اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**ali_hp** · 19-09-2010, 07:48

سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.

**eh_mn** · 22-09-2010, 15:22

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فرض كنيم $a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ چهار عدد مثبت كمتر از يك باشند. نشان دهيد هر چهار عدد زير همزمان نمي‌توانند از يك بيشتر باشند

$4a(1-b),\;4b(1-c),\;4c(1-d),\;4d(1-a)$

_____________
17 شهريور 1389

با تشكر از دوست عزيز 1233445566 كه در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

مسأله را به خوبي حل كرده‌اند.

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389

**eh_mn** · 22-09-2010, 15:35

نشان دهيد براي هر $n=1,2,\dots$ عدد زير بر $360$ بخش‌پذير است.

$n^2(n^2-1)(n^2-4)$

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389

**lebesgue** · 22-09-2010, 19:29

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

نشان دهيد براي هر $n=1,2,\dots$ عدد زير بر $360$ بخش‌پذير است.

$n^2(n^2-1)(n^2-4)$

ـــــــــــــــــــــــــ
31 شهريور 1389

$A=n^{2}(n^{2}-1)(n^{2}-4)=n\times n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$

از هر پنج عدد صحیح متوالی:

1- دستکم دو تا بر 2 بخش پذیرند که دستکم یکی از آنها بر 4 بخش پذیر می باشد، در نتیجه A بخش پذیر بر 8 است.

2- یکی بر 5 بخش پذیر است، در نتیجه A بخش پذیر بر 5 است.

3- از دو حالت زیر خارج نیست:
الف- یکی از آنها بر 3 بخش پذیر است، که در اینصورت آن عدد وسطی می باشد.
ب- دو تا از آنها بر 3 بخش پذیر است.
که در هر دو حالت، A بخش پذیر بر 9 است.

پس A بر 9*5*8 = 360 بخش پذیر است.

------------------------------------------------------
از آنجا که اینجانب به حل مسائل در حالت کلی علاقه مندم!

بزرگترین عددی که حاصلضرب n عدد صحیح متوالی همواره بر آن بخش پذیر است، به روشی مشابه بدست می آید:
$\120dpi \large \prod_{j=1}^{\infty }\prod_{i=1}^{\infty }p_{j}^{\left \lfloor \frac{n}{(p_{j})^{i}} \right \rfloor}$
در اینجا p_j ، نشان دهنده j امین عدد اول است.

**mir@** · 25-09-2010, 19:00

حل مسئله شنبه سی و نهم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

f10-1

فرض کنید که A هر زیر مجموعه دلخواه 39 عضوی (با اعضاء متمایز) از تصاعد حسابی زیر باشد: 6، 33، 60،...،1977

نشان دهید که دو عضو متمایز در A وجود دارد که مجموعشان 2010 می شود.

دوست عزیز، 12233445566 مسئله را به درستی در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند. خدا به ایشان خیر دهد.

**mir@** · 25-09-2010, 19:10

حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.

**lebesgue** · 25-09-2010, 23:20

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

حداقل مقدار پولی را پیدا کنید که اگر با [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] i درصد در بانک پس انداز شود، می توان در انتهای سال اول، دوم، سوم و ... به ترتیب 1، 4، 9 و ... (یعنی مجذور عدد سال) دلار تا ابد برداشت کنیم.
پاسخ باید تابعی از i باشد.
به عنوان مثال برای نرخ بهره 10%، حداقل میزان پول 2310 دلار است.

فرض کنیم مقدار پول اولیه A_0 و مقدار پول بعد از n سال A_n باشد.

با استقراء ریاضی، به کمک رابطه بازگشتی زیر:

$\120dpi A_{n}=(1+i)A_{n-1}-n^{2}$

ثابت می شود که:

$\120dpi A_{n}=(1+i)^{n}(A_{0}-\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{(1+i)^{k}})$

برای اینکه شرط مسئله برقرار باشد، لازم و کافی است که به ازای هر n، مقدار A_n مثبت باشد.

می توان محاسبه کرد که:

$\120dpi \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k^2}{(1+i)^{k}}=\frac{(1+i)(2+i)}{i^{3}}$

در نتیجه حداقل مقدار A_0 (پول اولیه) برابر است با:

$\120dpi \frac{(1+i)(2+i)}{i^{3}}$

**ali_hp** · 26-09-2010, 21:42

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
تعداد n عدد طبيعي كوچكتر از هزار داريم،به طوريكه كوچكترين مضرب مشترك هر دوتايي از آنها از 1000 بزرگتر است،نشان دهيد مجموع معكوسات اين اعداد از 2 كمتر است.

سلام
دقت کنید که هیچ دوتایی مضرب مشترک کوچکتر از هزار ندارند،پس مضارب کوچکتر از هزار این اعداد متمایزند.

این n عدد را $a_1 , a_2 , ... ,a_n$ بنامید.بوضوح تعداد این اعداد از هزار کمتر است.

تعداد مضارب کوچکتر از هزار $a_i$ برابر $[\frac{1000}{a_i}]$ است.پس داریم:

$\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\\\\\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}(\frac{1000}{a_{i}}-1)\leq\sum_{i=1}^{n}[\frac{1000}{a_{i}}]\leq1000\Rightarrow\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_{i}}\leq\frac{1000+n}{1000}<2$

**ali_hp** · 26-09-2010, 21:49

همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

$f(f(x))=kx^9$

**lebesgue** · 27-09-2010, 21:55

نوشته شده توسط ali_hp [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

همه عددهای حقیقی k را بیابید که برای آنها تابع پیوسته و یک به یک $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ موجود باشد که برای هر عدد حقیقی x داشته باشیم:

$f(f(x))=kx^9$

قضیه: اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آنگاه یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.

بطور خلاصه برای اثبات، می توان مجموعه همه سه تایی های (x1,x2,x3) که در آن x1<x2<x3 و عضو دامنه تابع هستند را در نظر گرفت.
در این صورت یا (f(x1)<f(x2)<f(x3 یا (f(x1)>f(x2)>f(x3 .
زیرا در غیر اینصورت می توان نشان داد مقداری مانند k وجود دارد که بنا به قضیه مقدار میانی، معادله f(x)=k یک ریشه در بازه (x1,x2)
و یک ریشه در بازه (x2,x3) داشته باشد، که این با یک به یک بودن تابع در تناقض است.
در نتیجه f یا اکیدا صعودی است یا اکیدا نزولی.
(نمی دانم اثبات بهتری هم هست یا نه)

اگر f اکیدا صعودی باشد، fof هم اکیدا صعودی خواهد بود:

$\120dpi x_{1}>x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})\rightarrow f(f(x_{1}))>f(f(x_{2}))$

اگر f اکیدا نزولی باشد، fof باز هم اکیدا صعودی خواهد بود:

$\120dpi x_{1}>x_{2}\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})\rightarrow f(f(x_{1}))>f(f(x_{2}))$

در نتیجه k≤0 نیست.

برای k>0 ، تابع $\120dpi f(x)=k^{\frac{1}{4}}x^{3}$ موجود است که در شرایط مسئله صدق می کند.

در نتیجه جواب مسئله، k>0 است.

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

مساله يكشنبه بيستم

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و هشتم

مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و نهم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مسئله شنبه چهلم

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

حل مساله یکشنبه بیستم

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مساله یکشنبه بیست و یکم

این کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن