اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[davy jones]

سلام
حمید جان فک کنم در مورد حاصل ضرب ریشه ها ب زوج یا فرد بودن n بستگی داشته باشه . اگه n فرد باشه میشه قرینه ی چیزی ک شما گفتین و اگه n زوج باشه همونه . اینطور نیست ؟



در واقع این معادله ریشه های مختلطی داره ک حاصلضربشون حقیقیه !!

علیک سلام آقا میلاد!

نه. فرقی نداره و بستگی هم به زوج و فرد بودن درجه ی چند جمله ای نداره. چرا که اگه مثلا n فرد باشه منظورتون اینه که ممکنه یه ریشه ی مختلط ظاهر بشه که کار رو خراب کنه. ولی باید دقت کنین که اگرچه مثلا درجه ی چندجمله ای فرد هستش ولی به خاطر اینکه ضرایب چند جمله ای همگی حقیقی هستند، ریشه های مختلط، همگی دو به دو مزدوج خواهند بود.

همانطور هم که واضح هستش و میدونین، حاصل جمع دو ریشه ی مختلط ِ مزدوج، همانند حاصل ضربشون، حقیقی خواهد بود. بنابراین در حاصل جمع ریشه ها، ریشه های مختلط، 2 به 2 خودشون قسمت موهومی خودشون رو حذف میکنن. همینطور در ضرب ریشه ها، ریشه های مختلط، 2 به 2 تشکیل اتحاد مزدوج میدن و حاصل همواره حقیقی خواهد بود.

البته شرط اصلیش هم همونیه که اول اشاره کردم و اون اینکه ضرایب چند جمله ای همگی حقیقی باشند. وگرنه ریشه های موهومی لزومی ندارد که دو به دو مزدوج باشند.



موفق باشین.
91/2/12

[elahehamini]

سلام.منم نمی دونم.سوال اینه:در رابطه با پیوستگی تابع زیر بحث کنید.
(x^2-Y^2) تقسیم بر x-y برای وقتی که x مخالف y است.و x-y وقتی x=y.دو ضابطه ای هست ببخشید که اینطوری نوشتم.

[Mohammad Yek110]

سلام
این فرمول به دست آوردن حجم کره ست



دلیل این عملیات هایی که با رنگ قرمز مشخص شده چیه؟

چرا شعاع به توان 3 میشه و بعد همه عملیات تقسیم بر سه میشه؟
ممنون

[siyanor]

--------------------------------------------------------------------------------

سلام
من يه سوال دارم اگه كسى از دوستان لطف كنه يه راهنمايى كنه ممنون ميشم
يه دايره داريم كه از سه نقطه A(2,1) , B(7.6), C(5,10) , عبور ميكنه اگه مركز دايره رو S بگيريم , مختصات S و شعاع رو بايد پيدا كنيم , يه راهش كه توسط وصل كردن دو نقطه به همديگه به هم و پيدا كردن نقطه وسط روى هر خط و معادله خط عمود بر اون و بقيه ماجراست, ولى من ميخواهم ببينم به صورت جبرى ميشه اين رو حل كرد يعنى با سه تا مجهول ؟



(x-2)^2+(y-1)^2=r^2
(x-7)^2+(y-6)^2=r2
(x-5)^2+(y-10)^2=r^2


الان چجورى ميشه معادله رو حل كرد ( فكر كنم بايد اول رو از دوم و اول رو از سوم كم كنيم تا r حذف بشه ولى خوب مطمئن نيستم )
__________________
من اينو يه جاى ديگه فورم هم تايپ كردم , ولى اينجا به نظر بهتر مياد , ممنون ميشم كمك كنيد

[skyzare]

--------------------------------------------------------------------------------

سلام
من يه سوال دارم اگه كسى از دوستان لطف كنه يه راهنمايى كنه ممنون ميشم
يه دايره داريم كه از سه نقطه A(2,1) , B(7.6), C(5,10) , عبور ميكنه اگه مركز دايره رو S بگيريم , مختصات S و شعاع رو بايد پيدا كنيم , يه راهش كه توسط وصل كردن دو نقطه به همديگه به هم و پيدا كردن نقطه وسط روى هر خط و معادله خط عمود بر اون و بقيه ماجراست, ولى من ميخواهم ببينم به صورت جبرى ميشه اين رو حل كرد يعنى با سه تا مجهول ؟



(x-2)^2+(y-1)^2=r^2
(x-7)^2+(y-6)^2=r2
(x-5)^2+(y-10)^2=r^2


الان چجورى ميشه معادله رو حل كرد ( فكر كنم بايد اول رو از دوم و اول رو از سوم كم كنيم تا r حذف بشه ولى خوب مطمئن نيستم )
__________________
من اينو يه جاى ديگه فورم هم تايپ كردم , ولى اينجا به نظر بهتر مياد , ممنون ميشم كمك كنيد

با سلام .

حل کردنی که از این روش هم میشه ولی خوب مسئله سر این هست که دستگاهی که به وجود میاد یه دستگاه غیر خطی هست با سه مجهول به نظرم زمان حل کردنش نسبت به روش اولی بیشتر باشه . یعنی یه چیزی مثل شکل زیر :

به نظرم همون روش اولی رو که خودتون رو حل کنید بهتر هست البته من خودم هم نمیدونم این دستگاه ها رو چه جوری باید حل کرد ولی از همون روش های تکراری فکر کنم باید حل کرد . تازه کافی هست یه ذره اشتباه بشه دیگه کلا همه اش غلط میشه این تجریه ام از محاسبات عددی هست !

[Kesel]

سلام
این فرمول به دست آوردن حجم کره ست



دلیل این عملیات هایی که با رنگ قرمز مشخص شده چیه؟

چرا شعاع به توان 3 میشه و بعد همه عملیات تقسیم بر سه میشه؟
ممنون

من دقیقا منظورتونو نمی فهمم. مگه اشکالی داره اینجوری باشه؟عملیات منظورتون چیه ؟
به دست آوردن حجم کره به طریق انتگرال گیری به دست می یاد و یکی از کاربرد های انتگراله.به طور کلی:

بنابراین اگر از این عبارت مشتق بگیرید فرمول مساحت کره به دست می یاد.که A مساحت سطح مقطعی از x هست.
می خواستم براتون تایپ کنم دیدم تو اینترنت هست دیگه دوباره ننوشتم:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

[lebesgue]

سلام بر دوستان گرامی؛

کسی اثبات استقرائی برای:
اگر ها اعداد حقیقی مثبتی از 1 تا n و باشد، آنگاه :

سراغ داره ؟
من خودم از یه روش برای اثبات k+1 امین جمله‌ش پیش رفتم ولی به نتیجه‌ی مورد نظر نرسیدم ... یعنی نتونستم جواب رو ازش بکشم بیرون ...
اگه دوست دارید روشم اینه :
به ترتیب به طرف چپ و به طرف راست رو کم و زیاد میکنیم.

اثبات غیر استقرائیش آسونه ...

میشه بفرمایید اثبات با استقراء ریاضی رو برای چی میخواین؟ بخصوص با وجود اثبات های ساده دیگه ای که هست.

[lebesgue]

.
.
.

.
.
.
بنابراین تصویر نقطه ی M روی محور x ها برابر میشه با:



با استدلالی مشابه، تصویر نقطه ی M روی محور y ها هم برابر میشه با:


.
.
.

یک مسئله جالب که میشه در شکل بالا هم دید، اینه که شعاع (و در نتیجه محیط) دایره بزرگ سه برابر دایره کوچک هست، اما دایره کوچک به ازای هر یک دور کامل که به دور دایره بزرگ میزنه، دو بار دور خودش میچرخه، نه سه بار. همچنین اگر دایره کوچک، به جای درون، بیرون دایره بزرگ میچرخید، میشد چهار دور.


نکته جالب دیگه، شکل منحنی در حالتی هست که نسبت R/r گنگ باشه:

منحنی به ازای :

منحنی به ازای :

تازه منحنی بالا کامل نیست و تنها برای θ از 0 تا 300π رسم شده. در منحنی کامل، تمام (یا تقریباً تمام) اون فضاهای خالی وسط، پر هستند.

[lebesgue]

گرادیان از لحاظ تجسمی، میزان فرو رفتگی و خاصیت سیاه چاله بودن یک نقطه از فضا رو نشون میدن.
در شکل اول سمت راست نشون داده میشه که هر برداری که از یک مقطع دلخواه به اون مقطع وارد شده، با همون مقدار و شدت، ازش خارج شده. پس گرادیان در چنین فضایی صفره.

اما در شکل سمت چپ، گرادیان در اون نقطه ی مرکزی مقدار بسیار بزرگی داره. چرا که داره بردارها رو در فضای اطرافش به سمت خودش میکشه.

در شکل دوم هم منظور از شکل اینه که مقدار گرادیان از لحاظ جبری به جهت بردارها در همسایگی یک فضای کوچک در نقطه ی مورد نظر ما بستگی داره. مثلا در قسمت آبی رنگ، چون جهت بردارها به سمت بیرون هستش، گرادیان منفی و در قسمت قرمز رنگ، مقدار گرادیان مثبته.

در مقابل مفهوم گرادیان، مفهوم کِرل وجود داره. کرل از لحاظ شهودی خاصیت گردابی و چرخش بردارها حول یک نقطه و یا یک همسایگی رو نشون میده. به طور مثال در تصویر اول سمت راست پستتون، مقدار کرل در همه ی نقاط و به ازای همه ی همسایگی ها صفره چون مقدار چرخش بردارها در جهت ساعتگرد در یک حلقه ی بسته ی فرضی (که لزوما میتونه دایره هم نباشه و فقط مهمه که حلقه ای بسته باشه)، برابر با مقدار چرخش در جهت پاد ساعتگرد در همان حلقه است.

من مظور شما رو درست متوجه نشدم، ولی فکر کنم گرادیان رو با دیورژانس قاطی کردید. بهرحال توضیحات ali_hp گرامی درست هست. در شکل های بالا، ما اول یک میدان اسکالر داشتیم (در دو شکل اول، نقاط سیاه تر متناظر با مقدار بیشتر) و بعد با گرفتن گرادیان از این میدان اسکالر، یک میدان برداری بدست اومده. میدانهای برداری رو هم معمولاً همونطوری نشون میدن، چه گرادیان باشن چه نباشن. در ضمن، کرل صفره، چون کرلِ گرادیانِ یک میدان اسکالر همواره صفره. (یک اتحاد صفر پرکاربرد!)

[Kesel]

--------------------------------------------------------------------------------

سلام
من يه سوال دارم اگه كسى از دوستان لطف كنه يه راهنمايى كنه ممنون ميشم
يه دايره داريم كه از سه نقطه A(2,1) , B(7.6), C(5,10) , عبور ميكنه اگه مركز دايره رو S بگيريم , مختصات S و شعاع رو بايد پيدا كنيم , يه راهش كه توسط وصل كردن دو نقطه به همديگه به هم و پيدا كردن نقطه وسط روى هر خط و معادله خط عمود بر اون و بقيه ماجراست, ولى من ميخواهم ببينم به صورت جبرى ميشه اين رو حل كرد يعنى با سه تا مجهول ؟



(x-2)^2+(y-1)^2=r^2
(x-7)^2+(y-6)^2=r2
(x-5)^2+(y-10)^2=r^2


الان چجورى ميشه معادله رو حل كرد ( فكر كنم بايد اول رو از دوم و اول رو از سوم كم كنيم تا r حذف بشه ولى خوب مطمئن نيستم )
__________________
من اينو يه جاى ديگه فورم هم تايپ كردم , ولى اينجا به نظر بهتر مياد , ممنون ميشم كمك كنيد

سلام

من دو راه حل فعلا به ذهنم می رسه :
1.
بهتره معادله ی دایره ی مطلوب رو به فرم زیر بنویسیم.

چون این سه نقطه بر دایره واقع هستن بنابراین مختصات این نقاط در دایره صدق می کنه.بنابراین داریم :

حالا با به دست آوردن a و b و c و جایگزین کردنشون توی معادله ی دایره ، می تونیم معادله ی دایره رو داشته باشیم و راحت می شه از روش زیر مختصات مرکز و همچنین شعاع دایره رو پیدا کرد.

تو این مرحله پارسال پیش دانشگاهی یه روش تستی خوب هم داشت که دو تا فرمول بالا رو حفظ نکنیم که کلا توی مقاطع مخروطی به درد می خورد.اونم این بود که واسه پیدا کردن مختصات مرکز مقطع مخروطی مورد نظر ، از معادلش مشتق می گیریم(نسبت به x) برابر صفر قرار می دیم این می شه طول مرکز بعد یا می تونیم همینو بزاریم تو معادله تا عرض اون نقطه هم به دست بیاد یا این دفعه نسبت به y مشتق بگیریم و برابر صفر قرار بدیم.روش به درد بخوریه لازمم نیست فرمول اضافی حفظ بشه !
2.
می دونیم که مرکز دایره از هر سه نقطه به یک فاصله یه.بنابراین با فرض این که مرکز دایره مختصاتش (x,y) باشه ، داریم :

که اینجا با پیدا کردن ایکس و وای می تونین یه ضرب مختصات مرکزو به دست بیارین بعد توی معادله ی دایره بزارین تا شعاع هم به دست بیاد :