو داخل یه 8 ضرب کنیم و برای این که این 8 رو هم خنثی

کنیم انتگرال رو هم داخل $\frac{1}{8}$ ضرب کنیم . یعنی این جوری بنویسیم :

${\color{Red} \frac{1}{8}}\int{\color{Red} 8}(x)e^{4x^2+7}dx$

خوب الان ما با این کار مشتق u رو کنار e درست کردیم خوب که حاصل انتگرال همون عبارت توانی e میشه . یعنی :

${\color{Red} \frac{1}{8}}e^{4x^2+7}$

================================================== =

خوب حالا صورت سوال شما :

$\int xe^{\frac{-1}{2}x^{2}}dx$

الان این جا u در واقع عبارت زیر هست :

$u=\frac{-1}{2}x^2$

$u'=\frac{-1}{2}(2)x=-x$

در واقع شما یه منفی در انتگرال ضرب و تقسیم کنیم تونستید مشتقش رو کنارش درست کنید یعنی :

$-\int-xe^{\frac{-1}{2}x^2}=-e^{\frac{-1}{2}x^2}$

جواب نهایی همین هست . بجز این که انتگرال شما معین باشه . میتونه جواب یک هم با توجه به باند ها حاصل بشه .

**davy jones** · 02-01-2012, 00:48

نوشته شده توسط daniel300 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوستان

کسی معادلات دیفرانسیلی سراغ داره که به روش سری ها حل شده باشه و ان سری دارای ریشه های مختلط باشه‌؟!

ممنون میشم اگه مثالهای حل شده در این زمینه ارايه دهید.

با تشکر از شما

سلام.
در فصل آخر کتاب معادلات دیفرانسیل معمولی (تالیف دکتر بهمن مهری و دکتر داریوش شادمان) در مورد این مبحث مثالهای خوبی آورده. متاسفانه الان این کتاب دم دستم نیست ولی عکس روی جلد این کتاب اینه:

اطلاعات بیشتر در مورد این کتاب در بانک اطلاعات خانه ی کتاب:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

==============================

نوشته شده توسط mani_irani_68 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

معادلات خطی مرتبه اول
این مدل کلی معلادت خطی مرتبه اول هست
$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$
که در این قسمت A را که انتگرال px میشه را در تک تک جملات بالا ضرب می کنیم
$A=\int (px) dx$
که $e^{a(x)}$ را در همه معادله اول ضرب می کنیم .

$e^{A(x)}(\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x))\rightarrow e^{A(x)}\frac{dy}{dx}+p(x)e^{A(x)}y=e^{A(x)}q(x)$
جواب ساده شده اینجور بدست میاد .

$\frac{d}{dx}(e^{a(x)} y)=(e^{a(x)} y)q(x)$

حالا من میخوام بدونم این جواب چجوری بدست اومد ؟ اون y کجا رفت
میشه بصورت کامل توضیح بدید ؟
ممنون

سلام.

$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$

$\Rightarrow A(x)=\int p(x)dx$

$e^{A(x)}(\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x))\rightarrow e^{A(x)}\frac{dy}{dx}+p(x)e^{A(x)}y=e^{A(x)}q(x)$

$\Rightarrow e^{A(x)}.{y}'+{(e^{A(x)})}'.y=e^{A(x)}q(x)$

$\rightarrow {(y.e^{A(x)})}'=e^{A(x)}.q(x)$

$\rightarrow {\color{Red} y=e^{-A(x)}\int e^{A(x)}.q(x)dx}$

حلّه؟

موفق باشین.
90/10/12

**mani_irani_68** · 02-01-2012, 09:22

ممنون دوستان .

آقا حله تشدید داره . جدا نمی دونستم

$\Rightarrow e^{A(x)}.{y}'+{(e^{A(x)})}'.y=e^{A(x)}q(x)$
میشه اینو برا یه مبتدی توضیح بدین . چجوری بدست اومد ؟
واین قسمت
$\rightarrow {(y.e^{A(x)})}'=e^{A(x)}.q(x)$

_____________________________________

معادلات خطی میشه به این روش حل کرد و دیگه سراغ اون فرمول ها نرفت ؟یکراست سراغ این فرمول بریم و جای

$f=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)}dx+c]$

و معادلات برنولی به این روش حل کرد ؟

$f=e^{-\int(1-n) p(x)dx}[\int (1-n)q(x)e^{\int (1-n)p(x)}dx+c]$

فقط از این روش جایگذاری حل کنیم . میشه ؟؟؟

**davy jones** · 02-01-2012, 11:51

نوشته شده توسط mani_irani_68 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون دوستان .

آقا حله تشدید داره . جدا نمی دونستم

$\Rightarrow e^{A(x)}.{y}'+{(e^{A(x)})}'.y=e^{A(x)}q(x)$
میشه اینو برا یه مبتدی توضیح بدین . چجوری بدست اومد ؟
واین قسمت
$\rightarrow {(y.e^{A(x)})}'=e^{A(x)}.q(x)$

_____________________________________

معادلات خطی میشه به این روش حل کرد و دیگه سراغ اون فرمول ها نرفت ؟یکراست سراغ این فرمول بریم و جای

$f=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)}dx+c]$

و معادلات برنولی به این روش حل کرد ؟

$f=e^{-\int(1-n) p(x)dx}[\int (1-n)q(x)e^{\int (1-n)p(x)}dx+c]$

فقط از این روش جایگذاری حل کنیم . میشه ؟؟؟

در حقیقت در اثبات اولی از قانون مشتق زنجیره ای استفاده شده:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^{A(x)})={A(x)}'[\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^{x})]_{x=A(x)}=p(x)e^{A(x)}\Rightarrow {\color{Golden} p(x)e^{A(x)}={(e^{A(x)})}'}$

برای تمرین بیشتر در مورد مشتق زنجیره ای لینک زیر رو ببینین:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

و اما در مورد دومی از قائده مشتق حاصل ضرب کمک گرفتیم. وقتی دو تابع در هم ضرب شده باشند و بخواهیم مشتق بگیریم داریم:

${(f(x)\times g(x))}'={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$

حالا به جای f تابع y رو جاگذاری کنید و به جای g تابع $e^{A(x)}$ رو قرار بدید:

$e^{A(x)}{y}'+{(e^{A(x)})}'y={(ye^{A(x)})}'$

برای مطالعه ی بیشتر در مورد قائده ی مشتق حاصلضرب به لینکهای زیر دقت کنید:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــ

معادلات خطی مرتبه اول رو میتونین یه ضرب از همین فرمول جاگذاری و حل کنین. در مورد معادلات برنولی هم درسته و میشه. توضیحات و اثبات بیشتر در مورد معادلات برنولی و همین فرمولی که نوشتین رو هم از لینک زیر ببینین:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشین.
90/10/12

**zr1** · 02-01-2012, 19:27

والا من بازم تو سوالی که پرسیدم موندم.ترو به خدا یکی کمکم کنه.چطور میشه فهمید اون تیپ انتگرالارو باید با جز به جز رفت یا تجزیه کسر؟و یا یه نشون یا چیزی داره بشه فهمید از کودوم راه باید رفت؟ اینکه جواب دومی رو تا اونجا که نوشتم به دست اوردم و قسمت اخرش که علامت سوال گذاشتم موندم چطوری به دست میاد(یه توضیحی راجب این بدین)؟ممنون میشم

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

4 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

5 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن