اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**hts1369** · 02-05-2012, 21:32

نوشته شده توسط zr1 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

درود به همه کسایی که تو این قسمت فعالیت میکنن.دوستان قبل از اینکه سوالام رو مطرح کنم یه چیزی رو میخواستم بپرسم که ممکنه راهنمایی های شما به درد من و دوستام بخوره.این ترم ما درس دیفرانسیل داریم و درسای استاد رو سر کلاس خوب متوجه میشیم و میتونیم مثالای استاد رو حل کنیم اما وقتی میاییم مثالایی که استاد از کتاب سیمونز مشخص کرده رو میخاییم حل کنیم یا همون اول نمیتونیم حل کنیم یا تا نصفه میریم(معلوم هم نیست که درست حل کرده باشیم).من خودم کتاب دکتر نیکوکار رو هم گرفتم که از اون هم به درسام میرسم ولی بازم خود من هم نمیتونم بعضی از مثالای این کتاب رو حل کنم.ممکنه که اول کار باشیم ولی اگه راهنمایی با تجربه ای چیزی دارین بگین ممنون میشم.
نشان دهید که معادلات زیر همگن هستند و انها را حل کنید
$x^2{y}'-3xy-2y^2=0$

$x^2{y}'=3(x^2+y^2)tan^-^1\frac{y}{x}+xy$

$xsin\frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=ysin\frac{y}{x}+x$
بازم سوال دارم و ممنون میشم که کمکم کنین

من دومی و سومی رو برات حل میکنم.
خب این نشون دهنده ی همگن بودن تابع. نمیدونم به شما چی گفتن ولی با این چیزی که من دارم میگم هیچ فرقی نداره

$\begin{array}{c} x\sin \frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=y\sin \frac{y}{x}+x\Rightarrow tx\sin \frac{ty}{tx}\frac{dy}{dx}=ty\sin \frac{ty}{tx}+tx \\ tx\sin \frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=ty\sin \frac{y}{x}+tx\Rightarrow tx\sin \frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=t\left(y\sin \frac{y}{x}+x\right)\Rightarrow x\sin \frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=y\sin \frac{y}{x}+x \end{array}$

شما باید با یه تغییر متغیر این تیپ سوالها رو حل کنی

$\begin{array}{c} x\sin \frac{y}{x}\frac{dy}{dx}=y\sin \frac{y}{x}+x\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{y\sin \frac{y}{x}+x}{x\sin \frac{y}{x}}=\frac{y}{x}+\frac{1}{\sin \frac{y}{x}}=z+\frac{1}{\sin z} \\ \frac{y}{x}=z\Rightarrow y=xz\Rightarrow \frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx} \\ \frac{dy}{dx}=z+\frac{1}{\sin z}=z+x\frac{dz}{dx}\Rightarrow x\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\sin z}\Rightarrow \sin zdz=\frac{dx}{x}\Rightarrow -\cos z=\ln x+c \\ -\cos \frac{y}{x}=\ln x+c\Rightarrow \arccos \left(\cos \frac{y}{x}\right)=\arccos (-\ln x-c)\Rightarrow y=x\arccos (-\ln x-c) \end{array}$
ایشالله متوجه که شدی؟
بریم سراغ سوال بعدی همگن بودن این تابع هم مثله قبلی خیلی راحت نشون داده میشه که بعنوان تمرین به خودتون واگذار میکنم.(از بچه های اینجا چه چیزهایی یاد گرفتم

)

$\begin{array}{c} x^2y'=3\left(x^2+y^2\right)\tan ^{-1}\frac{y}{x}+xy\Rightarrow y'=\frac{3\left(x^2+y^2\right)\tan ^{-1}\frac{y}{x}+xy}{x^2} \\ \frac{dy}{dx}=3\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)\tan ^{-1}\frac{y}{x}+\frac{y}{x} \\ \frac{y}{x}=z\Rightarrow y=xz\Rightarrow \frac{dy}{dx}=z+x\frac{dz}{dx} \\ \frac{dy}{dx}=3\left(1+z^2\right)\tan ^{-1}z+z\Rightarrow z+x\frac{dz}{dx}=3\left(1+z^2\right)\tan ^{-1}z+z\Rightarrow \frac{dz}{dx}=\frac{3\left(1+z^2\right)\tan ^{-1}z}{x} \\ \frac{dz}{dx}=\frac{3\left(1+z^2\right)\tan ^{-1}z}{x}\Rightarrow \frac{dz}{3\left(1+z^2\right)\tan ^{-1}z}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \frac{1}{3}\ln \tan ^{-1}z=\ln x+c \\ \frac{1}{3}\ln \tan ^{-1}\frac{y}{x}=\ln x+c \end{array}$

تا همین جا هم بسه و نیازی به محاسبه ی بیشتری نیست.
من خودم این ترم معادلات دارم. واقعا چیزه خیلی باحالیه
در مورد سیمونز من دو تا ترجمه از این کتاب دیدم یکی ماله نشر دانشگاهی هست (که من دارمش) آخر این کتاب جواب یکسری از سوالات رو داره (سوالات فرد)
ولی یه ترجمه دیگه هست که نمیدونم چرا جواب سوالات رو آخر کتاب ننوشته ولی مزیت این کتاب نسبت که کتاب نشر دانشگاهی اینه که چون از ویرایش جدیدتری هست بیشتر تمرین داره
دو کتاب رو با هم مقایسه کردم و دیدم.

**siyanor** · 03-05-2012, 10:17

دوستان يه سوال درباره توابع فرض كنيم كه f(x)=x-2/x+3 وm(x)=1/sqrtx^(2)-5x+6 الان اگه از ما بخواند كه دومين f(x) و g(x) و (fog) رو پيدا كنيم بايد چيكار بكنيم ؟من خودم كارى كه كردم براى اولى نوشتم كه

X+2≠0⟶x≠-2 از اشتراكش با دومين صورت تقسيم , دومين ميشه R-{-2}
واسه معادله دوم هم داريم (چون جذر هست و در پايين كسر هم قرار داره از علامت بزرگتر استفاده ميكنيم < )
x^2-5x+6>0 →(X-3)(X-2)>0 →
كه ميشه
x-3>0 →x>3
x-2>0 →x>2
يعنى دومين ميشه R -<2,3
براى آخرى هم ميشه
F(g(x))=1/sqrt(x^2-5x+6) -2 / 1/ sqrt(x^2-5x+6) +3→1-2sqrt(x^2-5x+6) / 1+3 sqrt (x^2-5x+6) so
دومين اين مساله رو كسى ميتونه به من كمك كنه پيداش كنم ؟

**hts1369** · 03-05-2012, 19:46

نوشته شده توسط siyanor [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوستان يه سوال درباره توابع فرض كنيم كه f(x)=x-2/x+3 وm(x)=1/sqrtx^(2)-5x+6 الان اگه از ما بخواند كه دومين f(x) و g(x) و (fog) رو پيدا كنيم بايد چيكار بكنيم ؟من خودم كارى كه كردم براى اولى نوشتم كه

X+2≠0⟶x≠-2 از اشتراكش با دومين صورت تقسيم , دومين ميشه R-{-2}
واسه معادله دوم هم داريم (چون جذر هست و در پايين كسر هم قرار داره از علامت بزرگتر استفاده ميكنيم < )
x^2-5x+6>0 →(X-3)(X-2)>0 →
كه ميشه
x-3>0 →x>3
x-2>0 →x>2
يعنى دومين ميشه R -<2,3
براى آخرى هم ميشه
F(g(x))=1/sqrt(x^2-5x+6) -2 / 1/ sqrt(x^2-5x+6) +3→1-2sqrt(x^2-5x+6) / 1+3 sqrt (x^2-5x+6) so
دومين اين مساله رو كسى ميتونه به من كمك كنه پيداش كنم ؟

لطفا سوالتون رو تو یک تایپیک بپرسید. ترجیحا همین جا چون برای اینکار ایجاد شده.
ممنون که توجه میکنید.
منظورتون رو از "دومین" نمیفهم منظورتون ( f(f(x هست؟
اگه اره شما دامنه ی این توابع رو میخواهید یا خود ظابطه ی سوالاتتون رو؟

**hts1369** · 03-05-2012, 20:09

این انتگرال چطور حل میشه؟
$\int x^4\text{Ln}\left(3x^3+8\right)dx$
جوابش اینه (با متمتیکا زدم و اینو گرفتم) ولی موندم چطور میشه حلش کرد؟شاید هم ساده باشه ولی نمیدونم چطور حلش کنم.
$\frac{8 \text{Lnx}^5}{5}+\frac{3 \text{Lnx}^8}{8}$

**siyanor** · 03-05-2012, 22:23

سلام دوست عزيز ,ممنون واسه توصيه تون

دو تا تابع داريم كه دامنه هر كدام ازمون خواسته شده و دامنه (foG)(x) من خودم يه چيزاى رو حل كردم ولى مطمئن نيستم

واسه f(x) داريم X+3≠0→x≠-3→D=R-{-3}
واسه D(x) هم داريم

كسى از دوستان ميتونه تو حل F(g(x)) كمكم كنه , هم تابع و هم دامنه اونو

كسى از دوستان ميتونه تو حل F(g(x)) كمكم كنه , هم تابع و هم دامنه اونو چجورى ميشه پيدا كرد ؟
با تشكر

**hts1369** · 04-05-2012, 09:20

نوشته شده توسط siyanor [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام دوست عزيز ,ممنون واسه توصيه تون

دو تا تابع داريم كه دامنه هر كدام ازمون خواسته شده و دامنه (foG)(x) من خودم يه چيزاى رو حل كردم ولى مطمئن نيستم

واسه f(x) داريم X+3≠0→x≠-3→D=R-{-3}
واسه D(x) هم داريم

كسى از دوستان ميتونه تو حل F(g(x)) كمكم كنه , هم تابع و هم دامنه اونو

كسى از دوستان ميتونه تو حل F(g(x)) كمكم كنه , هم تابع و هم دامنه اونو چجورى ميشه پيدا كرد ؟
با تشكر

سلام
خب برای و f که g راحته

$\begin{array}{c} f(x)=\frac{x-2}{x+3}\Rightarrow Df=R-\{-3\} \\ g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}\Rightarrow Dg=R-[2,3] \end{array}$

و برای fog

$\begin{array}{c} fog(x)=f(g(x))=\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}-2}{\frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}+3} \\ Dfog\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{x^2-5x+6}>0 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2-5x+6}}+3>0 \end{array} \Rightarrow Dfog=R-[2,3]\right. \\ fog(x)=\frac{\frac{1-2\sqrt{x^2-5x+6}}{\sqrt{x^2-5x+6}}}{\frac{1+3\sqrt{x^2-5x+6}}{\sqrt{x^2-5x+6}}}=\frac{1-2\sqrt{x^2-5x+6}}{1+3\sqrt{x^2-5x+6}} \end{array}$

میبینی که میتونیم fog رو ساده کنیم ولی من برای محاسبه ی دامنه ی تابع همون اول بسم الله اقدام کردم ولی بعدا میتونیم ساده تر بکنیمش .از این هم ساده تر میشه (با گویا کردن مخرج کسر و اینجور کارها) ولی برای محاسبه ی دامنه تابع حق نداریم از این کارها بکنیم چون مثلا رادیکال از بین میره و این کار باعث میشه دامنه ی تابع اشتباه بدست بیاد.

**zr1** · 04-05-2012, 13:34

درود دوباره به همه عزیزان.ممنون hts 1369 که کمکم کردی.اشکالامو تو این هفته مطرح میکنم
دوستان دیروز استادمون یه عالمه تمرین داد بریم حل کنیم و هفته بعد 5شنبه می خواد نمره میان ترم بده و اوضاع جالب نیست!(استادای دیگه پروژه هم از ما میخوان اصلا نمیشه به همشون رسید)
من سوالامو تو چند قسمت تقسیم میکنم و هر روز اینجا قرار میدم. ممنون میشم کمکم کنین:43:شرمنده همه.
هر یک از معادلات زیر را با به دست اوردن یک عامل انتگرال ساز حل کنید
$(3x^2-y^2)dy-2xydx=0$

$(xy-1)dx+(x^2-xy)dy=0$
معادلات برنولی
$xy{}'+y=x^4y^3$

$xy^2y{}'+y^3=xcosx$
تمرین های گوناگون
$(1-xy)y{}'=y^2$

**davy jones** · 04-05-2012, 15:35

نوشته شده توسط hts1369 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این انتگرال چطور حل میشه؟
$\int x^4\text{Ln}\left(3x^3+8\right)dx$
جوابش اینه (با متمتیکا زدم و اینو گرفتم) ولی موندم چطور میشه حلش کرد؟شاید هم ساده باشه ولی نمیدونم چطور حلش کنم.
$\frac{8 \text{Lnx}^5}{5}+\frac{3 \text{Lnx}^8}{8}$

سلام

جوابی که نوشتین درست نیست و کافیه که خودتون برای اطمینان از جواب آخر مشتق بگیرین تا متوجه بشین.

جوابش یکمی طولانیه و بنده تا اونجایی که دیگه خودتون به راحتی بتونین تا آخر ادامه بدین، نوشتم:

$I=\int x^{4}\ln (3x^{3}+8)dx\rightarrow u=\ln (3x^{3}+8)\; \; ,\; \; dv=x^{4}dx\: \rightarrow du=\frac{9x^{2}}{3x^{3}+8}dx\; \; ,\; \; v=\frac{x^{5}}{5}\Rightarrow I=\int u\,. dv=u.v-\int v\, .du=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{9}{5}\int \frac{x^{7}}{3x^{3}+8}dx$

$=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{3}{5}\int \frac{x^{7}}{x^{3}+\frac{8}{3}}dx=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{3}{5}\int\frac{x^{7}}{(x+\frac{2}{\sqrt[3]{3}})(x^{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}x+\frac{4}{\sqrt[3]{9}})}dx$

که در انتگرال دوم وقتی کسر آخر رو به تجزیه کنیم و به صورت مجموع دو کسر در بیاریم، قابل حل خواهد بود و احتمالا به فرم یک چندجمله ای به انضمام یک آرک تانژانت در خواهد آمد.

موفق باشین.
91/2/15

**skyzare** · 04-05-2012, 16:08

با سلام .

می دونم جاش این جا نیست ولی جواب اخر اون انتگرالتون این میشه :

محتوای مخفی: جواب اخر

**hts1369** · 04-05-2012, 16:08

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

جوابی که نوشتین درست نیست و کافیه که خودتون برای اطمینان از جواب آخر مشتق بگیرین تا متوجه بشین.

جوابش یکمی طولانیه و بنده تا اونجایی که دیگه خودتون به راحتی بتونین تا آخر ادامه بدین، نوشتم:

$I=\int x^{4}\ln (3x^{3}+8)dx\rightarrow u=\ln (3x^{3}+8)\; \; ,\; \; dv=x^{4}dx\: \rightarrow du=\frac{9x^{2}}{3x^{3}+8}dx\; \; ,\; \; v=\frac{x^{5}}{5}\Rightarrow I=\int u\,. dv=u.v-\int v\, .du=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{9}{5}\int \frac{x^{7}}{3x^{3}+8}dx$

$=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{3}{5}\int \frac{x^{7}}{x^{3}+\frac{8}{3}}dx=\frac{x^{5}}{5}\ln (3x^{3}+8)-\frac{3}{5}\int\frac{x^{7}}{(x+\frac{2}{\sqrt[3]{3}})(x^{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{3}}x+\frac{4}{\sqrt[3]{9}})}dx$

که در انتگرال دوم وقتی کسر آخر رو به تجزیه کنیم و به صورت مجموع دو کسر در بیاریم، قابل حل خواهد بود و احتمالا به فرم یک چندجمله ای به انضمام یک آرک تانژانت در خواهد آمد.

موفق باشین.
91/2/15

داش حمید دمت گرم ولی توانها ماله x نیست برای ln هست(متمتیکا اینجوری نشون میده)

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

4 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از hts1369 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن