◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

**davy jones** · 06-12-2011, 00:03

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگه تونستيد اينو حل كنيد.........

این انتگرال در حالت نامعین جواب نداره.

**SuperSt@r** · 06-12-2011, 01:05

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این انتگرال در حالت نامعین جواب نداره.

يعني بايد براش كران تعريف كنيم؟
ولي انگار يكي از دوستام اين سوال از تو يه كتابي ديده بود حالا نميدونم درست گفته يا نه صورت سوال رو ولي احتمالا درسته

**davy jones** · 06-12-2011, 21:01

نوشته شده توسط SuperSt@r [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يعني بايد براش كران تعريف كنيم؟
ولي انگار يكي از دوستام اين سوال از تو يه كتابي ديده بود حالا نميدونم درست گفته يا نه صورت سوال رو ولي احتمالا درسته

اگه تونستین جوابشو از دوستتون بپرسین و برای ما هم بذارین تا ما هم یه چیزی یاد بگیریم.
ممنون

**skyzare** · 07-12-2011, 15:45

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

----------------------------------------------------

2- در حالت کلی در اینگونه معادلات داریم:

${y}'=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$

که میتونیم این رو به این شکل هم بنویسیم:

$dy.g(x,y)-dx.f(x,y)=0$

و اگه در این حالت داشته باشیم:

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}$

در اونصورت معادله رو کامل و در غیر اونصورت معادله رو ناقص و نیازمند عامل انتگرالساز میگویند.
در سوال شما داریم:

${y}'=\frac{x+y-2}{2x+3y-5}\Rightarrow (2x+3y-5)dy-(x+y-2)dx=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x}[2x+3y-5]=2\\ \\ \frac{\partial }{\partial y}[x+y-2]=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}\neq \frac{\partial f}{\partial y}$

که این یعنی معادله کامل نیست. فرض میکنیم که تابعی مانند $u(x,y)=u(x)$ (یعنی فرض میکنیم که u تابعی فقط از x هستش) رو اگه در دوطرف معادله ضرب کنیم آنگاه معادله کامل میشه:

$(2x+3y-5)u(x)dy-(x+y-2)u(x)dx=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x}[(2x+3y-5)u(x)]=2u(x)+(2x+3y-5){u}'(x)\\ \\ \frac{\partial }{\partial y}[(x+y-2)u(x)]=u(x) \end{matrix}\right.\Rightarrow 2u(x)+(2x+3y-5){u}'(x)=u(x)\Rightarrow \frac{du}{u}=\frac{-dx}{2x+3y-5}$

و از اونجایی که عبارت آخر رو هم نمیشه به راحتی محاسبه کرد و تابع u رو استخراج کرد به این نتیجه میرسیم که فرض اولیه ی ما مبنی بر اینکه تابع انتگرالساز u تنها تابعی از x هستش، فرض غلطی بوده. به طریق مشابه میشه نشون داد که اگه تابع u رو تابعی تنها از متغیر y هم در نظر بگیریم باز به نتیجه ای نمیرسیم. پس تابع u همزمان باید هم تابعی از x باشد و هم تابعی از y. برای راحتی در محاسبات فرض میکنیم تابع u تابعی جداشدنی خطی باشد. یعنی داشته باشیم: $u(x,y)=a(x)+b(y)$ . در نتیجه فرض میکنیم که معادله ی دیفرانسیل اولیه ی ما با ضرب این عامل, کامل میشود:

$(2x+3y-5)(a(x)+b(y))dy-(x+y-2)(a(x)+b(y))dx=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x}[(2x+3y-5)(a(x)+b(y))]=2(a(x)+b(y))+(2x+3y-5){a}'(x)\\ \\ \frac{\partial }{\partial y}[-(x+y-2)(a(x)+b(y))]=-(a(x)+b(y))+(2-x-y){b}'(y) \end{matrix}\right.\Rightarrow 2(a(x)+b(y))+(2x+3y-5){a}'(x)=-(a(x)+b(y))+(2-x-y){b}'(y)\Rightarrow {\color{Blue} [2a(x)+(2x-5){a}'(x)]}+{\color{Green} 2b(y)}+{\color{Red} 3{a}'(x)y}={\color{Blue} -a(x)}{\color{Red} -{b}'(y)x}+{\color{Green} [-b(y)+(2-y){b}'(y)]}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a(x)+(2x-5){a}'(x)=-a(x)\rightarrow \frac{da}{3a}=\frac{dx}{5-2x}\Rightarrow \int \frac{da}{3a}=\int \frac{dx}{5-2x}\Rightarrow \frac{1}{3}\ln (a(x))=\frac{1}{-2}\ln (5-2x)+c_{1}\rightarrow a(x)=(5-2x)^{-\frac{3}{2}}.e^{c_{1}} \\ \\ 2b(y)=-b(y)+(2-y){b}'(y)\rightarrow \frac{db}{dy}=\frac{3dx}{2-y}\rightarrow \int \frac{db}{dy}=\int \frac{3dx}{2-y}\rightarrow \ln (b(y))=-3\ln (2-y)+c_{2}\rightarrow b(y)=(2-y)^{-3}.e^{c_{2}}\\ \\ 3{a}'(x)y=-{b}'(y)x\rightarrow \frac{3{a}'(x)}{x}=\frac{-{b}'(y)}{y}=constant \end{matrix}\right.$

برای پیدا کردن c1 و c2 باید شرط سومی که بدست اومده رو اعمال کنیم که دیگه حوصله ی حساب کردنشو ندارم. با بدست اومدن تابع u و ضرب اون در معادله ی اولیه معادله کامل میشود. طریقه ی کلی حل معادله ی کامل رو هم در عکس زیر میتونین ببینین:

محتوای مخفی: معادله ی کامل (یا کامل شده با ضرب تابع کمکی)

همونطور که میبینین سوال 2 برخلاف ظاهر کوتاهش، سوال فوق العاده سختی بود. برای دیدن جواب آخر به لینک زیر مراجعه کنین:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

معمولا در اینگونه سوالات، تغییر متغیری که باعث ساده تر شدن معادله بشه رو نیز ذکر میکنن.
----------------------------------

با سلام ...

با تشکر از پاسخ شما که این همه وقت میزارید انشالله روز به روز به اطلاعاتتون افزوده بشه و همیشه سلامت باشید .

در مورد این سوال هایی به این فرم یه جور دیگه هم میشه حل کرد که بهمون باد دادند . این رو ببینید ولی اخرش توی انتکرال میمونم

:

خوب میدونیم معادلاتی که به این فرم هستند یه معادله همگن هست که با تغییر متغیر به معادله جدای پذیر تبدیل شده و بعد هم که حل میکنیم .

$y'=\frac{ax+by}{cx+dy}$

خوب حالا توی این مسئله داریم :

$y'=\frac{x+y-2}{2x+3y-5}$

خوب اول باید یه تغییر متغیر بدیم تا اعداد ثابت 2- و 5- حذف بشه .تا معادله به همگن تبدیل بشه .

$\\x=X+a\\\\ y=Y+b$

از طرفی چون a و b اعداد ثابت هست دایم :

$dy=dY$

$y'=Y'$

حالا عبارت های بالا رو در صورت مسئله جایگزین میکنیم :

$Y'=\frac{X+Y+(a+b-2)}{2x+3Y+(2a+3b-5)}$

حالا a و b رو طوری پیدا میکنیم که حاصل پرانتز صفر بشه :

$\\a+b=2\\\\ 2a+3b=5\\\\ a=b=1$

با این فرض داریم :

$Y'=\frac{X+Y}{2x+3Y}$

خوب الان معادله همگن شد

با تغییر متغیر داریم :

$\\Y=Xv\\\\ dY=Xdv+vdX$

بعد از جایگذاری مرتب کردن به دست میاد :

$\frac{2+3v}{3v^2+v-1}dv=\frac{dX}{x}$

خوب حالا از طرفین انتکرال میگیریم بعد هم که معادل v رو جایگزین میکنیم بعدش هم که به جای X و Y بزرگ معادلش رو جایگزین میکنیم . یعنی :

$v=\frac{Y}{X}$

$\\a=b=1\\\\ X=x-1\\\\ Y=y-1$

حالا این انتکرال سمت چپی رو چه جوری به دست بیارم ؟؟؟

میدونم مخرج قابل تجزیه هست که بخوام تفکیک کسر رو برم ولی ریشه ها خیلی قشنگ نیست !

**davy jones** · 11-12-2011, 09:39

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حالا این انتکرال سمت چپی رو چه جوری به دست بیارم ؟؟؟

میدونم مخرج قابل تجزیه هست که بخوام تفکیک کسر رو برم ولی ریشه ها خیلی قشنگ نیست !

$\frac{2+3v}{3v^2+v-1}dv=\frac{dX}{x}$

سلام.

ممنونم از اینکه وقت گذاشتین و عذر خواهی میکنم بابت تاخیر در جواب دادن. (بالاخره ماه محرم بود و هزار مشغله

)

چون دلتای مخرج مثبته پس حتما میشه اون رو به حاصل ضرب دو عبارت درجه ی 1 تجزیه کرد و بنابراین حاصل انتگرال برابر با مجموع دو Ln خواهد بود. (در صورتی که دلتای مخرج منفی بود باید مخرج رو به فرم یک مربع کامل + عدد ثابت در میآوردیم و حاصل انتگرال به صورت آرک تانژانت در میومد)

$\Rightarrow 3v^{2}+v-1=0\rightarrow \Delta =13>0\rightarrow v_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{6}\Rightarrow 3v^{2}+v-1=(v+\frac{1-\sqrt{13}}{6})(v+\frac{1+\sqrt{13}}{6})\Rightarrow \int \frac{3v+2}{3v^{2}+v-1}dv=\int \frac{3v+2}{(v+\frac{1-\sqrt{13}}{6})(v+\frac{1+\sqrt{13}}{6})}dv=\int \frac{18v+12}{(6v+1-\sqrt{13})(6v+1+\sqrt{13})}dv=\int \frac{3\sqrt{13}+13}{2\sqrt{13}(6v+1-\sqrt{13})}dv+\int \frac{3\sqrt{13}-13}{2\sqrt{13}(6v+1+\sqrt{13})}dv={\color{Red} \frac{(3\sqrt{13}+13)}{26}\ln (6v+1-\sqrt{13})+\frac{(3\sqrt{13}-13)}{26}\ln (6v+1+\sqrt{13})+c}$

پی نوشت: اگه همین انتگرال رو توی والفرام بزنین و گزینه ی show step رو نگاه کنین میبینین که اونجا اومده و لقمه رو دور سر خودش پیچونده و کسر رو به یک تابه لگاریتم و یک آرک تانژانت هایپربولیک تجزیه کرده و بعد استدلال کرده که آرک تانژانت هایپربولیک رو هم میشه به صورت یک تابع لگاریتم در آورد و کل جواب رو ساده تر کرد!

موفق باشین.
90/9/20

**hts1369** · 11-12-2011, 17:52

در تعریف حدهای بالا و پایین انتگرال معین باید حتما مقدار حد بالا بیشتر از حد پایین باشه؟
یا اگه برعکس نوشته بشن تنها تفاوت قرینه شدن جواب هست؟
در اصل سوالم اینکه از نظر ریاضی اینکه مقدار حد بالا از حد پایین مقدار کمتری داشته باشه ایراد داره؟

**davy jones** · 11-12-2011, 23:27

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

در تعریف حدهای بالا و پایین انتگرال معین باید حتما مقدار حد بالا بیشتر از حد پایین باشه؟
یا اگه برعکس نوشته بشن تنها تفاوت قرینه شدن جواب هست؟
در اصل سوالم اینکه از نظر ریاضی اینکه مقدار حد بالا از حد پایین مقدار کمتری داشته باشه ایراد داره؟

سلام.
تفاوتش در حد همون یه علامت منفیه و هیچ ایرادی نداره.

موفق باشین.
90/9/20

**subuntu** · 12-12-2011, 00:33

با سلام خدمت همه دوستان و اساتید
راستش من چند روزه با فصل چهارِ ریاضیات توماس کلنجار میرم ولی نمیدونم چرا نمی تونم ارتباط منطقی پاد مشتق رو با انتگرال ریمان متوجه بشم :(
مسائل و نکاتی که ذهنم رو مشغول میکنه و اجازه نمیده این ارتباط رو بپذیرم اینجا مطرح میکنم و امیدوارم با کمک دوستان بتونم حلش کنم .

همونطور که مستحضرید فصل چهار ریاضیات توماس ابتدا به خوبی پاد مشتق و ثابتC و جانشانی و پاد مشتق توابع مثلثاتی رو مطرح میکنه و سپس در بخش 4.5 انتگرال معین رو مطرح میکنه و تمام مباحث کاملا منطقی جلو میاد تا اینکه در صفحه 234 اولین راه رو برای سفسطه باز میکنه

اونجا که میگه حد مجموع

رو با

نمایش می دهیم .
البته فعلا تا اینجا مشکلی نیست و ما فعلا فرض میگیریم

صرفا یک نحوه نمایش هست و فعلا ارتباطی با پاد مشتق ندارد .

تا اینجاش مقدمه قضیه بود

حالا میرسیم به نخستین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال که معرف حضور همه اساتید هست و نیازی به آوردن مجددش نیست .

1- اولین ادعا :

مساوی F(x)a هست یعنی :

خوب در مطرح کردن اولین قضیه اساسی و اثباتش فرض گرفته شده که خواننده پذیرفته که :

خوب مگه قرار نبود این

صرفا یک نمایش دیگر برای حد مجموع تقریب زننده باشه که بدیهیه اونم یک عدد هست ، حالا این ادعا از کجا اومد که

یک تابع از x هست ؟ (یعنی چرا F(x)a مساوی

هست و چرا

یک عدد نیست و یک تابع هست ؟ )

موارد دیگه ای هم هستند که اگه در این مورد به نتیجه ای رسیدیم مطرح میکنم ، متشکرم بابت وقتی که برای مطالعه پست ام میگذارید .

**davy jones** · 12-12-2011, 09:00

نوشته شده توسط subuntu [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام خدمت همه دوستان و اساتید
راستش من چند روزه با فصل چهارِ ریاضیات توماس کلنجار میرم ولی نمیدونم چرا نمی تونم ارتباط منطقی پاد مشتق رو با انتگرال ریمان متوجه بشم :(
مسائل و نکاتی که ذهنم رو مشغول میکنه و اجازه نمیده این ارتباط رو بپذیرم اینجا مطرح میکنم و امیدوارم با کمک دوستان بتونم حلش کنم .

همونطور که مستحضرید فصل چهار ریاضیات توماس ابتدا به خوبی پاد مشتق و ثابتC و جانشانی و پاد مشتق توابع مثلثاتی رو مطرح میکنه و سپس در بخش 4.5 انتگرال معین رو مطرح میکنه و تمام مباحث کاملا منطقی جلو میاد تا اینکه در صفحه 234 اولین راه رو برای سفسطه باز میکنه

اونجا که میگه حد مجموع

رو با

نمایش می دهیم .
البته فعلا تا اینجا مشکلی نیست و ما فعلا فرض میگیریم

صرفا یک نحوه نمایش هست و فعلا ارتباطی با پاد مشتق ندارد .

تا اینجاش مقدمه قضیه بود

حالا میرسیم به نخستین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال که معرف حضور همه اساتید هست و نیازی به آوردن مجددش نیست .

1- اولین ادعا :

مساوی F(x)a هست یعنی :

خوب در مطرح کردن اولین قضیه اساسی و اثباتش فرض گرفته شده که خواننده پذیرفته که :

خوب مگه قرار نبود این

صرفا یک نمایش دیگر برای حد مجموع تقریب زننده باشه که بدیهیه اونم یک عدد هست ، حالا این ادعا از کجا اومد که

یک تابع از x هست ؟ (یعنی چرا F(x)a مساوی

هست و چرا

یک عدد نیست و یک تابع هست ؟ )

موارد دیگه ای هم هستند که اگه در این مورد به نتیجه ای رسیدیم مطرح میکنم ، متشکرم بابت وقتی که برای مطالعه پست ام میگذارید .

سلام دوست عزیز!
مشکلی که مطرح کردین رو تا حدودی قبول دارم. اما شما باید دقت داشته باشین که حاصل $\int_{a}^{b}f(t)dt$ برابر با یک عدد میشه و تابعی از x نیست (البته در حقیقت هست در ادامه توضیح میدم). ولی

طبق تعریف همون سری ریمان، واضحه که تابعی از x هستش.

البته در اینجا از نظر من به نوعی کج سلیقگی و عجله در آموزش هست. به نظرم باید همزمان با مطح کردن قضیه ی نخست اساسی انتگرال، قضیه ی دوم رو هم بیان میکرد که $\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$ . همونطور که میبینین

هم در واقع تابعی از F (تابع اولیه ی f ) هستش که در اون x مقدار دهی شده.

امیدوارم که مشکلتون برطرف شده باشه.

موفق باشین.
90/9/21

**jetfire72** · 24-12-2011, 16:35

سه تا سوال داشتم (منظورم از p عدد پی است)

یک تابع نام ببرید که در نقاط گویا پیوسته اما در هیچ نقطه مشتق نداشته باشد

sinp/7 + sin2p/7 + sin3p/7 جوابش هم میشه رادیکال هفت هشتم من اثباتشو میخوام

sin1 * sin2 * sin3 *....* sin90 جوابش چند میشه؟ عدد ها به درجه است

مشاهده نتيجه نظر خواهي: -

نام تاپيک: ◄◄ اتـــاق حــســاب دیــفــرانــسیــل و انــتـــگــرال ►►

اختيارات تاپيک

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از subuntu بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن