اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**hts1369** · 19-06-2012, 11:15

در شکل زير منحني (h(x را نشان داده ايم که ويژ گي اش اين است که به ازاء هر نقطه مانند p روي منحني مياني مساحتهاي s1 , s2 برابر هستند.
( fو g رو داده)
معادله ي (h(x را بيابيد.

من انتگرال براي هر دو سطح نوشتم و برابر هم قرار دادم و تا يه جايي حل کردم ولي بقيه اش رو موندم اگه بچه ها کمک کنن ممنون ميشم.

$\begin{array}{c} f(x)=x^2\rightarrow f(y)=\sqrt{y} \\ g(x)=2x^2\rightarrow g(y)=\sqrt{\frac{y}{2}} \\ h(x)=? \\ p(a,b)=p(a,2a^2) \\ s_2=\int _0^a(g(x)-f(x))dx=\int _0^a(2x^2-x^2)dx=\frac{a^3}{3} \end{array}$

تا اينجا مشکلي ندارم ولي براي s1 که داريم نسبت به محور y انتگرال گيري ميکنيم نميدونم بايد بنويسيم (h(x يا (h(y من براي هر دو حالت حل ميکنم ولي به چيزه درست و حسابي نميرسم

$\begin{array}{c} s_1=s_2\Rightarrow \int _0^b(g(y)-h(x))dy=\int _0^{2a^2}\left(\sqrt{\frac{y}{2}}-h(x)\right)dy=\frac{a^3}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3}y\sqrt{y}| \begin{array}{c} 2a^2 \\ 0 \end{array} -\frac{a^3}{3}=\int _0^{2a^2}h(x)dy\Rightarrow a^3=h(x)(2a^2)\Rightarrow h(x)=\frac{a}{2} \end{array}$

تو حالت اول براي (h(x يه مقدار ثابت بدست مياد. و من ميدونم اين مقدار ثابت داره چي رو نشون ميده.

$\begin{array}{c} s_1=s_2\Rightarrow \int _0^b(g(y)-h(y))dy=\int _0^{2a^2}\left(\sqrt{\frac{y}{2}}-h(y)\right)dy=\frac{a^3}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3}y\sqrt{y}| \begin{array}{c} 2a^2 \\ 0 \end{array} -\frac{a^3}{3}=\int _0^{2a^2}h(y)dy \\ \int _0^{2a^2}h(y)dy=a^3\Rightarrow Chikar-Konam \end{array}$

تو حالت دوم به يه معادله ي انتگرالي ميرسيم که بلد نيستم حلش کنم.

----------------------------
يکي از دوستان تو انجمن مهندسان ايران اينجور حلش کرده بنظرتون اين درسته؟

$\int_{0}^{x_p}(2x^2-x^2)dx=\frac{x_p^3}{3} \\ \int_{0}^{y_p}(\sqrt{\frac{y}{2}}-x)dy=\frac{\sqrt{2}}{3} y_p^{\frac{3}{2}}-\int_{0}^{y_p}xdy=\frac{x_p^3}{3} \\ \int_{0}^{y_p}xdy=\frac{1}{3\sqrt{2}}y_p^{\frac{3}{2}}\Rightarrow x=\frac{1}{3\sqrt{2}}\times\frac{3}{2}\sqrt{y}\Rightarrow y=8x^2$

تابعي که بدست اورده رو وقتي امتحان ميکنيم و انتگرالگيري ميکنيم جواب دو حالت برابر نميشه برا همين من فکر ميکنم اشتباه حل کرده.

**lebesgue** · 19-06-2012, 16:28

برای S1 میتوانید بنویسید:

$S_1=\int_{0}^{2a^2}\left [ g^{-1}(x)-h^{-1}(x) \right ]dx$

نیازی به انتگرال گیری هم نیست. کافی است در معادله S1=S2، از طرفین معادله نسبت به a مشتق بگیرید. از اینجا میتوانید ابتدا تابع معکوس h و سپس خود h را بدست آورید.

جواب نهایی: $h(x)=32x^2/9$

**lebesgue** · 19-06-2012, 17:06

نوشته شده توسط ab_seri [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام میشه لرای f(x) سری فرویه شو بدست بیارید؟
اگر بازه نیاز داشتید از $-\Pi <x<\Pi$

$f(x)=(sinx+sin2x+sin3x+...)(conx+cos2x+cos3x+...)$

هر چی ور رفتم و فرموال نوشتم نشد

به نظر نمی آید که این موجود تابع باشد، چون به غیر از نقاط خاص، هیچکدام از دو سری داخل پرانتز، همگرا نیستند. بهرحال، برای بدست آوردن سری فوریه، میتوان راه davy jones را ادامه داد، یا اینکه از ابتدا اینگونه شروع کرد:

$\\f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\sum_{m=1}^{\infty }\sin(mx)\cos(nx)\\\\\\=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\sum_{m=1}^{\infty }\left \left [\sin(mx)\cos(nx)+\sin(nx)\cos(mx) \right \right ]\\\\\\=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty }\sum_{m=1}^{\infty }\sin\left ((m+n)x \right )$

اگر تعریف کنیم m+n=k، میتوان نوشت:

$\\f(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty }\sum_{n=1}^{k-1}\sin\left (kx \right )\\\\\\= \sum_{k=2}^{\infty }\frac{k-1}{2}\sin\left (kx \right )$

که این خودش سری فوریه است. میشد با استفاده از فرمول ضرایب سری فوریه و محاسبه انتگرال هم به این نتیجه رسید. البته، ضرایب سری فوریه توابع، حداقل با ضریب $1/k$ نزول می کنند، در حالی که اینجا با افزایش k، ضرایب سری فوریه افزایش پیدا کرده اند! خب همانطور که عرض شد، f تابع نیست.

**Greedy** · 19-06-2012, 17:31

سلام

تصویر قائم رویه بر صفحه یعنی چی اصلا ؟ من متوجه نشدم مثلا تو این سوال :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

رویه کدومه ؟ تصویر رویه رو چطوری بدست بیاریم کلا تو مسائل یا این سوال ؟ اصلا برای چی تصویر رویه تو صفحه xy رو باید بدست بیاریم ؟

این 3 سوالم ممنون میشم راهنمایی کنید و جواب بدید

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**hts1369** · 19-06-2012, 19:48

نوشته شده توسط Greedy [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

قضیه گرین رو بلد نیستم (به ما درس ندادن تابستون خودم میخونمش)
این با تبدیل خطی حل میشه اینجوری.
xy شکل تو صفحه ی عادی هست و uv تو صفحه مختصاتی که ما تابع رو بهش منتقل کردیم.

برای اینکه بدونی خطهای جدید رو چه جوری رسم کردم به حل نگاه کن (یه دفعه x=0 و ...)

$\int _De^{\frac{x-y}{x+y}}dxdy,D:\{(x,y)|x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq 1\} \\ \left\{ \begin{array}{c} x-y=u \\ x+y=v \end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{u+v}{2} \\ y=\frac{v-u}{2} \end{array} \Rightarrow j(x,y)=\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{du} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right|=\left| \begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right|=\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\right.\right. \\ \left\{ \begin{array}{c} x=0\rightarrow u=-v \\ y=0\rightarrow u=v \\ x+y=1\rightarrow v=1 \end{array} \right. \\ \int _0^1\int _{-v}^vj(x,y)e^{\frac{u}{v}}dudv=\frac{1}{2}\int _0^1\int _{-v}^ve^{\frac{u}{v}}dudv=\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)$

**hts1369** · 21-06-2012, 12:57

تبدیل لاپلاس این تابع رو باید چجوری حساب کرد.
ما برا تبدیل لاپلس توابع مثلثاتی اول بسطشون میدادیم و بعد تبدیل لاپلاس هر کدوم رو حساب میکنیم.
مثله این (استاد مدارمون هم اینجوری حل میکرد)

$\ell [\sin (t-2)]=\ell [\sin (t)\cos (2)-\cos (t)\sin (2)] \\ \cos (2)\ell [\sin (t)]-\sin (2)\ell \cos (t)=\frac{\cos (2)}{s^2+1}-\frac{s\sin (2)}{s^2+1}=\frac{\cos (2)-s\sin (2)}{s^2+1}$

داشتم یه کتاب کنترل میخوندم که این تبدیل رو اینجوری حل کرده.

$\ell [\sin (t-2)]\\ \ell [\sin (t)]=\frac{1}{s^2+1}\rightarrow \ell [\sin (t-2)]=\frac{e^{-2s}}{s^2+1}$

اسم این قانون رو هم گذاشته قانون تاخیر زمانی.
من با متمتیکا هم که میزنم همین جواب خودم رو میده.
وقتی لاپلاس معکوسی که تو این کتاب نوشته رو هم میزنم این جواب رو میده.
این یعنی چی
کدوم قانون تبدیل لاپلاسه

$\text{InverseLaplaceTransform}\left[\frac{e^{-2s}}{s^2+1},s,t\right]\\ -\text{HeavisideTheta}[-2+t] \text{Sin}[2-t]$

**cnmeysam** · 21-06-2012, 20:05

کسی جواب این سوال رو میدونه؟ [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**lebesgue** · 22-06-2012, 00:22

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

تبدیل لاپلاس این تابع رو باید چجوری حساب کرد.
.
.
.

اگر لاپلاس دوطرفه مورد نظر باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

$H(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-st}dt$

در اینصورت $h(t)=\sin (t)$ تبدیل لاپلاس ندارد، چرا که انتگرال فوق به ازای هیچ s ای همگرا نخواهد بود. اما تبدیل لاپلاس $h(t)=\sin (t)u(t)$ میشود $H(s)=1/(1+s^2)$ . حال اگر تابع مورد نظر شما $\sin(t-2)u(t-2)$ باشد، میتوانید از قانون تاخیر زمانی استفاده کنید و پاسخ دومتان صحیح است. اما اگر $\sin(t-2)u(t)$ مورد نظر است، پاسخ اول درست می باشد.

توجه کنید که لاپلاس یکطرفه $h(t)$ برابر است با لاپلاس دوطرفه $h(t)u(t)$ . با استفاده از این نکته میتوانید نتایجی را برای لاپلاس یکطرفه استنتاج کنید. همچنین، سعی کنید قانون تاخیر زمانی را (با یک تغییر متغیر در انتگرال) اثبات نمایید.

**lebesgue** · 22-06-2012, 00:36

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

برای S1 میتوانید بنویسید:

$S_1=\int_{0}^{2a^2}\left [ g^{-1}(x)-h^{-1}(x) \right ]dx$

نیازی به انتگرال گیری هم نیست. کافی است در معادله S1=S2، از طرفین معادله نسبت به a مشتق بگیرید. از اینجا میتوانید ابتدا تابع معکوس h و سپس خود h را بدست آورید.

جواب نهایی: $h(x)=32x^2/9$

فراموش کردم این نکته را اضافه کنم که:

فرض کنید در صورت سوال، به جای S1=S2 میگفت S1=S2+1 یا اصلاً S1=S2+c که c میتواند هر ثابت دلخواهی باشد. در اینصورت، پس از مشتق گیری از طرفین، آن ثابت ناپدید میشد و همین (h(x بالا بدست می آمد، که خب نادرست است. میتوانید بگویید اشکال در کجاست؟ پس از مشتق گیری، معادلات از کجا فهمیده اند که S1=S2 مورد نظر بوده و نه S1=S2+1؟

**Greedy** · 22-06-2012, 16:06

نوشته شده توسط Greedy [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

تصویر قائم رویه بر صفحه یعنی چی اصلا ؟ من متوجه نشدم مثلا تو این سوال :

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

رویه کدومه ؟ تصویر رویه رو چطوری بدست بیاریم کلا تو مسائل یا این سوال ؟ اصلا برای چی تصویر رویه تو صفحه xy رو باید بدست بیاریم ؟

این 3 سوالم ممنون میشم راهنمایی کنید و جواب بدید

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یکی از دوستان کمک کنه پس فردا امتحان دارم نیاز اساسی دارم بهش

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

5 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن