اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**Kesel** · 02-06-2012, 15:44

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از روش تلسکوپی استفاده کنید و معادله زیر برای n های مثبت:

$\tan^{-1}\left ( \frac{1}{2n^2} \right )=\tan^{-1}\left ( \frac{n}{n+1} \right )-\tan^{-1}\left ( \frac{n-1}{n} \right )$

ویرایش: یک اشتباه تایپی اصلاح شد.

خیلی ممنون

قطعا جواب شما درسته . یعنی این دقیقا همون آلفا و بتای منحصر به فرده . اما سوال اینجاست که شما چطور می تونید این دو عبارت رو محاسبه کنید (یا شاید حدس بزنید) :

$\left ( \frac{n}{n+1} \right ),\left ( \frac{n-1}{n} \right )$

با فرض درست بودن جواب شما به نوعی «دنده عقب» می گیریم :

$\tan^{-1}(\frac{1}{2n^{2}})=\tan^{-1}(\frac{n}{n+1})-\tan^{-1}(\frac{n-1}{n})=\alpha -\beta$

بنابراین :

$\alpha =\tan^{-1}(\frac{n}{n+1})\Rightarrow \tan \alpha =\frac{n}{n+1}$

$\beta =\tan^{-1}(\frac{n-1}{n})\Rightarrow \tan \beta =\frac{n-1}{n}$

حال با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول زیر که همان فرمول تانژانت تفاضل دو کمان هست :

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

به عبارت زیر می رسیم می رسیم که با آرک تانژانت گرفتن از دو طرف به جمله ی عمومی صورت سوال خواهیم رسید .

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{2n^{2}}$

که در واقع از قسمت راست عبارت شما به سمت چپ رسیدم و ثابت شد.
بنابراین جواب شما درست هست به اضافه ی این که جواب با استفاده از قاعده ی ادغام همون پی چهارم می شه.
حالا تلاش می کنم محاسبات شما رو حدس بزنم :

$\frac{1}{2n^{2}}=\frac{x-y}{1+xy}$

به دو معادله و دو مجهول زیر می رسم :

$1=x-y,2n^{2}=1+xy$

با مرتب کردن طرفین به معادله ی درجه ی دویی می رسم که دلتای «ناجور»ی به من می دهد.

$\Delta =-3+8n^{2}$

و محاسباتم در مرحله ی بعد متوقف می شود.

$y=\frac{-1\pm \sqrt{-3+8n^{2}}}{2}$
ممنون می شم راهنمایی بفرمایید.

**skyzare** · 02-06-2012, 21:13

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

$\sum_{n=1}^{\infty }\tan^{-1}(\frac{1}{2n^{2}})$

اینو لطف می کنید بگید به چی همگرایه؟ پی چهارم ؟ ولی چرا ؟ چطوری ؟
در واقع اگه توضیح بدید چجوری عبارت بالا برابر با عبارت زیر می شه . اونوخ حدش در بی نهایت پی چهارمه

$=\tan^{-1}(\frac{n}{n+1})$

ممنون

نوشته شده توسط 1233445566 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

از روش تلسکوپی استفاده کنید و معادله زیر برای n های مثبت:

$\tan^{-1}\left ( \frac{1}{2n^2} \right )=\tan^{-1}\left ( \frac{n}{n+1} \right )-\tan^{-1}\left ( \frac{n-1}{n} \right )$

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

خیلی ممنون

قطعا جواب شما درسته . یعنی این دقیقا همون آلفا و بتای منحصر به فرده . اما سوال اینجاست که شما چطور می تونید این دو عبارت رو محاسبه کنید (یا شاید حدس بزنید) :

$\left ( \frac{n}{n+1} \right ),\left ( \frac{n-1}{n} \right )$

با فرض درست بودن جواب شما به نوعی «دنده عقب» می گیریم :

$\tan^{-1}(\frac{1}{2n^{2}})=\tan^{-1}(\frac{n}{n+1})-\tan^{-1}(\frac{n-1}{n})=\alpha -\beta$

بنابراین :

$\alpha =\tan^{-1}(\frac{n}{n+1})\Rightarrow \tan \alpha =\frac{n}{n+1}$

$\beta =\tan^{-1}(\frac{n-1}{n})\Rightarrow \tan \beta =\frac{n-1}{n}$

حال با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول زیر که همان فرمول تانژانت تفاضل دو کمان هست :

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

به عبارت زیر می رسیم می رسیم که با آرک تانژانت گرفتن از دو طرف به جمله ی عمومی صورت سوال خواهیم رسید .

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{2n^{2}}$

که در واقع از قسمت راست عبارت شما به سمت چپ رسیدم و ثابت شد.
بنابراین جواب شما درست هست به اضافه ی این که جواب با استفاده از قاعده ی ادغام همون پی چهارم می شه.
حالا تلاش می کنم محاسبات شما رو حدس بزنم :

$\frac{1}{2n^{2}}=\frac{x-y}{1+xy}$

به دو معادله و دو مجهول زیر می رسم :

$1=x-y,2n^{2}=1+xy$

با مرتب کردن طرفین به معادله ی درجه ی دویی می رسم که دلتای «ناجور»ی به من می دهد.

$\Delta =-3+8n^{2}$

و محاسباتم در مرحله ی بعد متوقف می شود.

$y=\frac{-1\pm \sqrt{-3+8n^{2}}}{2}$
ممنون می شم راهنمایی بفرمایید.

با سلام .

راستش من متوجه نشدم شما توی اون پست اخر تون دقیقا دنبال چی بودید ولی در کل این سری های تلسکوپی فرم کلی اشون این جوری :

سری هایی که به فرم :

$\sum_{k=1}^{n}[(f_k)-(f_{k+1})]$

باشند معمولا سری هایی همگرا هستند . البته باید توجه کرد که بعضی از سری ها شکل ضاهری فوق را دارند ولی واگرا هستند . طریقه محاسبه آنها به این شکل است که جمله اول پرانتز اول و جمله اخر پرانتز دوم را فقط در نظر می گیریم .

حالا این سری شما طبق گفته اساتیداین جوری میشه نوشت :

$\sum_{n=1}^{\infty }tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})=-\sum_{n=1}^{\infty }[tan^{-1}(\frac{n-1}{n})-tan^{-1}(\frac{n}{n+1})]=\\\\\\ -(tan^{-1} (\frac{1-1}{1})-\lim_{n\rightarrow \infty }tan^{-1}(\frac{n}{n+1}) )=-(0-tan^{-1}(1))=\frac{\pi }{4}$

**Kesel** · 02-06-2012, 22:56

ممنون از توضیحاتتون .
من مشکلی با قاعده ی تلسکوپی ندارم و این عبارتی که دوستمون اشاره کردن دقیقا با روش شما حل می شه .
منتهی می خوام ببینم همین رو از کجا به دست آوردن .
ضمن این که تو پست آخرم در قسمت اولش ثابت کردم جواب دوستمون درست هست . و در قسمت بعد سعی کردم بفهمم ایشون چه طور به چنین نتیجه ای رسیدن !
مثلا ببینید من چجوری سری زیر رو حل می کنم :

$\sum_{n=1}^{\infty }\tan^{-1} (\frac{1}{n^{2}+n+1})$

چون داریم :

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

بنابراین سعی می کنم کمان آرک تانژانت صورت سوال رو به فرم بالا بنویسم برای این منظور ، عملیات زیر رو انجام می دم :

$\frac{1}{n^{2}+n+1}=\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}$

ببینید یعنی با اضافه کردن و کم کردن یک n درصورت کمان آرک تانژانت رو به شکل دلخواه در اومد
حالا می گیم :

$\tan \alpha =n+1,tan\beta =n\Rightarrow \alpha =\tan^{-1} (n+1),\beta =\tan^{-1} (n)$

یعنی :

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{n^{2}+n+1}$

با آرک تانژانت گرفتن از دو طرف ، در سمت راست جمله عمومی صورت سوال ظاهر شد ؛ و در سمت چپ آلفا منهای بتا. که آلفا منهای بتا از قاعده ی تلسکوپی به راحتی قابل حل هست.
من در واقع عکس این عملیات رو در پست قبل رفتم که نشون بدم جواب ایشون درسته . منتهی توی این مثال من در صورت یک n کم و زیاد کردم اما هر چی فکر می کنم متوجه روش ایشون برای پیدا کردن دو عبارت زیر چی بوده ، نمی شم :

$\left ( \frac{n}{n+1} \right ),\left ( \frac{n-1}{n} \right )$
ضمنا توضیحات شما در زمینه ی روش ادغام بسیار مفید بود . اگر دوستان در اینترنت جستجو کنن این روش در صفحات فارسی بسیار اندکی توضیح داده شده . به طوری که حتی ویکی پدیای فارسی هم نداره !

**lebesgue** · 03-06-2012, 12:53

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

قطعا جواب شما درسته . یعنی این دقیقا همون آلفا و بتای منحصر به فرده . اما سوال اینجاست که شما چطور می تونید این دو عبارت رو محاسبه کنید (یا شاید حدس بزنید)

آلفا و بتا منحصر به فرد نیستند*:

$\tan^{-1}\left (\frac{1}{2n^2} \right )=\tan^{-1}\left [\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)} \right ]=\tan^{-1}(2n+1)-\tan^{-1}(2n-1)$

و همچنین:

$\tan^{-1}\left (\frac{1}{2n^2} \right )=\tan^{-1}\left (\frac{3n+1}{n+2} \right )-\tan^{-1}\left (\frac{3n-2}{n+1} \right )$

و بینهایت جواب دیگر.

این پاسخها از حل معادله تفاضلی زیر بدست می آیند:

$\tan^{-1}\left (a_{n} \right )-\tan^{-1}\left (a_{n-1} \right )=\tan^{-1}\left (\frac{1}{2n^2} \right )$

میتوان نشان داد جواب عمومی این معادله تفاضلی به صورت زیر است:

$a_n=\frac{a_0+\left (1+a_0 \right )n}{1+\left ( 1-a_0 \right )n}$

دشواری در اینجاست که برای بدست آوردن این پاسخ عمومی، لازم است -دستکم در روشی که من بکار بردم- یک پاسخ خصوصی از قبل دانسته باشد. یعنی به نظر می آید که در هر صورت یک پاسخ باید حدس زده شود. اینکه آیا روشی تحلیلی برای حل این مسئله وجود دارد یا خیر، نمیدانم.

* خطای شما در اینجاست:

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$\frac{1}{2n^{2}}=\frac{x-y}{1+xy}$

به دو معادله و دو مجهول زیر می رسم :

$1=x-y,2n^{2}=1+xy$

1. از تساوی دو کسر، نمیتوان تساوی صورتها و مخرجها را نتیجه گرفت.

2. این شرط را لحاظ نکردید که x و y باید جملات متوالی یک دنباله باشند. با در نظر گرفتن این شرط، یک معادله تفاضلی خواهید داشت که اگر از طرفین معادله آرکتانژات بگیرید، تبدیل میشود به همان معادله تفاضلی که بالاتر نوشتم.

**usertyu** · 03-06-2012, 13:55

تو مثلث ABCنیم خطهای Ax,Ayزاویه A رو به 3 قسمت مساوی تقسیم میکنن.به همین ترتیب Bz,Bt و Cw,Cv زاویه های B و C رو .(Axنزدیک ضلع AC و Bz نزدیک ضلع AB و Cv نزدیک ضلع BC ).محل برخورد Ax , Cw = M و Ay , Bz = N و Bt , Cv = P
ثابت کنید مثلث MNP متساوی الاضلاع است؟

**Kesel** · 04-06-2012, 12:09

این چیزی که شما دارید می گید قضیه ی مورلی هست که راه های اثبات زیادی براش وجود داره .

یکیشو تو ویکیپدیا توضیح داده بقیش هم می تونید یا یه سرچ کوچیک تو اینترنت پیدا کنید.

Morley's trisector theorem

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

اگه اثبات فارسیشم می خواین این دو تا پی دی اف خیلی خوب توضیح دادن:

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**sima_6600** · 05-06-2012, 06:58

سلام دوستان از اونجای که من سوادم نم کشیده میخواستم از شما درخواست کنم این چند مساله رو حل کنید.

1-عبارت Cos^4 teta و sin ^4 teta را برحسب sin و cos مضارب teta بنویسید.(^4 همون به توان 4 بود)

2-ثابت کنید

3-اگر

باشد ثابت کنید

ممنون میشم جواب بدین خیلی واجبه بازم ممنونم

**mofidy1** · 05-06-2012, 10:02

نوشته شده توسط Kesel [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این چیزی که شما دارید می گید قضیه ی مورلی هست که راه های اثبات زیادی براش وجود داره .
یکیشو تو ویکیپدیا توضیح داده بقیش هم می تونید یا یه سرچ کوچیک تو اینترنت پیدا کنید.

Morley's trisector theorem

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام و تشکر از دوستان.
مطرح کردن این قضیه ی بسیار زیبا در این انجمن واقعاً لازم بود. بنده هم نخواستم از ثواب آموزش هندسی و پویای آن، بی نصیب بمانم. به همین دلیل، دست و پا شکسته و خیلی سریع، یک فایل جئوجبرا برای آن ساختم که می توانید از لینک زیر دانلود کنید:
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
برای کار با آن، کافی است دایره های آلفا و بتا را به سمت چپ و راست بچرخانید. روی شکل بند انگشتی زیر کلیک کنید. (البته رایانه ی شما باید به جئوجبرای 4 و صد البته به جاوا مجهز باشد.)
موفق باشید.
16 خرداد 1391

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

**taghi_ramzi** · 05-06-2012, 13:13

با سلام
دو تا بازگشتی دارم که حل کردم ، می خواستم ببینم درست هستن یا نه ؟:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با تشکر

**Kesel** · 05-06-2012, 16:45

نوشته شده توسط sima_6600 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوستان از اونجای که من سوادم نم کشیده میخواستم از شما درخواست کنم این چند مساله رو حل کنید.

1-عبارت Cos^4 teta و sin ^4 teta را برحسب sin و cos مضارب teta بنویسید.(^4 همون به توان 4 بود)

2-ثابت کنید

3-اگر

باشد ثابت کنید

ممنون میشم جواب بدین خیلی واجبه بازم ممنونم

سلام
برام عجیبه صورت های سوالای شما اشکالات منطقی داره ! یعنی یا از سطح معلومات من بالاتره یا اگه از رو تخته نوشتین احتمالا اشتباه نوشتین صورتشون رو :

جواب سوال اولتون :
$\sin ^{4}\theta =\frac{1}{8}(-4\cos (2\theta )+\cos (4\theta )+3)$
$\cos ^{4}\theta =\frac{1}{8}(4\cos (2\theta )+\cos (4\theta )+3)$

که این دو عبارت از اتحاد هایی موسوم به اتحاد های طلایی به دست می آن :

$\cos ^{2}(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

$\sin ^{2}(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$
اگر دو بار از این اتحاد های طلایی استفاده کنین جوابتون به دست می یاد.

اما سوال دومتون شما طرف چپ رو بیاید با ماشن حساب ، حساب کنید به دست می یاد 3.71 منهای 0.7i در حالی که رادیکال شش تقریبا برابر با 2.45 هست بدون قسمت موهومی و اگه بیشتر به صورت سوال نگاه کنیم عجیب بودنش قابل حس کردنه .

سوال سومتون هم هیچیش مشخص نیست . شما خودتون بیاید از استقرا این رو اثبات کنید وقتی به جای n عدد 1 رو می زارید فرضتون رو نقض می کنه . مگر این که کمان تتا ، خود کسینوس رو صفر کنه که در این صورت باید به جای سمت راست فرض عدد 0 رو وارد کنیم که به یک معادله می رسیم ! حل این معادله به ما x=i یا x=-i رو می ده که اگر ما در حکم به جای n دو بزاریم عبارت بی معنی -2=0 عایدمون می شه . که نشون دهنده ی وجود تناقض هست .

شاید معلومات من نمی رسه یا جایی رو دارم اشتباه می کنم .

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

این کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

3 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

4 کاربر از lebesgue بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از usertyu بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

5 کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از mofidy1 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

5 کاربر از Kesel بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن