اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

**mir@** · 05-09-2010, 08:43

حل مسئله شنبه سی و هفتم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سه توپ در سه راس یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارند به طوری که جداره های توپها به هم چسبیده اند و کل این مجموعه در درون یک استوانه (یک دیسک) قرار دارد به طوری که توپها از بالا و پایین مماس به دو قاعده ی استوانه هستند و از کنار هم به سطح جانبی استوانه مماس هستند. حالا نسبت حجم فضای خالی در درون استوانه نسبت به کل حجم استوانه چقدر است؟

دوست عزیز، davy jones مسئله را با تفصیل کامل در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کرده اند. با سپاس فراوان

**mir@** · 05-09-2010, 08:48

s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

$a_{n+1}=4a_n^3-6a_n^2+a_n+1\qquad 0\le a_0 \le 1$

**mehdi_7070** · 05-09-2010, 09:32

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

$a_{n+1}=4a_n^3-6a_n^2+a_n+1\qquad 0\le a_n \le 1$

$L=4L^3-6L^2+L+1 \to 4L^3-6L^2+1=0 \to (2L-1)(2L^2-2L-1)=0 \to L=\frac{1}{2},\frac{1}{2}(1-\sqrt{3}),\frac{1}{2}(1+\sqrt{3}) \to \lim_{n \to \infty } a_{n}=\frac{1}{2}$

**lebesgue** · 07-09-2010, 18:05

با اجازه دوستان، من یه سوال میذارم:

.............................

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
با سلام

مساله ی شما به اتاق ریاضیات منتقل شد.

مفیدی

17 شهریور 1389

**eh_mn** · 08-09-2010, 23:49

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي چه مقاديري از $\alpha$ تابع $f(x)=\alpha x-|x|$ يك‌به‌يك است؟

ـــــــــــــــــــــ
10 شهریور 1389

كاربر محترم 1731 لطف كردن و در اينجا

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

فقط به جواب اشاره كردن. در ادامه حل كامل رو با هم مي‌بينيم
داريم

$f(x)=\begin{cases}(\alpha-1)x & x\geq0\\ (\alpha+1)x & x<0\end{cases}$

ابتدا فرض كنيم $|\alpha|\leq1$ .در حالت $\alpha=0$ واضح است كه $f$ يك‌به‌يك نيست. پس فرض كنيم $\alpha\neq0$ . در اين صورت

$\frac{\alpha-1}{1+\alpha}<0$

در نتيجه

$f\left(\frac{\alpha-1}{1+\alpha}\right)=\alpha-1=f(1)$

كه نشان مي‌دهد تابع يك‌به‌يك نيست.

حال فرض كنيم $|\alpha|>1$ . مي‌خواهيم نشان دهيم در اين حالت تابع، يك‌به‌يك است. فرض كنيم $f(x)=f(y)$ . اگر $x$ و $y$ هر دو مثبت يا منفي باشند واضح است كه $x=y$ . پس فرض كنيم هم علامت نباشند. بدون اين كه به كليت خللي وارد شود مي‌توان فرض كرد $x<0<y$ . در اين صورت

$\frac{x}{y}=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}>0$

كه تناقضي آشكار است (با اين فرض كه دو عدد غيرهم علامت با مقدار تابع مساوي وجود دارند). بنابراين $f$ يك‌به‌يك است.

_____________
17 شهريور 1389

**eh_mn** · 08-09-2010, 23:54

فرض كنيم $a$ ، $b$ ، $c$ و $d$ چهار عدد مثبت كمتر از يك باشند. نشان دهيد هر چهار عدد زير همزمان نمي‌توانند از يك بيشتر باشند

$4a(1-b),\;4b(1-c),\;4c(1-d),\;4d(1-a)$

_____________
17 شهريور 1389

**lebesgue** · 09-09-2010, 12:51

فرض کنیم p حاصلضرب این 4 عدد باشد.

هر 4 عدد همزمان بزرگتر از 1 هستند --> p بزرگتر از یک است.

بنا به قانون عکس نقیض:

p بزرگتر از یک نیست --> هر 4 عدد همزمان بزرگتر از 1 نیستند.

پس کافی است ثابت کنیم p بزرگتر از 1 نیست.

$p=4a(1-b)\times4b(1-c)\times4c(1-d)\times4d(1-a)$

می توان نوشت:

$p=4^{4}\times a(1-a)\times b(1-b)\times c(1-c)\times d(1-d)$

می دانیم که ماکزیمم تابع (f(x)=x(1-x در بازه (1 , 0) برابر است با 1/4، در نتیجه:

$max(p)=4^{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=1$

در نتیجه p بزرگتر از 1 نیست.

**mofidy1** · 10-09-2010, 19:49

نوشته شده توسط mofidy1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام

کدام عدد بزرگ تر است: سه به توان پی یا پی به توان 3 ؟!

موفق باشید.

13 شهریور 1389

با سلام

روش davy jones در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] کاملاً درست است که از ایشان تشکر می کنم. البته 4 تابع دیگر نیز وجود دارد که با اعمال همین روش روی آن ها می توان به نتیجه ی دلخواه رسید. این راه حل ها را در تصویر زیر مطالعه فرمایید:

در ضمن 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حالت کلی تر این مساله را اثبات کردند، با تشکر از ایشان.

آموزش حل مساله:

ارائه ی راه حل تابعی برای مسائل عددی.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

**mofidy1** · 10-09-2010, 20:02

با سلام

با استفاده از روش 1233445566 در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] یا روش دیگر، تمامی زوج های (a,b) را که a و b دو عدد صحیح مثبت متمایز هستند، بیابید که a به توان b با b به توان a برابر باشد.

موفق باشید.

19 شهریور 1389 مصادف با عید سعید فطر 1431

**mir@** · 11-09-2010, 01:05

حل مسئله شنبه سی و هشتم

نوشته شده توسط mir@ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

s10-14

حد دنباله زیر را با فرض وجود بیابید:

$a_{n+1}=4a_n^3-6a_n^2+a_n+1\qquad 0\le a_0 \le 1$

دوست عزیز mehdi_7070 مسئله را در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل کردند. با تشکر فراوان از ایشان، پاسخ کمی کامل تر در ادامه می آید:

نام تاپيک: اتاق حل مساله و روش های آن - دوره ی سوم

اختيارات تاپيک

این کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

مسئله شنبه سی و هشتم

2 کاربر از mehdi_7070 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و هفتم

2 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله‏ی چهارشنبه‏ی چهل و هشتم

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

حل مساله ی پنج شنبه ی سی و چهارم(سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

مساله ی پنج شنبه ی سی و پنجم(سطح سوال: ریاضیات عمومی دانشگاه)

این کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از mir@ بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

برچسب های این موضوع

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن