اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**skyzare** · 22-06-2012, 20:11

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگر لاپلاس دوطرفه مورد نظر باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

$H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-st}dt$

در اینصورت $h(t)=\sin (t)$ تبدیل لاپلاس ندارد، چرا که انتگرال فوق به ازای هیچ s ای همگرا نخواهد بود. اما تبدیل لاپلاس $h(t)=\sin (t)u(t)$ میشود $H(s)=1/(1+s^2)$ . حال اگر تابع مورد نظر شما $\sin(t-2)u(t-2)$ باشد، میتوانید از قانون تاخیر زمانی استفاده کنید و پاسخ دومتان صحیح است. اما اگر $\sin(t-2)u(t)$ مورد نظر است، پاسخ اول درست می باشد.

توجه کنید که لاپلاس یکطرفه $h(t)$ برابر است با لاپلاس دوطرفه $h(t)u(t)$ . با استفاده از این نکته میتوانید نتایجی را برای لاپلاس یکطرفه استنتاج کنید. همچنین، سعی کنید قانون تاخیر زمانی را (با یک تغییر متغیر در انتگرال) اثبات نمایید.

با سلام .

با اجازه اساتید من این رو پاسخ بدم .

اول انتگرال عبارت هایی یه فرم زیر رو در حالت کلی رو به دست میاریم :

$\int e^{(ax)}sin(bx)dx\: \: \: \: \: \: \:\rightarrow \: \: \: \left\{\begin{matrix} e^{ax}=u\: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: ae^{ax}=du\\ \\ \\ sin(bx)dx=dv\: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: -\frac{1}{b}cos(bx)=v \end{matrix}\right.$

$\int e^{(ax)}sin(bx)dx=-\frac{e^{ax}}{b}cos(bx)+\frac{a}{b}{\color{Magenta} \int e^{ax}cos(bx)dx}\\$

${\color{Magenta} \int e^{ax}cos(bx)dx}\: \: \: \: \:\: \: \: \: \rightarrow \: \: \left\{\begin{matrix} e^{ax}=u\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ae^{ax}dx=du\\ \\ \\ cos(bx)dx=dv\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\frac{1}{b}sin(bx)=v \end{matrix}\right.$

${\color{Magenta} \int e^{ax}cos(bx)dx=\frac{e^{ax}}{b}sin(bx)-\frac{a}{b}\int e^{ax}sin(bx)dx}$

====================================

حالا انتگرال اصلی که در پاین نوشتم رو با اطلاعات بالا به دست میاریم :

$\int e^{(ax)}sin(bx)dx=-\frac{e^{ax}}{b}cos(bx)+\frac{a}{b}{\color{Magenta} \int e^{ax}cos(bx)dx}\\$

$\int e^{ax}sin(bx)dx=-\frac{e^{ax}}{b}cos(bx)+{\color{Magenta} \frac{a}{b^2}e^{ax}sin(bx)-\frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}sin(bx)dx}$

${\color{Magenta} \frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}sin(bx)dx}+\int e^{ax}sin(bx)dx=-\frac{e^{ax}}{b}cos(bx)+{\color{Magenta} \frac{a}{b^2}e^{ax}sin(bx)}$

$(1+ \frac{a^2}{b^2})\int e^{ax}sin(bx)dx=\frac{-b\: e^{ax}cos(bx)+a\: e^{ax}sin(bx)}{b^2}$

$(1+ \frac{a^2}{b^2})\int e^{ax}sin(bx)dx=\frac{e^{ax}\: (\: -b\: cos(bx)+a\: sin(bx)\: )}{b^2}$

در نتیجه داریم :

$\mathit{\mathbf{\int e^{ax}sin(bx)dx=\frac{e^{ax}\: (\: a\: sin(bx)\: -b\: cos(bx)\: )}{a^2+b^2} }}$

================================================== =

$\\L[sin(t-2)u(t-2)]\\\\ =\int_{-\infty }^{\infty }sin(t-2)u(t-2)\: \: e^{-st}dt=\int_{2 }^{\infty }sin(t-2)\: \: e^{-st}dt\: \: \: \rightarrow \: \: \: \: \: \left\{\begin{matrix} t-2=x\\\\ t=x+2\\\\ dt=dx \end{matrix}\right.$

$\\\int_{2 }^{\infty }e^{-st}sin(t-2)\: \: dt=\int_{0}^{\infty }e^{-s(x+2)}sinx\: \: dx=e^{-2s}\int_{0}^{\infty }e^{-sx}sinx\: \: dx \\\\\\ \: \: \: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:a=-s \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: b=1 \\\\\\ =e^{-2 s}\: \: [\: \: \frac{e^{-sx}(-s\: \: sinx-cosx)}{1+s^2}\: \: |_0 ^\infty ]$

فکر کنم با فرض $s>0$ باند بالا یعنی بی نهایت رو که می زاریم یه عبارت کراندار در صفر ضرب میشه بنابرااین برای کران بالا عبارت صفر میشه . ( درسته ؟ ) بعد از جایگذاری کران پایین به دست می آریم :

$e^{-2 s}\: \: [\: \: \frac{e^{-sx}(-s\: \: sinx-cosx)}{1+s^2}\: \: |_0 ^\infty ]=0+\frac{e^{-2s}}{1+s^2}$

**skyzare** · 22-06-2012, 20:47

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگر لاپلاس دوطرفه مورد نظر باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

$H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-st}dt$

در اینصورت $h(t)=\sin (t)$ تبدیل لاپلاس ندارد، چرا که انتگرال فوق به ازای هیچ s ای همگرا نخواهد بود. اما تبدیل لاپلاس $h(t)=\sin (t)u(t)$ میشود $H(s)=1/(1+s^2)$ . حال اگر تابع مورد نظر شما $\sin(t-2)u(t-2)$ باشد، میتوانید از قانون تاخیر زمانی استفاده کنید و پاسخ دومتان صحیح است. اما اگر $\sin(t-2)u(t)$ مورد نظر است، پاسخ اول درست می باشد.

توجه کنید که لاپلاس یکطرفه $h(t)$ برابر است با لاپلاس دوطرفه $h(t)u(t)$ . با استفاده از این نکته میتوانید نتایجی را برای لاپلاس یکطرفه استنتاج کنید. همچنین، سعی کنید قانون تاخیر زمانی را (با یک تغییر متغیر در انتگرال) اثبات نمایید.

با سلام .

من می نویسم ولی جواب ها یکی نمیشه . چرا ؟

$\mathit{\mathbf{\int e^{ax}sin(bx)dx=\frac{e^{ax}\: (\: a\: sin(bx)\: -b\: cos(bx)\: )}{a^2+b^2} }}$

$L[\: sin(t-2)u(t)\: ]=\int_{-\infty }^{\infty }e^{-st}sin(t-2)u(t)dt=\int_{0}^{\infty }e^{-st}sin(t-2)dt\: \:$

$\left\{\begin{matrix} t-2=x\\\\ t=x+2\\\\ dt=dx \end{matrix}\right.$

$\int_{-2}^{\infty }e^{-s(x+2)}\: sinx\: dx=e^{-2s}\int_{-2}^{\infty }e^{-sx}\: sinx\: dx$

$\\a=-s\\\\ b=1$

$e^{-2s}[\frac{e^{-sx}(-s \: sinx-cosx)}{1+s^2}|_{-2}^\infty ]$

اگه درست حد گرفته باشم بعد از جایگذاری این میشه :

$e^{-2s}[\frac{s\: \: sin(2)-cos(2)}{1+s^2}]$

===================

ویرایش : متوجه شدم گویا یادم رفته 2- رو داخل عبارت e^-sx بذارم .

این جوری درست میشه .

**hts1369** · 23-06-2012, 09:49

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگر لاپلاس دوطرفه مورد نظر باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

$H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-st}dt$

در اینصورت $h(t)=\sin (t)$ تبدیل لاپلاس ندارد، چرا که انتگرال فوق به ازای هیچ s ای همگرا نخواهد بود. اما تبدیل لاپلاس $h(t)=\sin (t)u(t)$ میشود $H(s)=1/(1+s^2)$ . حال اگر تابع مورد نظر شما $\sin(t-2)u(t-2)$ باشد، میتوانید از قانون تاخیر زمانی استفاده کنید و پاسخ دومتان صحیح است. اما اگر $\sin(t-2)u(t)$ مورد نظر است، پاسخ اول درست می باشد.

توجه کنید که لاپلاس یکطرفه $h(t)$ برابر است با لاپلاس دوطرفه $h(t)u(t)$ . با استفاده از این نکته میتوانید نتایجی را برای لاپلاس یکطرفه استنتاج کنید. همچنین، سعی کنید قانون تاخیر زمانی را (با یک تغییر متغیر در انتگرال) اثبات نمایید.

فکر میکنم منظور للاس یکطرفه باشه (چون به ما گفتن تابع باید یکطرفه باشه تا بشه ازش لاپلاس گرفت.)

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

فراموش کردم این نکته را اضافه کنم که:

فرض کنید در صورت سوال، به جای S1=S2 میگفت S1=S2+1 یا اصلاً S1=S2+c که c میتواند هر ثابت دلخواهی باشد. در اینصورت، پس از مشتق گیری از طرفین، آن ثابت ناپدید میشد و همین (h(x بالا بدست می آمد، که خب نادرست است. میتوانید بگویید اشکال در کجاست؟ پس از مشتق گیری، معادلات از کجا فهمیده اند که S1=S2 مورد نظر بوده و نه S1=S2+1؟

اینکه معادلات از کجا فهمیده اند که خب اشتباه فهمیدند دیگه در حقیقت ما دفعه اول هم که با s1=s2 حلش کردیم مقدار c=0 رو در نظر گرفته بودیم.
ولی خب اینکه برای اینکه این اتفاق نیفته باید چیکار کرد رو نمیدونم.

**lebesgue** · 23-06-2012, 20:14

ویژگی شیفت زمانی برای لاپلاس دوطرفه:

$\mathcal{L} \left \{ h(t) \right \}=H(s)\rightarrow \mathcal{L} \left \{ h(t-a) \right \}=e^{-as}H(s)$

اثبات:

$\\\mathcal{L} \left \{ h(t-a) \right \}=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-a)e^{-st}dt\\\\\\=\int_{-\infty}^{+\infty}h(u)e^{-s(u+a)}du\\\\\\=e^{-as}\int_{-\infty}^{+\infty}h(u)e^{-su}du\\\\\\=e^{-as}H(s)$

تغییر متغیر مورد استفاده u=t-a است.

ویژگی شیفت زمانی برای لاپلاس یکطرفه بصورت زیر است:

$\mathcal{L} \left \{ h(t)u(t) \right \}=H(s)\rightarrow \mathcal{L} \left \{ h(t-a)u(t-a) \right \}=e^{-as}H(s)$

**lebesgue** · 23-06-2012, 20:24

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اینکه معادلات از کجا فهمیده اند که خب اشتباه فهمیدند دیگه در حقیقت ما دفعه اول هم که با s1=s2 حلش کردیم مقدار c=0 رو در نظر گرفته بودیم.
ولی خب اینکه برای اینکه این اتفاق نیفته باید چیکار کرد رو نمیدونم.

در واقع، به جز c=0، مسئله برای S1=S2+c جواب ندارد، یعنی هیچ تابع h ای وجود ندارد که این شرط را ارضا کند. آن تناقضی که اشاره شد در حل مسئله پیش می آید، نشانگر همین نکته است، هرچند بطور مستقل نیز میتوانید این نکته را اثبات نمایید. همچنین در راه حلی که برای مسئله ارائه شد، باید توجه کنید که مشتق گیری نتیجه ای یکطرفه است. یعنی (f'(x)=g'(x شرط لازم برای (f(x)=g(x است و نه کافی. بنابراین، برای کامل بودن راه حل، باید نشان داده شود جواب h ای که از حل معادله S'1=S'2 بدست می آید، در معادله S1=S2 هم صدق میکند.

**mmahuii** · 29-06-2012, 12:13

سلام
كتاب هندسه 2، سفهه 152، مساله 2، تو جواب گفته : "طبق قضيه اساسي تعامد، L بر صفحه p عمود است"
ولي من نفهميدم چتور از قزيه اساسي تعامد، چنين نتيجه اي گرفته؟

**Kesel** · 29-06-2012, 14:44

نوشته شده توسط mmahuii [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
كتاب هندسه 2، سفهه 152، مساله 2، تو جواب گفته : "طبق قضيه اساسي تعامد، L بر صفحه p عمود است"
ولي من نفهميدم چتور از قزيه اساسي تعامد، چنين نتيجه اي گرفته؟

سلام
قضیه ی اساسی تعامد که توی صفحه ی 150 توضیح داده شده می گه اگه بتونید دو تا خط متقاطع توی صفحه ی مورد نظر پیدا کنید به طوری که اگه خطی از A رسم کنیم در اون نقطه همرس باشه ، آنگاه اون خط بر صفحه عموده.
توی راه حل ارائه شده می گه بیاید دو تا خط غیر موازی رو به دلخواه در نظر بگیرید . وقتی که صفحاتی عمود بر اون خطوط رسم می کنیم مسلما دو صفحه هم متقاطعند . دو صفحه ی متقاطع فصل مشترکی دارند که دقیقا شروط قضیه ی اساسی تعامد رو داره. بنابراین حکم در موردش صادقه و حکم اینه که این خط بر اون صفحه عموده .
موفق باشید

**mmahuii** · 29-06-2012, 20:20

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
قضیه ی اساسی تعامد که توی صفحه ی 150 توضیح داده شده می گه اگه بتونید دو تا خط متقاطع توی صفحه ی مورد نظر پیدا کنید به طوری که اگه خطی از A رسم کنیم در اون نقطه همرس باشه ، آنگاه اون خط بر صفحه عموده.
توی راه حل ارائه شده می گه بیاید دو تا خط غیر موازی رو به دلخواه در نظر بگیرید . وقتی که صفحاتی عمود بر اون خطوط رسم می کنیم مسلما دو صفحه هم متقاطعند . دو صفحه ی متقاطع فصل مشترکی دارند که دقیقا شروط قضیه ی اساسی تعامد رو داره. بنابراین حکم در موردش صادقه و حکم اینه که این خط بر اون صفحه عموده .
موفق باشید

ممنون از پاسختون
قزيه اساسي تعامد ميگه : " در اون نقته بر اون دو خت عمود باشه" نه اينكه همرس باشه. درسته؟

و در اينجا چه جوري به عمود بودن فسل مشترك بر اون دو خت (ختهاي فسل مشترك سفهه هاي ترسيمي ما، با سفهه اسلي)
پي ميبريم؟

**Kesel** · 30-06-2012, 01:17

نوشته شده توسط mmahuii [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

ممنون از پاسختون
قزيه اساسي تعامد ميگه : " در اون نقته بر اون دو خت عمود باشه" نه اينكه همرس باشه. درسته؟

و در اينجا چه جوري به عمود بودن فسل مشترك بر اون دو خت (ختهاي فسل مشترك سفهه هاي ترسيمي ما، با سفهه اسلي)
پي ميبريم؟

تذکر شما کاملا درست هست . همرس بودن شرط کافی نیست ، باید عمود هم باشد.

و در اينجا چه جوري به عمود بودن فسل مشترك بر اون دو خت (ختهاي فسل مشترك سفهه هاي ترسيمي ما، با سفهه اسلي)
پي ميبريم؟

مشخصا وقتی دو صفحه ی متقاطع بر صفحه ای عمودند ، فصل مشترک اون دو صفحه ی متقاطع ، بر صفحه ی سوم عمود هست . توضیح شهودیش رو صفحه ی 149تون داده.
حال چون خطی دلخواه (فصل مشترک) بر صفحه ی سوم عموده بنابراین بر تک تک خطوط اون صفحه عموده . از جمله دو خط انتخابی دلخواه ما. و از جمله نقطه ی تقاطع دو خط دلخواه در صفحه ی اصلی.

**mmahuii** · 30-06-2012, 18:54

كتاب ريازيات 1، سفهه 89، گفته : "اگر بتوان يك چند جمله اي را به صورت ضرب دو يا چند، چندجمله اي نوشت به طوري كه درجه آن ها كمتر باشد، گوييم آن چندجمله اي را تجزيه كرده ايم."
مگه هالتي وجود داره كه يك چندجمله اي رو به سورت زرب دو يا چند، چندجمله اي بنويسيم و درجه آن ها كمتر نباشه؟

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

3 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از mmahuii بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن